李媛媛，張慶偉

(1.北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192；2.北京奇虎360科技有限公司，北京 100015)

0 引言

狀態(tài)方程[1]是描述物質(zhì)系統(tǒng)中各狀態(tài)變量之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，用來表達(dá)在一定熱力學(xué)條件下物質(zhì)的性質(zhì)。通常人們研究最多的是力學(xué)響應(yīng)特性的狀態(tài)方程，即所謂的狹義狀態(tài)方程。溫稠密物質(zhì)[2-3]是一種不常見物質(zhì)，廣泛存在于地幔內(nèi)部和宇宙星體內(nèi)，具有高的能量密度特性。溫稠密物質(zhì)中存在復(fù)雜的電離效應(yīng)，精確了解不同粒子的電離程度，可以更好地了解強(qiáng)耦合下溫稠密物質(zhì)內(nèi)各種粒子和束團(tuán)的狀態(tài)與成分。

在科學(xué)研究中，想要獲得溫稠密物質(zhì)的狀態(tài)方程十分困難。只有在超高壓超高溫的情況下，才會出現(xiàn)溫稠密物質(zhì)，一般需要通過核聚變實(shí)驗(yàn)進(jìn)行相關(guān)研究，但是花費(fèi)巨大，所以目前許多研究學(xué)者已經(jīng)使用遺傳算法來獲得狀態(tài)方程。王成[4]提出基于基因遺傳算法和γ律狀態(tài)方程的JWL狀態(tài)方程參數(shù)的確定；溫麗晶[5]采用遺傳算法確定PBXC03等炸藥轟爆產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程的參數(shù)，應(yīng)用確定的狀態(tài)方程參數(shù)模擬爆轟驅(qū)動遠(yuǎn)觀過程，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合。這2篇文獻(xiàn)的算法都沒有采用并行，效率較低，精確度較差。張慶偉[6]提出的基于Spark的并行遺傳算法得到了較為理想的效果。本文使用基于Spark并行遺傳算法來確定溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程的參數(shù)。

1 溫稠密物質(zhì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)選自王聰?shù)冉⒌臍?氘、氚)的密度泛函第一性原理寬區(qū)狀態(tài)方程數(shù)據(jù)庫[7]。數(shù)據(jù)主要為氫、氘、氚在極端條件下的壓強(qiáng)、密度、溫度和內(nèi)能。其中的密度范圍為10-3～103g/cm3，溫度范圍為103～107K。按照密度劃分為31組，每組有13～21條數(shù)據(jù)。本文的研究都是基于表1的數(shù)據(jù)。

表1 氫在極端條件下的數(shù)據(jù)

2 狀態(tài)方程

2.1 狀態(tài)方程形式

在自然界中很多物質(zhì)的狀態(tài)方程是未知的，所以本文需要先根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定狀態(tài)方程的形式。在密度固定時，壓力和溫度之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，假設(shè)兩者之間的函數(shù)關(guān)系為

f(T,P)=0

(1)

表1中每組數(shù)據(jù)為1321條不等，而泰勒的三階展開需要10個參數(shù)，四階展開需要15個參數(shù)，為了可以求解到一組唯一解，選擇三階展開，式(1)在(0,0)處的三階泰勒展開式為

f(T,P)=A+BT+CP+DT2+ETP+FP2+

GT3+HT2P+ITP2+JP3+ο3

(2)

式中：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J為狀態(tài)方程對應(yīng)的參數(shù)；T、P分別為溫度、壓強(qiáng)。

考慮到隨著密度的增大，壓力增大的速度極快，可以達(dá)到107，為了方便計(jì)算，對T和P分別取對數(shù)，令t=log10T,p=log10P，代入式(2)，得

f(t,p)=A+Bt+Cp+Dt2+Etp+Fp2+

Gt3+Ht2p+Itp2+Jp3+ο3

(3)

從31組不同密度的數(shù)據(jù)中，每組選10個數(shù)據(jù)代入式(3)，每10組數(shù)據(jù)都會得出一個式(4)，再對式(4)求解非線性方程組即可以求出一組唯一的參數(shù)(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J)。

f(t,p)=

(4)

2.2 參數(shù)確定

采用矩陣法可以求出對應(yīng)31組密度的溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)。表2為部分結(jié)果。

表2顯示不同的密度對應(yīng)的溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程的參數(shù)，考慮是否可以尋求到ρ和每個參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。令：

(5)

式中(ma0,ma1,ma2,ma3,ma4)為參數(shù)A在不同密度下所對應(yīng)的的參數(shù)。同理，對于所有的參數(shù)，都有一組(m0,m1,m2,m3,m4) 與之對應(yīng)。其矩陣式為

(6)

式中[An,Bn,Cn,Dn,En,Fn,Gn,Hn,In,Jn] (n∈[1,31])對應(yīng)著表2中節(jié)選的部分?jǐn)?shù)據(jù)?？汕蟪雒總€參數(shù)對應(yīng)的一組m值，如表3所示。表3為使用ρ的對數(shù)進(jìn)行計(jì)算得出溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)在不同密度下所對應(yīng)的參數(shù)。把表2中得到的狀態(tài)方程的參數(shù)代入式(7)中即可求出溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程：

A+Bt+Cp+Dt2+Etp+Fp2+Gt3+

Ht2p+Itp2+Jp3+ο3=0

(7)

表2 矩陣法求得狀態(tài)方程參數(shù)的部分結(jié)果

表3 參數(shù)結(jié)果矩陣法求解的狀態(tài)方程參數(shù)在不同密度下對應(yīng)的參數(shù)

2.3 矩陣法的不足

矩陣法可以求出相應(yīng)的狀態(tài)方程，但是存在一定的缺陷。因?yàn)椴煌芏葘?yīng)的數(shù)據(jù)量不同，上面的算法只選用了其中的10組數(shù)據(jù)，雖然可以求出一組確定解，但是該解對未參與計(jì)算的數(shù)據(jù)的適用性有一定的不確定性。雖然可以通過后期驗(yàn)證其適用性，但是解一旦確定后就無法修改。如果求得的解不適應(yīng)未參與計(jì)算的數(shù)據(jù)，則會導(dǎo)致該解無效。所以針對上述方法的缺陷，本文使用基于Spark的并行遺傳算法來確定狀態(tài)方程的參數(shù)。

3 數(shù)學(xué)模型及狀態(tài)方程的確立

3.1 數(shù)學(xué)模型

張慶偉提出基于Spark的并行遺傳算法可以解決理想氣體的狀態(tài)方程的參數(shù)，并且計(jì)算結(jié)果良好,在計(jì)算時間和結(jié)果的精度上都取得了較好的效果。本文將該方法用于確定溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)，使用Scala[8-9]語言編寫基于Spark的并行遺傳算法程序，將其在一臺服務(wù)器的虛擬機(jī)上運(yùn)行。Leque[10]介紹了3種遺傳算法的并行方式：分布式模型、蜂窩煤模型和混合模型。Spark是一種主從式的分布式計(jì)算框架，適用于全局分布式的并行遺傳算法。但傳統(tǒng)的遺傳算法不能直接結(jié)合spark來確定狀態(tài)方程的參數(shù)，需要對傳統(tǒng)遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)。主要針對以下幾個方面。

1)傳統(tǒng)遺傳算法始終在一個固定的空間內(nèi)進(jìn)行迭代，算法效率低下，基于spark并行遺傳算法將固定的空間設(shè)計(jì)為變化的搜索空間。具體方法為：將最初的搜索空間劃分為若干個子區(qū)間，且每個子區(qū)間對應(yīng)不同的子種群，將子種群及其對應(yīng)子空間放到不同的節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行運(yùn)算，選擇得到最小適應(yīng)度個體所在的子空間，再將其繼續(xù)劃分，達(dá)到不斷變化搜索空間的效果。

2)因?yàn)榛趕park并行遺傳算法需要不斷地變化搜索空間，所以變化的子空間的子種群也需要同步更新，然后再對狀態(tài)方程未知參數(shù)的取值范圍進(jìn)行劃分，在每個子空間上隨機(jī)生成子種群，再將生成好的種群寫入文件中，每行代表一個區(qū)間的所有個體及其所在的取值空間，以便后續(xù)使用，此時子種群已生成。

3)在產(chǎn)生子種群后生成新種群，然后對新種群個體進(jìn)行適應(yīng)度評價，通過適應(yīng)度函數(shù)方法得到新種群的最小適應(yīng)度、對應(yīng)區(qū)間、最小適應(yīng)度對應(yīng)的個體，再把所有的數(shù)據(jù)回收到主節(jié)點(diǎn)，在主節(jié)點(diǎn)上選擇最小適應(yīng)度值所在的取值空間，將空間重新劃分，產(chǎn)生子種群，將產(chǎn)生的子種群繼續(xù)劃分若干子種群，直至滿足截止條件，將適應(yīng)度最小的個體保存下來，并將其加入新的子種群中，這樣就重新選定了搜索空間。

4)傳統(tǒng)遺傳算法有的只并行適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算，有的只并行遺傳操作。為了將遺傳算法和spark相結(jié)合來確定狀態(tài)方程中的參數(shù)，將傳統(tǒng)的串行遺傳算法[11-12]進(jìn)行了改進(jìn)：①算法中包含2個函數(shù)并行運(yùn)行，一個是遺傳操作的并行，另一個是獲得個體適應(yīng)度函數(shù)的并行運(yùn)算。因?yàn)楫a(chǎn)生新種群替代舊種群需要的循環(huán)次數(shù)多，且選擇、交叉、變異等操作也比較費(fèi)時，所以遺傳比獲得個體適應(yīng)度需要更多的時間成本；②針對遺傳算法中的迭代操作。首先初始化迭代次數(shù)，判斷是否滿足截止條件，滿足返回新種群，否則進(jìn)入迭代，從Pstring[13-14]中獲得狀態(tài)方程的參數(shù)區(qū)間，獲得種群，判斷新種群個體數(shù)是否等于舊種群個體數(shù)，如果達(dá)到就將舊種群中適應(yīng)度最小的個體替代新種群中適應(yīng)度最大的個體，進(jìn)行下一次迭代；否則就選出2個個體，進(jìn)行遺傳操作，將新產(chǎn)生的個體加入到新種群中，直到新種群中的個體數(shù)滿足條件。在基于Spark的并行遺傳算法中，因?yàn)闋顟B(tài)方程形式未知，所以遺傳算法中適應(yīng)度函數(shù)的確定難度變大，根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，由于溫度和壓強(qiáng)存在一定的函數(shù)關(guān)系，令

(8)

則適應(yīng)度函數(shù)可以寫為

(9)

式中n為每組數(shù)據(jù)的數(shù)量。

3.2 狀態(tài)方程參數(shù)的確定

表1中的t、p值是通過物理實(shí)驗(yàn)測得，將t值和用遺傳算法產(chǎn)生的p值代入式(9)，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)的變化情況確定狀態(tài)方程的參數(shù)。表5為所求狀態(tài)方程參數(shù)的部分結(jié)果。

表5 遺傳算法所得狀態(tài)方程參數(shù)的部分結(jié)果

與矩陣法相同，遺傳算法對于所求得的參數(shù)和密度之間也存在一定的函數(shù)關(guān)系，令

(10)

式中γ1、γ2、γ3、γ4、γ5分別為參數(shù)A、B、C、D、E在不同密度下所對應(yīng)的參數(shù)。

適應(yīng)度函數(shù)為

(11)

式中z為數(shù)據(jù)分組數(shù)。使用遺傳算法求出參數(shù)在不同密度下所對應(yīng)的參數(shù)，如表6所示。

表6 遺傳算法求解的狀態(tài)方程參數(shù)在不同密度下對應(yīng)的參數(shù)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文中的矩陣法和基于Spark的并行遺傳算法使用的都是表1中的數(shù)據(jù)。2種方法在不同密度下誤差的變化趨勢如圖1所示。

圖1 不同分組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差

從圖1可以看出，使用矩陣法所得的參數(shù)較為精確，使用遺傳算法所得結(jié)果的精度較矩陣法有所下降，且隨著密度的增大，遺傳算法求出的數(shù)據(jù)與物理實(shí)驗(yàn)測得數(shù)據(jù)的誤差也越來越大。主要原因是隨著密度的增加，壓強(qiáng)變化范圍也逐漸增加，且增長速度很快，過大的范圍容易產(chǎn)生狀態(tài)方程的分區(qū)域問題，即不同的溫度和壓強(qiáng)區(qū)域狀態(tài)方程的參數(shù)和結(jié)構(gòu)都會發(fā)生變化，導(dǎo)致誤差逐漸增大。

圖2是2種方法在相同密度下所求參數(shù)的平均誤差。從圖2可以看出，矩陣法對應(yīng)的10個參數(shù)的平均誤差不夠穩(wěn)定，尤其是A、B、C誤差過大，根本無法滿足要求。而遺傳算法對應(yīng)參數(shù)的平均誤差極小且十分穩(wěn)定。

圖2 不同參數(shù)對應(yīng)的誤差

結(jié)合圖1和圖2可以看出，對于不同密度分組下的參數(shù)求解，矩陣法求得溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)的誤差在密度偏大的時候要優(yōu)于遺傳算法的結(jié)果；但是，對于在相同密度時，求溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)平均誤差時，遺傳算法在精度和穩(wěn)定性上都要優(yōu)于矩陣法。此外，矩陣法所求的參數(shù)對數(shù)據(jù)的依賴性更大，只適用某些數(shù)據(jù)，該解對未參與計(jì)算的數(shù)據(jù)適用性有一定的不確定性；而遺傳算法的解基本可以忽略與物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)誤差，更加精確。

5 結(jié)束語

為了盡可能減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，利用更少的數(shù)據(jù)獲得更加準(zhǔn)確的狀態(tài)方程，本文采用基于Spark的并行遺傳算法構(gòu)建溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法所求溫稠密物質(zhì)狀態(tài)方程參數(shù)的穩(wěn)定性優(yōu)于矩陣法。對于密度逐漸增大時，遺傳算法會有較大誤差的問題，可以考慮把不同溫度、密度和壓強(qiáng)進(jìn)行分區(qū)域研究，以便得到更精確的結(jié)果。