魏 維，郭文勇，吳新躍，吳啟豪

(海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

人字齒輪憑借其承載力大、軸向力相互抵消以及傳動平穩(wěn)等特點(diǎn)，在船舶傳動系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，而其動態(tài)特性是衡量設(shè)計(jì)優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一[1]。在實(shí)際傳動過程中，人字齒輪很難達(dá)到理想嚙合條件而會造成嚙合沖擊的出現(xiàn)，影響因素有制造和安裝誤差、輪齒承載間隙以及熱變形等[4]。其中，由于制造和安裝誤差以及齒輪軸頸渦動導(dǎo)致的嚙合中心距的改變，也會影響齒側(cè)間隙的改變，進(jìn)而產(chǎn)生嚙合沖擊[5]。因而開展人字齒輪嚙合響應(yīng)的分析研究，對降低齒輪噪聲、提高系統(tǒng)疲勞壽命有著積極的意義。

已有的研究雖然對造成齒輪嚙合沖擊的因素進(jìn)行了較為深入的探討，但有關(guān)考慮中心距變化對嚙合沖擊造成影響的研究相對較少。為此，本文主要研究齒輪嚙合中心距變化的影響，在不考慮嚙合誤差和彈流潤滑的情況下，建立齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并通過動力學(xué)仿真軟件ADAMS得到中心距變化對齒輪副動力學(xué)特性的影響，為合理選擇軸承配合公差，進(jìn)一步改善艦船用齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性提供參考。

1 齒輪嚙合動力學(xué)模型

在不考慮輪齒承載變形以及加工誤差的條件下，輪齒嚙合過程中，由于齒輪副的中心距改變，使輪齒嚙合產(chǎn)生基節(jié)誤差，如圖1所示，圖1（a）中齒輪處于標(biāo)準(zhǔn)嚙合狀態(tài)，中心距等于兩齒輪分度圓半徑之和，齒輪能夠平穩(wěn)傳動。圖1（b）中，實(shí)際中心距大于標(biāo)準(zhǔn)中心距，當(dāng)輪齒進(jìn)入嚙合時，實(shí)際嚙合起始點(diǎn)偏離理論嚙合起始點(diǎn)，引起嚙入沖擊，同理在嚙出時也會產(chǎn)生嚙出沖擊。齒輪嚙合產(chǎn)生的沖擊激勵是齒輪傳動系統(tǒng)的內(nèi)部激勵源之一[8]。

圖 1 齒輪嚙合狀態(tài)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of gear meshing

分析齒輪嚙合沖擊時，可以把嚙合齒輪對簡化為一振動模型，如圖2所示。這種模型不考慮齒輪的橫向振動，只考慮齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動。該模型中，為嚙合齒輪對等效質(zhì)量，阻尼系數(shù)為，齒輪系統(tǒng)嚙合剛度為，定義相對位移為，振動加速度、速度和位移分別為，定義齒輪綜合誤差，包括齒形誤差和基節(jié)誤差為，外部系統(tǒng)載荷為，則其非線性嚙合動力學(xué)方程可表示為：

改寫方程，同時忽略相對位移后有：

圖 2 齒輪嚙合振動模型Fig. 2 Gear meshing vibration model

2 考慮中心距變化的人字齒輪嚙合剛度分析

為方便問題的討論，在分析時引入一些假設(shè)：認(rèn)為齒輪是剛體；無彈流潤滑作用；齒輪制造沒有誤差。雖然假設(shè)會對分析結(jié)果帶來一定的局限性，但其能對理論分析和仿真進(jìn)行簡化，使得系統(tǒng)動力特性的闡述簡單明了。

2.1 人字齒輪嚙合剛度激勵

由于在齒輪傳動過程中，同時參與嚙合的輪齒對數(shù)隨著時間而周期變化，因而引起了輪齒嚙合剛度的周期變化，從而引起嚙合力的周期變化[9]。與此同時，當(dāng)嚙合齒輪副的中心距發(fā)生變化時，也會導(dǎo)致嚙合剛度的變化。由嚙合剛度變化而引起的動態(tài)激勵稱之為剛度激勵[3]。

本文主要研究中心距對嚙合剛度的影響，因此先忽略齒輪傳動中由于嚙合齒輪對不同造成的嚙合剛度的變化，此時理論單齒剛度計(jì)算公式為[10]：

斜齒輪的重合度由2部分組成：

圖 3 斜齒輪端面嚙合幾何模型Fig. 3 Geometric model of helical gear end face meshing

結(jié)合式（4）、式（5）可整理得到斜齒輪嚙合剛度與嚙合中心距的關(guān)系為：

人字齒輪由1組螺旋角旋向相反其他參數(shù)相同的斜齒輪組合而成，因而人字齒輪與相對應(yīng)的斜齒輪的嚙合剛度、重合度的關(guān)系為:

2.2 中心距對嚙合剛度、重合度的影響

由于加工誤差、齒輪軸頸渦動等原因，齒輪副的實(shí)際中心距會變化。受制于齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪中心距的最小值等于標(biāo)準(zhǔn)嚙合值，計(jì)算公式為：

結(jié)合式（9）可得：

表1為某型船用齒輪箱人字齒輪副參數(shù)。將表中的數(shù)據(jù)代入式（14）可得：mm，又根據(jù)式（12）計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)嚙合中心距mm。

表 1 某型船用齒輪箱嚙合齒輪副參數(shù)Tab. 1 A certain type of marine gearbox meshing gear pair parameters

由上述計(jì)算可知，為保證齒輪能夠連續(xù)嚙合，齒輪的中心距范圍是。分別根據(jù)齒輪中心距與嚙合剛度及重合度的函數(shù)關(guān)系繪制曲線如圖4和圖5所示。

由圖中曲線可以看出，隨著中心距的增加，齒輪的重合度和嚙合剛度都在減小，特別是中心距從580 mm減小到580.6 mm時剛度和重合度減小的速度較快，因此在齒輪嚙合傳動時，實(shí)際中心距在標(biāo)準(zhǔn)中心距的基礎(chǔ)上有微小的變化就會造成嚙合剛度的迅速變化，進(jìn)而產(chǎn)生較大的嚙合沖擊。

3 嚙合沖擊動力學(xué)仿真計(jì)算

圖 4 人字齒輪嚙合剛度與中心距的關(guān)系Fig. 4 Relationship between meshing stiffness of herringbone gear and center distance

圖 5 人字齒輪重合度與中心距的關(guān)系Fig. 5 The relationship between the coincidence degree of herringbone gear and the center distance

根據(jù)表1中的參數(shù)利用SolidWorks構(gòu)建人字齒輪的三維仿真模型，文中對齒輪進(jìn)行了適當(dāng)簡化，建模時沒有建立齒輪軸。將齒輪模型導(dǎo)入多體動力學(xué)分析軟件ADAMS中，進(jìn)行人字齒輪的嚙合動力學(xué)仿真。齒輪動力學(xué)仿真模型如圖6所示，其中小齒輪為主動齒輪，大齒輪為從動齒輪。

圖 6 人字齒輪副動力學(xué)仿真模型Fig. 6 Herringbone gear pair dynamics simulation model

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

在利用ADAMS軟件進(jìn)行仿真之前需要對模型進(jìn)行約束定義，確定齒輪間的相對運(yùn)動關(guān)系。圖中的人字齒輪副主要約束設(shè)置如下：

1）兩人字齒輪與地面間設(shè)置為旋轉(zhuǎn)副；

2）兩齒輪間采用實(shí)體-實(shí)體接觸約束，模擬齒輪傳動過程中的接觸碰撞；

3）小齒輪作為主動輪，在其旋轉(zhuǎn)副上添加轉(zhuǎn)速激勵；

4）大齒輪作為從動輪，在其旋轉(zhuǎn)副上添加負(fù)載力矩。

3.2 仿真結(jié)果分析

1）圖7為從動輪（大齒輪）的角速度和角加速度曲線，由曲線可以看出去除初始沖擊，大齒輪角速度和角加速度波動比較平穩(wěn)。仿真得到的平均角速度為280.54 °/s，傳動比為 0.311 7，理論設(shè)計(jì)的傳動比為0.311 6，誤差為0.032%，滿足傳動比要求，證明了模型的正確性。

圖 7 大齒輪角速度及角加速度（d=580 mm）Fig. 7 Large gear angular velocity and angular acceleration（d=580 mm）

2）分別設(shè)置仿真模型中齒輪的中心距參數(shù)為580 mm，580.2 mm，580.4 mm，580.6 mm，580.8 mm 和 581 mm，得到齒輪接觸力的時域和頻域曲線，如圖8（a）～8（f）所示。圖8（a）是在標(biāo)準(zhǔn)嚙合狀態(tài)下得到的嚙合力曲線，由時域曲線可以看出嚙合力波動較為平穩(wěn)，從頻域曲線分析，嚙合具有一定的周期變化，周期是單個輪齒嚙合所需的時間，但周期性此時并不明顯。隨著嚙合中心距的不斷增加，由圖8（b）～8（f）中的時域曲線可以看出嚙合沖擊波動逐漸加劇，通過第1節(jié)和第2節(jié)的分析可知，齒輪的嚙合剛度、嚙合重合度隨著中心距的增加而減小，會造成嚙合沖擊波動的增加。

3）圖9為齒輪副一階嚙合頻率對應(yīng)的嚙合力與中心距的關(guān)系。由曲線可以看出，中心距由580 mm增加到580.2 mm時，嚙合力從1 886 N迅速增加到了10 700 N，隨后嚙合力隨中心距增加而增加的趨勢逐漸放緩，仿真結(jié)果與2.2節(jié)中對剛度與中心距關(guān)系的分析結(jié)論基本一致，驗(yàn)證了仿真結(jié)果的有效性。

4 結(jié) 語

圖 8 齒輪接觸力時域及頻域曲線Fig. 8 Gear contact force time domain and frequency domain curve

圖 9 一階嚙合頻率嚙合力與中心距的關(guān)系Fig. 9 The relationship between the first-order meshing frequency meshing force and the center distance

本文在齒輪嚙合振動模型的基礎(chǔ)上，理論分析了人字齒輪嚙合剛度、重合度與嚙合中心距的關(guān)系，并利用仿真軟件ADAMS進(jìn)行了齒輪嚙合動力學(xué)仿真，得到了齒輪副在不同中心距時的嚙合力時域與頻域曲線。通過對比分析，在不考慮嚙合剛度和彈流潤滑的情況下，可以得到以下結(jié)論：

1）嚙合剛度和嚙合重合度會受到嚙合中心距的影響，隨著中心距的增加而減小，且中心距在標(biāo)準(zhǔn)值附近的微小變化會造成嚙合剛度和重合度的較大波動；

2）齒輪嚙合力隨著中心距的增加而增加，從頻域的角度來看，中心距的增加會導(dǎo)致嚙合頻率諧波分量的增加，這會增加系統(tǒng)發(fā)生共振的風(fēng)險，在設(shè)計(jì)時需要引起注意。

3）中心距在標(biāo)準(zhǔn)值處發(fā)生微小變化時，齒輪的1階嚙合頻率嚙合力會發(fā)生較大變化，這與嚙合剛度、重合度的變化規(guī)律相一致。因此根據(jù)本文的分析結(jié)果，應(yīng)從齒輪的設(shè)計(jì)、加工、安裝等多個方面保證中心距的精度。

4）本文所建立的模型是對真實(shí)齒輪副的部分簡化，所建立的模型為剛體，沒有考慮齒輪的彈流潤滑特性以及齒輪的加工誤差，以齒輪副的中心距為影響振動特性的唯一變量進(jìn)行仿真分析，所得結(jié)果與理論分析相一致且符合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，因此具有一定的參考意義。