石慧榮，趙冬艷

（蘭州交通大學，蘭州730070）

0 引 言

斜齒輪傳動以其結構緊湊、傳動準確、精度高等特點被廣泛應用于汽車、飛機、機床等工業(yè)生產(chǎn)領域中，其傳動性能直接影響機械設備的性能。斜齒輪傳動受側(cè)隙、傳動誤差和時變嚙合剛度、摩擦力以及軸承耦合等因素的影響，傳動中存在周期、倍周期和混沌等復雜非線性振動現(xiàn)象。目前單對齒輪的非線性振動已被深入研究[1-5]，但對多級齒輪系統(tǒng)的振動與噪聲問題仍然有待進一步研究。

斜齒輪多級傳動在實際生產(chǎn)中有著廣泛的應用，而各對齒輪傳動的非線性作用相互耦合使系統(tǒng)動態(tài)特性變得非常復雜，因此多級齒輪傳動的穩(wěn)定性和可靠性問題已經(jīng)成為一個亟待解決的課題。Jia等[6]利用集中質(zhì)量法建立了二級直齒圓柱齒輪傳動模型，比較了裂紋和剝離缺陷下齒輪不同的振幅和相位調(diào)諧、包絡特性的區(qū)別。Li 等[7]建立了一種耦合軸彎、扭變形和軸承擺動的單對斜齒輪傳動模型，分析了轉(zhuǎn)速、齒輪偏心和軸承變形等對系統(tǒng)動特性的影響。劉波等[8]建立了一個僅考慮扭振的六自由度三級斜齒輪動力學模型，利用Runge-Kutta 法對方程進行了數(shù)值求解，分析了系統(tǒng)的非線性振動特性。胡鵬等[9]建立了惰輪傳動系統(tǒng)的動力學模型，忽略了軸和軸承與齒輪振動的耦合作用，利用雙曲正切函數(shù)近似表示分段嚙合剛度，分析了剛度展開項波動幅值、載荷力矩以及側(cè)隙對響應的影響。劉輝等[10]利用拉格朗日方程推導了兩級行星齒輪傳動的平移－扭轉(zhuǎn)非線性振動模型,從行星排級間連接軸的力與變形耦合關系出發(fā)，研究了兩個行星排嚙合力產(chǎn)生的嚙合頻率耦合現(xiàn)象。王慶等[11]建立了一個彎扭軸擺耦合的二級斜齒輪傳動系統(tǒng)，利用數(shù)值方法和有限元法對傳動系統(tǒng)和減速器箱體進行了分析，模型忽略了軸彎曲變形對系統(tǒng)的影響。

由于斜齒輪多級傳動動力學模型復雜，一些研究僅限于對扭振的分析，忽略了軸的彎曲、擺動和軸承剛度等因素的影響，與實際應用有一定差距，而且各級齒輪傳動參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響以及各參數(shù)的相互關系的研究還比較少。本文針對二級斜齒圓柱齒輪減速傳動，考慮軸的彎曲和擺動、軸承剛度、軸向載荷、齒輪時變嚙合剛度等因素耦合作用，建立了一60 個自由度的動力學模型，對輸入轉(zhuǎn)速、各級螺旋角、外加轉(zhuǎn)矩對斜齒輪傳動特性的影響進行了分析。

1 二級斜齒輪系統(tǒng)動力學模型

1.1 模型的描述與假設

二級斜齒輪減速單元的動態(tài)特性，其結構如圖1 所示，齒輪1 為主動輪，齒輪4 為輸出軸齒輪，β1、β2和Fn1、Fn2分別為兩對齒輪的螺旋角與嚙合力，kxn、kyn和kzn分別是x、y 和z 軸三個方向的等效軸承剛度，下標n=I、II、III、I′、II′、III′，θx、θy和θz分別是繞x、y 和z 軸的轉(zhuǎn)動，相對位置角α 為嚙合齒輪對中心連線與z 軸正方向的夾角。兩對斜齒輪傳動由于軸的彎扭轉(zhuǎn)變形和軸承變形相互耦合，輪齒嚙合剛度隨時間變化，要考慮各種因素建立數(shù)學模型十分困難。為了簡化計算假定：

（1）減速單元軸承支座和齒胚為剛體；

（2）軸的質(zhì)量和慣量轉(zhuǎn)化到軸承和齒輪上，采用集中質(zhì)量法建模；

（3）忽略軸承接觸剛度的非線性特性，視其為線性彈簧；

（4）不考慮齒輪嚙合引起的齒面變形誤差。

1.2 系統(tǒng)動力學方程

根據(jù)圖1 所示的斜齒輪減速單元結構，基于以上假設，應用集中質(zhì)量法，齒輪i 的動力學方程為：

圖1 二級斜齒輪傳動結構Fig.1 The transmission structure of two-grade helical gear

其中：m 和J 為齒輪的等效質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，i=1，2，3，4 表示四個齒輪單元，對應的右鄰接軸承或齒輪單元ir=I、II、III、3，左鄰接軸承或齒輪單元il=I′、II′、III′、2，每個齒輪單元包含x、y、z 方向的平動和繞三個軸的轉(zhuǎn)動θx、θy和θz自由度，每個軸承單元僅考慮x、y、z 方向的平動，ia表示i 的扭轉(zhuǎn)鄰接單元，當i=2，3 時，對應的ia=3，2，當i=1，4 時對應方向的角位移和角速度為零，csx、csy、csz和ksx、ksy、ksz表示軸的等效彎曲阻尼和彎曲剛度，Ri為齒輪的基圓半徑，zi為齒輪的齒數(shù)，轉(zhuǎn)矩T2＝T3＝T1z2/z1=T4z3/z4，T1和T4分別等于輸入和輸出轉(zhuǎn)矩，陀螺效應系數(shù)Gi=ωi×Ji，F(xiàn)x，F(xiàn)y和Fz分別是齒輪在x，y 和z 軸的嚙合力，其具體形式可以參考文獻[12]。cθx、cθy、cθz和kθx、kθy、kθz表示軸的等效扭轉(zhuǎn)阻尼和剛度，ρ 為齒輪的偏心距，φ 為角位移，ω 為軸的轉(zhuǎn)速，各齒輪的角位移分別為：

由于軸承相對于軸長度較短，而且軸承承受的扭矩很小，所以忽略軸承三個方向的轉(zhuǎn)動，可以得出軸承n 處的等效集中質(zhì)量動力學方程為：

其中：三根軸上軸承單元n 對應的鄰接單元為na=1，2，3，4，5，6，xn、yn和zn分別是軸承在x、y 和z 方向的位移，cxn、cyn、czn和kxn、kyn和kzn為等效的軸承阻尼和剛度，mb表示軸承的等效質(zhì)量。

由此本文建立的二級斜齒輪傳動系統(tǒng)包含4 個齒輪單元，每個單元6 個自由度，6 個軸承單元，每個單元3 個自由度，整個耦合傳動系統(tǒng)共計42 個自由度，這樣可以更加精確地獲取二級斜齒輪傳動的動態(tài)特性。

2 數(shù)據(jù)分析

二級斜齒圓柱齒輪減速器被廣泛應用于生產(chǎn)和制造行業(yè)。由于兩對齒輪剛度非線性和齒輪側(cè)隙變化，以及軸的彎曲扭轉(zhuǎn)變形和軸承變形的影響，而且兩級傳動相互耦合，使系統(tǒng)的振動具有強非線性特性。本文利用4 階5 級變步長Runge-Kutta 法對系統(tǒng)方程求解，求解步長根據(jù)相鄰兩次計算結果誤差e 進行調(diào)整，若e＞10-9，步長減半，以此類推，直到e≦10-9時步長保持不變。根據(jù)斜齒輪傳動系統(tǒng)的數(shù)值計算結果，研究某減速單元齒輪轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性，分析轉(zhuǎn)速、外加載荷和螺旋角對兩對斜齒圓柱齒輪嚙合力的影響。齒輪、軸和軸承的結構和材料參數(shù)由表1-3 給出。

表1 齒輪參數(shù)Tab.1 The gear parameters

表2 軸參數(shù)Tab.2 The shaft parameters

表3 軸承參數(shù)Tab.3 The bearing parameters

2.1 耦合系統(tǒng)的模態(tài)分析

由于斜齒圓柱齒輪和軸的轉(zhuǎn)速不同，系統(tǒng)的振動特性會受到陀螺效應影響，本文對高速軸齒輪轉(zhuǎn)速在0～18 000 r/min 內(nèi)變化的三軸耦合模態(tài)進行了分析。 在轉(zhuǎn)子的Campbell 圖2中，給出了1～9 階模態(tài)頻率的變化曲線，可以看出，隨著轉(zhuǎn)速ωi的增加，陀螺效應系數(shù)Gi對斜齒輪傳動系統(tǒng)的影響增大，高階模態(tài)的固有頻率會出現(xiàn)較大變化，第七階模態(tài)頻率由轉(zhuǎn)速為0 時的260.22 Hz 減小到18 000 r/min 時的193.42 Hz，第9 階模態(tài)頻率由285.41 Hz 變化到322.7 Hz；而且隨著轉(zhuǎn)速的變化，各軸可能達到或超過臨界轉(zhuǎn)速，發(fā)生共振，如高速軸I 轉(zhuǎn)速在6 510 r/min 時，會導致系統(tǒng)的強烈振動。

三軸通過齒輪對嚙合，雖然圖2 中軸II 和軸III 轉(zhuǎn)速較低，未達到臨界轉(zhuǎn)速，但是在圖3 的模態(tài)振型中可以看到當軸I 轉(zhuǎn)速達到基頻108.6Hz 時，II 和III 軸仍然會出現(xiàn)大幅振動的變形，其余各模態(tài)振型同樣具有耦合變形，因此僅通過單對齒輪轉(zhuǎn)子的耦合振動分析多軸耦合系統(tǒng)的振動不能完全反應系統(tǒng)的振動特性。

圖2 轉(zhuǎn)子Campbell 圖Fig.2 The Campbell diagram of rotors

圖3 齒輪轉(zhuǎn)子模態(tài)振型Fig.3 The modal shape of gear rotor

2.2 轉(zhuǎn)速對振動特性的影響

當給斜齒輪施加475 N·m 輸入轉(zhuǎn)矩時，其嚙合力在不同輸入轉(zhuǎn)速時的頻域響應如圖4 所示，隨著轉(zhuǎn)速的增加，斜齒輪傳動系統(tǒng)高速級和低速級的嚙合力F12和F34逐漸增加，由于轉(zhuǎn)子的陀螺效應，各階固有頻率也逐漸增大，而且高階模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化較大，同時也注意到高頻振動會出現(xiàn)連續(xù)共振頻率，使系統(tǒng)出現(xiàn)復雜的非線線性振動。

圖4 嚙合力隨轉(zhuǎn)速變化Fig.4 The change graph of meshing force with rotational speed

在圖5 中比較了轉(zhuǎn)矩不變，輸入轉(zhuǎn)速為3 900 r/min 和900 r/min 時的嚙合力時域變化特性，可以看出高速時高速級嚙合力F12在某瞬時可能等于零，出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，低速級嚙合力F34存在大于零的現(xiàn)象，表明斜齒輪在嚙合過程中低速級齒輪存在齒背沖擊；而低速傳動中高速級齒輪可能存在較長時間的脫齒現(xiàn)象，而低速級一般不存在脫齒和背沖現(xiàn)象。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下的時域響應Fig.5 The time domain response under different rotational speed

2.3 螺旋角對振動特性的影響

當輸入轉(zhuǎn)矩為250 N·m，轉(zhuǎn)速為1 800 r/min 時，高速級螺旋角β1和低速級螺旋角β2對系統(tǒng)的幅頻響應如圖6-7 所示。由圖6 可以看出，隨著螺旋角β1的增大，高速級齒輪嚙合力F12幅值逐漸增大，其低頻振動時幅值變化較大，對于低速級嚙合力F34的幅值變化不大；而且也可以注意到模態(tài)頻率也隨β1的增大不斷減小，螺旋角β1對高頻振動影響更加顯著。在圖7 中，β2對系統(tǒng)幅頻響應的影響與圖6 類似，隨著螺旋角β2的增大，系統(tǒng)的模態(tài)頻率逐漸降低，高頻時模態(tài)頻率變化幅度較大，而且β2對低速級斜齒圓柱齒輪嚙合力F34的影響較大，F(xiàn)34隨β2增大而增大，但螺旋角β2對高速級嚙合力F12影響不大。

圖6 嚙合力隨β1 的變化Fig.6 The change graph of meshing force with β1

圖7 嚙合力隨β2 的變化Fig.7 The change graph of meshing force with β2

2.4 輸入轉(zhuǎn)矩對振動特性的影響

當其它條件不變時，輸入轉(zhuǎn)矩為75 N·m 時兩對斜齒圓柱齒輪嚙合力的時域響應如圖8 所示。可以看出在輸入轉(zhuǎn)速為900 r/min 時，高速級和低速級齒輪都出現(xiàn)了脫齒和齒背沖擊現(xiàn)象，但是其范圍較小；而輸入轉(zhuǎn)速為3 900 r/min 時高速級齒輪出現(xiàn)大范圍的脫齒和雙相碰撞，低速級齒輪也會出現(xiàn)長時間的脫齒和輪齒雙向沖擊。與輸入轉(zhuǎn)矩較大的圖5 相比可以看出，無論是高速還是低速傳動，在較小的外載荷作用下二級斜齒輪傳動更容易出現(xiàn)脫齒和齒面的雙向沖擊，而且高速傳動中低速級齒輪的脫齒和雙碰更加顯著。

圖8 不同轉(zhuǎn)速下的時域響應Fig.8 The time domain response under different rotational speed

3 結 論

通過對二級斜齒圓柱輪傳動系統(tǒng)耦合振動特性的分析，可以得出以下幾點結論：

（1）由于齒輪的耦合傳動，每個模態(tài)存在多軸的大幅振動，而且齒輪轉(zhuǎn)子的陀螺效應會導致系統(tǒng)模態(tài)頻率的大幅變化，所以考慮陀螺效應的多級齒輪耦合傳動分析能夠更加有效地分析系統(tǒng)的振動特性；

（2）斜齒圓柱齒輪的高速傳動會使嚙合力幅值增大，而且可能引起高頻模態(tài)頻率的顯著變化，轉(zhuǎn)速變化直接影響齒輪輪齒的嚙合特性；

（3）螺旋角增加會導致系統(tǒng)固有頻率降低，高速和低速級的螺旋角主要影響對應級齒輪嚙合作用力的大小；

（4）高速齒輪傳動中外加載荷越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；外加載荷較小時低速級更容易出現(xiàn)脫齒和背沖現(xiàn)象。