蒲汲君，周其斗，劉文璽

（海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢430033）

0 引 言

水翼在湍流中的非定常升力一直以來受到許多學(xué)者的關(guān)注和研究[1]。而響應(yīng)函數(shù)則是聯(lián)系水翼受到的沖擊脈動和環(huán)境湍流的重要方程。Sear[2]基于薄翼，無限展長和單向波數(shù)的假設(shè)得到了著名的傳遞函數(shù)Sear 函數(shù)?；诖死碚?，Liepmann[3]推導(dǎo)了在湍流脈動中無限長水翼的沖擊響應(yīng)公式，在此過程中，他忽視了湍流展長方向的變化，認(rèn)為水翼的沖擊響應(yīng)只是簡單線性湍流脈動的結(jié)果。

隨后，Ribner[4]提出將簡單的一維湍流波疊加以后可以得到二維湍流波模型。 在此基礎(chǔ)上，Liepmann[5]，Diederich[6]等人研究了三維有限長水翼在同向均勻的湍流中受力問題，他們認(rèn)為可以使用二維Sear 函數(shù)作為傳遞函數(shù)來研究有限長水翼問題，這種方法也被稱為二維薄片理論。Etkin[7]發(fā)現(xiàn)薄片理論并不是在所有時候都同樣適用，在弦長尺寸與湍流尺度相比相似或更大的情況下，二維Sear 函數(shù)不再適用。Larose 和Mann[8]，Larose[9]等人也在隨后的研究中證明了此觀點。

Graham[10]和Fiotas[11]考慮了三維湍流流域，在Sear 函數(shù)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了三維傳遞函數(shù)，其中Fiotas[12]將計算得到的傳遞函數(shù)與實驗結(jié)果進行了比較，發(fā)現(xiàn)有較大偏差。而Jackson 等人[13]運用Graham 推導(dǎo)的傳遞函數(shù)，則得到較好結(jié)果。Diederich[6]，Hakkinen[14]，zhong[15]，Massaro[16]和Li[17]進行了截面不規(guī)則時水翼的非定常升力研究。

在這篇論文中，介紹了有限長水翼的響應(yīng)公式，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了來流速度存在攻角和斜角下水翼的響應(yīng)公式。表1 給出了本文所用到的符號及定義。

表1 符號及定義Tab.1 List of symbols and definition

1 響應(yīng)函數(shù)公式推導(dǎo)

圖1 給出了計算湍流中水翼非定常升力的數(shù)學(xué)模型。如圖所示，U∞，Λ，w，C 和b 見表1 定義；x 為流向方向；y 為水翼展向方向；z 為縱向方向；k1，k2，k3為x，y，z 三個方向的波數(shù)。在推導(dǎo)響應(yīng)函數(shù)公式時，一般將水翼假設(shè)為無厚度的薄翼，此時水翼受到的非定常升力L 是由湍流場中速度脈動引起的。這里）為下洗速度w 引起的水翼攻角變化；h）為升力L 與攻角α（t ）之間的傳遞函數(shù)；L 為產(chǎn)生的非定常升力。此時沿水翼展向方向升力分布如下式所示：

圖1 數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model

由于湍流中的速度脈動是和統(tǒng)計有關(guān)的變量，所以使用均方值的概念更能準(zhǔn)確地表達(dá)該物理量。整個水翼所受到的升力均方值如下式所示：

其中：ψ （τ, y ）為攻角α（t ）關(guān)于時間t 和y 變量的自相關(guān)函數(shù)。這里引入縱向方向速度w 的自相關(guān)函數(shù)

在薄翼假設(shè)中，由于水翼表面z 方向坐標(biāo)為零，所以（τ1-τ2）U∞=x1-x2且α=w/U∞，可知攻角的變化只與速度分量w 有關(guān)（速度分量：u，v，w），于是得到：

將（5）式代入（4）式中得到：

于是，將上式代入（2）式得到：

從以上推導(dǎo)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，不管w 是否隨z 坐標(biāo)改變，φLk1（）的大小與k3無關(guān)。這為以后推導(dǎo)帶有攻角的水翼激振力寬頻譜時提供了理論基礎(chǔ)。現(xiàn)在需要求得

由Graham 發(fā)現(xiàn)，水翼在湍流中的升力系數(shù)沿展向的分布如下所示：

其中：T （k1,k2）為傳遞函數(shù)，現(xiàn)將沿展向方向進行積分，得到這個水翼的升力系數(shù)：

水翼升力還可以表述為三維傳遞函數(shù)Γ （k1,k2）與下洗速度eik1xw 的乘積：

結(jié)合（12）式和（11）式可得：

三維響應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式如下所示：

當(dāng)采用薄片假設(shè)時，T （k1,k2）=Se（κ），κ 為無因次頻率。二維響應(yīng)函數(shù)如下式所示：

這里采用Graham 計算得到的傳遞函數(shù)，如下式所示：

圖3 給出了n=1/2 和n=1/3 時的三維響應(yīng)函數(shù)以及薄片假設(shè)下的二維響應(yīng)函數(shù)計算結(jié)果，將計算得到的結(jié)果分別與實驗結(jié)果，F(xiàn)iotas 計算結(jié)果以及Sear 函數(shù)結(jié)果進行了比較，此時的計算參數(shù)為：Λ/C=0.4，b/C=0.28。從圖中分析發(fā)現(xiàn)，薄片假設(shè)下的二維響應(yīng)函數(shù)與三維響應(yīng)函數(shù)和實驗結(jié)果[20]相比都相差較大，這也證明了薄片理論的局限性。而n=1/2 和n=1/3 時三維響應(yīng)函數(shù)的計算結(jié)果也不相同，從圖中可以看到，兩條曲線的區(qū)別主要存在于介于0.1 到1 之間時，此時n=1/3 的計算結(jié)果稍稍大于n=1/2 的計算結(jié)果；在其他區(qū)域兩條曲線吻合較好。與實驗結(jié)果相比發(fā)現(xiàn)n=1/2 的計算結(jié)果與實驗結(jié)果更加接近，因此在以后的分析中都采用n=1/2 的湍流波譜模型。

圖2 下洗速度脈動波譜Fig.2 Spectrum of the vertical velocity fluctuations

圖3 響應(yīng)函數(shù)計算結(jié)果Fig.3 Admittance of a finite hydrofoil

2 一定來流攻角下響應(yīng)函數(shù)

從以上推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，φCL（ω ）的大小與k3無關(guān)，因此z 軸方向的參數(shù)不影響φCL（ω ）的大小，所以攻角θ 只影響來流速度Ux，對其它參數(shù)都是通過Ux來間接影響的。此時沿x 軸方向速度Ux=U∞·cosθ。所以一定攻角下的k1′和φw′（）

ω 如下式所示：

在以上定義下，升力系數(shù)的波譜函數(shù)如下式所示：

3 一定來流斜角下響應(yīng)函數(shù)

在來流速度存在一定斜角下，可以使用坐標(biāo)變換法研究該非定常問題，具體計算模型如圖4 所示。該方法適用于C<<2b 的時候。在新的坐標(biāo)系下，從相同縱坐標(biāo)下的來流速度到達(dá)水翼各個點處的時間存在一定差異，這使得各個微元段的升力有一定相位差。此時，時間t′與縱坐標(biāo)y 的關(guān)系式為t′=（10）式變?yōu)椋?/p>

圖4 計算模型Fig.4 Mathematical model

由于此時水翼展長b 遠(yuǎn)大于湍流尺度，所以k2′≈0，可以認(rèn)為，將k2代入（15）式得到一定斜角下有限長水翼的響應(yīng)函數(shù)為：

首先研究水翼展長b 對斜角系數(shù)的影響。設(shè)定無因次湍流尺寸Λ/C=0.4，無因次頻率，變換無因次展長b/C 分別為10，15，20，計算得到的斜角系數(shù)分布如圖5 所示。觀察發(fā)現(xiàn)：隨著來流側(cè)斜角B 的增大，斜角系數(shù)隨之減小，這說明時斜角越大，響應(yīng)函數(shù)越小。觀察還發(fā)現(xiàn)不同展長下的斜角系數(shù)曲線相差很小，從中可以得出結(jié)論：當(dāng)水翼展長較大時，水翼展長b 幾乎對斜角系數(shù)無影響。

由于無因次展長b 對斜角系數(shù)幾乎無影響，以下的研究中統(tǒng)一設(shè)定無因次展長b/C=15。

為研究斜角B 和湍流尺度Λ 對斜角系數(shù)的影響，變化斜角B 分別取為0.1，0.3，0.5 和1，無因次湍流尺度Λ/C=0.4，計算得到的斜角系數(shù)沿?zé)o因次頻率κC/2 的變化曲線如圖6（a）所示。設(shè)定無因次頻率κC/2=1，變換無因次湍流尺度Λ 分別為0.2，0.4，1 和3，計算得到的斜角系數(shù)沿側(cè)斜角度B 的變化曲線如圖6（b）所示。

圖5 不同展長下斜角系數(shù)分布Fig.5 Skew angle coefficient distribution under different span length

圖6 斜角系數(shù)變換規(guī)律Fig.6 Skew angle coefficient distribution under different factors

如圖6（a）所示，隨著無因次頻率增大，斜角系數(shù)基本呈先增大后減小的變化趨勢，各條曲線的峰值隨著側(cè)斜角B 的增大而增大，而峰值點的橫坐標(biāo)隨著斜角B 的增大而減小。值得注意的一點是：來流存在側(cè)斜時，會在低頻的區(qū)間內(nèi)使得響應(yīng)函數(shù)增大，進而增大非定常升力，且來流的側(cè)斜角越大，響應(yīng)函數(shù)增大的幅度越大。但隨著頻率的增大，側(cè)斜角越大，響應(yīng)函數(shù)衰減得越快，也就是說非定常升力在高頻區(qū)間內(nèi)衰減得越快。

如圖6（b）所示，在κC/2=1 下，隨著側(cè)斜角度B 增大，斜角系數(shù)呈下降趨勢，該現(xiàn)象也能在圖6（a）中得到體現(xiàn)。同時觀察還可以發(fā)現(xiàn)湍流尺度越大，斜角系數(shù)越小，這說明湍流尺度的增大會加劇來流側(cè)斜角對響應(yīng)函數(shù)的影響。

4 結(jié) 論

本文進行了有限長水翼響應(yīng)函數(shù)公式的推導(dǎo)，還研究了在來流速度存在攻角和側(cè)斜角的情況下響應(yīng)函數(shù)的變化規(guī)律，得到了以下結(jié)論：

（1）來流的攻角θ 并不影響響應(yīng)函數(shù)的大小；

（2）當(dāng)水翼展長較大時，展長b 對斜角系數(shù)幾乎無影響；

（3）來流存在側(cè)斜時，會在低頻的區(qū)間內(nèi)使得響應(yīng)函數(shù)增大；在高頻區(qū)間內(nèi)使響應(yīng)函數(shù)衰減更快；

（4）湍流尺度的增大會加劇來流側(cè)斜角對響應(yīng)函數(shù)的影響。