鄒 倩，韓旭里

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帶形狀參數(shù)的R-Coons曲面

鄒 倩1,2，韓旭里2

(1. 淮北師范大學(xué)信息學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410083)

為了解決傳統(tǒng)Coons曲面不具備形狀可調(diào)性，不能精確表示橢球面、橢圓錐面、橢圓柱面等二次曲面的問題，在有理函數(shù)空間上構(gòu)造了一組有理混合基函數(shù)，稱之為R-Hermite基。首先分析了R-Hermite基的性質(zhì)；其次基于R-Hermite基，利用張量積方法，構(gòu)造了一種新的帶兩個(gè)形狀參數(shù)的有理Coons曲面，并稱之為R-Coons曲面，R-Coons曲面不僅具有傳統(tǒng)Coons曲面的良好性質(zhì)，還具備形狀可調(diào)性；最后給出了曲面精確表示橢球面、橢圓錐面、橢圓柱面的方法，并通過實(shí)例說明方法的有效性。

R-Hermite基；R-Coons曲面；形狀參數(shù)；橢圓錐面

曲線曲面構(gòu)造是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design，CAGD)領(lǐng)域的主要研究內(nèi)容，所構(gòu)造的曲線曲面是否具有形狀可調(diào)性以及能否精確表示弧線、柱面曲線等曲線和橢球面(球面)、橢圓柱面(柱面)等二次曲面是衡量所構(gòu)造曲線曲面好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。為了改進(jìn)形狀可調(diào)性的問題，許多學(xué)者在基函數(shù)中引入形狀參數(shù)[1-5]，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的高階連續(xù)的保形有理插值曲線；文獻(xiàn)[2]給出帶形狀參數(shù)的1有理二次三角多項(xiàng)式曲線；文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了含3個(gè)形狀參數(shù)的五次多項(xiàng)式基函數(shù)；文獻(xiàn)[4]構(gòu)造了具有保形性的三次均勻B-樣條擴(kuò)展曲線，并加入了形狀參數(shù)。

1 R-Hermite基及其性質(zhì)

1.1 R-Hermite基的構(gòu)造

1.2 R-Hermite基的性質(zhì)

性質(zhì)1.端點(diǎn)性質(zhì)?？梢则?yàn)證

故R-Hermite基具有類似于Hermite基的端點(diǎn)性質(zhì)

圖1 λ取不同值時(shí)R-Hermite基的圖形

2 R-Coons曲面

2.1 R-Coons曲面的構(gòu)造

其中

式(1)可以改寫為

其中

曲面片式(2)對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為

其中，，，分別為信息矩陣的坐標(biāo)分量矩陣。

2.2 R-Coons曲面的性質(zhì)

性質(zhì)1.插值性。R-Coons曲面插值于4個(gè)角點(diǎn)(,)，且,=0.1，4個(gè)角點(diǎn)處的切矢p(,)，p(,)，,=0.1和4個(gè)扭矢p(,)，,=0.1。

性質(zhì)3.幾何不變性。由于R-Coons曲面和雙三次Coons曲面類似，是利用參數(shù)化構(gòu)造方法，所以曲面的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。

3 R-Coons曲面片實(shí)例

例1.取邊界信息矩陣

當(dāng)形狀參數(shù)和取不同值時(shí)，可以得到不同的曲面片(圖2)。

例2.取邊界信息矩陣

(a) (b) (c)

4 R-Coons曲面在幾何造型上的應(yīng)用

4.1 橢球面(球面)

橢球面的一種參數(shù)方程為

對(duì)于第2節(jié)定義的R-Coons曲面，給出邊界信息矩陣的坐標(biāo)分量如下

顯然，式(4)表示部分橢球面，圖4是=5,=6,=8時(shí)曲面的圖形。當(dāng)==>0時(shí)，式(4)為部分球面，圖5是===5時(shí)曲面的圖形。

圖4 部分橢球面

圖5 部分球面

4.2 橢圓錐面(圓錐面)

橢圓錐面的一種參數(shù)方程為

對(duì)于第2節(jié)定義的R-Coons曲面，給出邊界信息矩陣的坐標(biāo)分量如下

(5)

式(5)為部分橢圓錐面，圖6是=2,=4,=6時(shí)曲面的圖形，當(dāng)=時(shí)，式(5)為圓錐面，圖7是===3時(shí)曲面的圖形。

圖6 部分橢圓錐面

圖7 部分圓錐面

4.3 橢圓柱面(圓柱面)

橢圓柱面的一種參數(shù)方程為

對(duì)于第2節(jié)定義的R-Coons曲面，給出邊界信息矩陣的坐標(biāo)分量如下

(6)

式(6)表示的為部分橢圓柱面，圖8是=3,=5時(shí)曲面的圖形，當(dāng)=時(shí)，式(6)為圓柱面，圖9是==3時(shí)曲面的圖形。

圖8 部分橢圓柱面

圖9 部分圓柱面

5 結(jié)束語

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R-Coons Surface with Shape Parameters

ZOU Qian1,2, HAN Xu-li2

(1. College of Information, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)

In order to solve the lack of shape adjustability of the traditional Coons surface and the inability to accurately represent ellipsoid, elliptical cone, and elliptical cylinder etc., a set of rational hybrid basis functions is constructed in rational space, which is named R-Hermite basis. Firstly, the properties of R-Hermite basis are illustrated. Secondly, based on the R-Hermite basis, a rational Coons surface with two shape parameters is constructed by using the tensor product method, and it is called R-Coons surface, which not only has the good properties of traditional Coons surface, but also has shape adjustability. Finally, the method that can accurately represent ellipsoid, elliptical cone and elliptical cylinder is given, and some examples are illustrated to prove the effectiveness of the method.

R-Hermite basis; R-Coons surface; shape parameter; elliptical cone

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020388

A

2095-302X(2019)02-0388-07

2018-08-03；

2018-10-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11771453)；安徽省自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2017A849)

鄒 倩(1984-)，女，安徽懷遠(yuǎn)人，講師，碩士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、幾何造型等。E-mail：zouqian7@163.com