王 飛

（中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津 300300）

近年來，國內(nèi)外學(xué)者在研究過程中逐漸意識到空中交通系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性動力系統(tǒng)，探索空中交通系統(tǒng)的非線性特性成為空中交通領(lǐng)域研究熱點(diǎn)。在道路交通領(lǐng)域，非線性特性研究開展較早，主要從分形和混沌的角度進(jìn)行研究并取得了一系列成果?？罩薪煌鞯难芯科鸩酵?，成果較少。一方面，從傳統(tǒng)的交通流流量、速度、密度三要素入手，研究空中交通流的時(shí)空分布特征：張洪海等[1-2]利用仿真數(shù)據(jù)研究了單機(jī)場和多機(jī)場終端區(qū)空中交通流參數(shù)的時(shí)空特性及演變規(guī)律；許炎等[3]根據(jù)實(shí)測的雷達(dá)數(shù)據(jù)建立了空中交通流參數(shù)關(guān)系基本圖，研究了終端區(qū)空中交通流時(shí)空特性；張洪海等[4]針對終端區(qū)交通流建立了廣義跟馳模型，并研究了終端區(qū)交通流的復(fù)雜相變問題；王斯文[5]構(gòu)建了進(jìn)場交通流的元胞傳輸模型，并對首都機(jī)場進(jìn)場交通流特征進(jìn)行了仿真分析。另一方面，從交通流非線性特性入手，研究其分形和混沌特性：Li等[6]提出應(yīng)用小數(shù)據(jù)量法和小波去噪理論計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，并對飛行沖突時(shí)間序列的混沌特性進(jìn)行分析；Cong等[7]以扇區(qū)交通流量為對象建立時(shí)間序列，并對其混沌特性進(jìn)行深入研究；鄭旭芳[8]和王超等[9]從混沌和分形角度對交通流量時(shí)間序列的非線性特性進(jìn)行研究，并分析時(shí)間尺度的影響；楊陽等[10]利用混沌特性研究了扇區(qū)流量的短期預(yù)測方法。

空中交通流傳統(tǒng)的建模與預(yù)測方法均基于統(tǒng)計(jì)意義上的分布函數(shù)，鑒于空中交通流已被證實(shí)具有非線性特性，傳統(tǒng)方法過于理想化，難以準(zhǔn)確把握空中交通流的內(nèi)在特征和演化規(guī)律，而混沌、分形等非線性理論方法非常適于空中交通流的研究。從現(xiàn)有研究可看出，對空中交通流非線性研究主要集中在混沌的識別與預(yù)測上，對于分形特征的研究較少。研究空中交通流時(shí)間序列的分形特征，對于揭示空中交通流自組織規(guī)律和演變規(guī)律具有重要的科學(xué)價(jià)值，對空中交通流的建模、預(yù)測和管控具有重要的現(xiàn)實(shí)意義?？罩薪煌鞔嬖诜中蔚那疤崾潜仨毦哂虚L相關(guān)性，長相關(guān)性也稱為長程相關(guān)性或長記憶性，是產(chǎn)生分形的根源。長相關(guān)性反映的是過去狀態(tài)對當(dāng)前和未來狀態(tài)的影響程度，也是能夠根據(jù)過去狀態(tài)進(jìn)行交通流預(yù)測的一個(gè)重要因素。

空中交通流預(yù)測以扇區(qū)交通流為對象，構(gòu)建交通流時(shí)間序列，通過計(jì)算不同時(shí)間序列的Hurst指數(shù)，研究其長相關(guān)性，并計(jì)算長記憶周期，為其短時(shí)預(yù)測提供依據(jù)。

1 空中交通流時(shí)間序列

空中交通流是大量航空器沿航路航線相繼飛行形成的航班流，是空中交通管理的主要對象?；趯?shí)測數(shù)據(jù)的空中交通流時(shí)間序列是研究其非線性特性的有效手段。時(shí)間序列與時(shí)間尺度息息相關(guān)，不同時(shí)間尺度下構(gòu)建的時(shí)間序列的形態(tài)特征差異很大。如果時(shí)間尺度選擇過小，將會導(dǎo)致很多數(shù)據(jù)為0，從而難以體現(xiàn)交通流量的波動變化；如果時(shí)間尺度選擇過大，則更多體現(xiàn)交通流的宏觀特征，難以捕捉到細(xì)節(jié)特征。以廈門進(jìn)近管制區(qū)連續(xù)16天的流量數(shù)據(jù)為例，分別以 60 min、30 min、10 min和 5 min為統(tǒng)計(jì)時(shí)間尺度，構(gòu)建了4個(gè)交通流時(shí)間序列，如圖1所示。

從圖1可看出，每種時(shí)間尺度的交通流時(shí)間序列都具有一定的周期性，這是由于空中交通流是以飛行計(jì)劃為驅(qū)動的，而飛行計(jì)劃以天為周期。

2 Hurst指數(shù)計(jì)算法

Hurst指數(shù)是由Hurst于1951年在水文學(xué)研究中提出的，能夠反映出時(shí)間序列長相關(guān)性的強(qiáng)弱程度。

圖1 不同時(shí)間尺度的空中交通流時(shí)間序列Fig.1 Air traffic flow time series with different time scales

Hurst指數(shù)值越大，說明交通流序列之間的相關(guān)性越強(qiáng)。Hurst指數(shù)可用重標(biāo)極差法（R/S法）來確定，首先計(jì)算出重標(biāo)極差序列及對應(yīng)的時(shí)間增量序列，然后運(yùn)用回歸分析方法進(jìn)行估計(jì)，具體計(jì)算步驟如下。

步驟1將長度為N的原始時(shí)間序列A={a1，a2，…，aN}按照長度n等分為m=[N/n]個(gè)連續(xù)的子序列Bi（i=1，2，…，m），則每個(gè)子序列的元素為 bi，k，即 Bi={bi，k}，k=1，2，…，n。

步驟2計(jì)算每個(gè)子序列的均值為

步驟3計(jì)算每個(gè)子序列的累積離差為

步驟4計(jì)算每個(gè)子序列的極差為

步驟5計(jì)算每個(gè)子序列的標(biāo)準(zhǔn)差為

步驟6計(jì)算每個(gè)子序列的重標(biāo)極差為

步驟7計(jì)算在子序列長度為n條件下的m個(gè)重標(biāo)極差序列的均值為

步驟8逐漸增加子序列的長度n，不斷重復(fù)步驟1～步驟7，直至n=N/2，可得到子序列長度的向量和對應(yīng)重標(biāo)極差序列的均值向量。由于兩者存在冪率規(guī)律[11]，可運(yùn)用回歸分析計(jì)算 ln n-ln（R/S）n曲線的斜率，即為該交通流時(shí)間序列的Hurst指數(shù)可表示為

其中：C為一個(gè)常數(shù)；H為Hurst指數(shù)。

該時(shí)間序列的分形維數(shù)為

具有分形的系統(tǒng)，D通常為大于1的非整數(shù)。

步驟9計(jì)算V統(tǒng)計(jì)量，即

繪制Vn-lnn圖判定長記憶性：當(dāng)時(shí)間序列為獨(dú)立隨機(jī)過程時(shí)，該圖為一平坦的線；當(dāng)時(shí)間序列具有長記憶性時(shí)，該圖為一向上傾斜的曲線，從曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)就可求出長記憶性的周期長度[11]。

3 空中交通流長相關(guān)性實(shí)證分析

根據(jù)研究對象的不同，Hurst指數(shù)分為全局Hurst指數(shù)和局部Hurst指數(shù)，兩者的計(jì)算方法相同。全局Hurst指數(shù)表示整個(gè)時(shí)間序列長相關(guān)性，在空中交通流中表示交通流保持之前趨勢的強(qiáng)弱性；局部Hurst指數(shù)也稱時(shí)變Hurst指數(shù)，反映局部交通流的變化情況。

3.1 全局長相關(guān)性

以5 min時(shí)間尺度的空中交通流時(shí)間序列為例，繪制出lnn-ln（R/S）n曲線，如圖2所示。通過擬合計(jì)算斜率得到全局Hurst指數(shù)H=0.655 8，擬合的相關(guān)系數(shù)為0.982 1，其分形維數(shù)為1.344 2。不同時(shí)間尺度的交通流的Hurst指數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖2 5 min時(shí)間尺度的Hurst指數(shù)擬合曲線Fig.2 Hurst exponential fitting curve（5 min time scale）

表1 不同尺度的時(shí)間序列的Hurst指數(shù)Tab.1 Hurst exponent of time series with different scales

從圖2和表1可看出空中交通流時(shí)間序列具有如下特性：①所有時(shí)間序列的Hurst指數(shù)H≠0.5，說明全部序列都屬于非隨機(jī)序列，其運(yùn)行過程蘊(yùn)含豐富的非線性特性；②所有時(shí)間序列的Hurst指數(shù)H＞0.5，說明交通流具有長相關(guān)性，且為正相關(guān)，即過去的觀測值對現(xiàn)在和未來都有影響，可應(yīng)用過去的觀測值預(yù)測未來交通流發(fā)展趨勢；③不同尺度的時(shí)間序列的Hurst指數(shù)是不一樣的，雖然差別不大，但尚未發(fā)現(xiàn)明顯規(guī)律。

3.2 局部長相關(guān)性

為反映交通流隨時(shí)間的變化規(guī)律，將5 min時(shí)間尺度的時(shí)間序列按照288個(gè)數(shù)據(jù)（一天）為一個(gè)子區(qū)間，以1個(gè)數(shù)據(jù)為間隔向后推，得到一系列時(shí)間序列子區(qū)間，計(jì)算各子時(shí)間序列的Hurst指數(shù)，如圖3所示。

圖3 5 min時(shí)間尺度的局部Hurst指數(shù)Fig.3 Local Hurst exponent（5 min time scale）

從圖3可看出，局部Hurst指數(shù)值均大于0.5，表現(xiàn)為長相關(guān)性，交通流保持與前期相同的發(fā)展趨勢。局部Hurst指數(shù)具有一定的周期性，每個(gè)周期內(nèi)都會存在幾個(gè)局部最小值，這些點(diǎn)表現(xiàn)出長相關(guān)性減弱、隨機(jī)性增強(qiáng)的特性。

3.3 長記憶性周期分析

采用V統(tǒng)計(jì)方法繪制的Vn-ln n圖，如圖4所示。從圖4可看出，拐點(diǎn)在lnn≈2.52，則周期長度約為e2.52×5=62 min。

圖4 5 min時(shí)間長度時(shí)間序列的Vn-ln n圖Fig.4 Vn-ln n with time scale（5 min time scale）

4 結(jié)語

通過對空中交通流時(shí)間序列的實(shí)證分析，可得到如下結(jié)論：

1）空中交通流具有明顯的非線性分形特性，傳統(tǒng)交通流線性建模和預(yù)測方法存在不可避免的弊端，應(yīng)該使用分形等理論方法研究空中交通流，從而最終實(shí)現(xiàn)空中交通流的精準(zhǔn)管控；

2）4種時(shí)間尺度的交通流時(shí)間序列的全局Hurst指數(shù)均大于0.5，說明這4種時(shí)間序列均具有長相關(guān)性，即過去的狀態(tài)對當(dāng)前和未來都有影響，為預(yù)測未來交通流提供了科學(xué)判據(jù)；

3）局部Hurst指數(shù)隨著時(shí)間變化而變化，總體上具有一定程度的循環(huán)周期，在每個(gè)循環(huán)周期內(nèi)，會出現(xiàn)局部極小值，反映長相關(guān)性的波動情況，說明在各個(gè)子時(shí)間序列中交通流之間的依賴程度有所不同。

4）局部Hurst指數(shù)明顯高于全局Hurst指數(shù)，反映出子時(shí)間序列的長相關(guān)性更強(qiáng)，說明空中交通流的多步短期預(yù)測效果會比長期預(yù)測效果好。

5）尺度為5 min的交通流時(shí)間序列的變化周期即長記憶性周期大約為1 h，說明1 h內(nèi)的交通流的可預(yù)測性較好，超過1 h其預(yù)測準(zhǔn)確性難以保證。

以上僅對空中交通流的長相關(guān)性特征進(jìn)行分析，后續(xù)將對另一個(gè)核心分形特征——多重分形特征進(jìn)行深入研究。