劉思媛 伍 樂 周廷明 張 君 趙蕓赫

(四川省成都市溫江中學(xué) 四川 成都 611130) (北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875；首都師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100048)

沙漏在流沙時(shí)，其視重會(huì)發(fā)生變化.這是因?yàn)橄到y(tǒng)中沙子在自由下落和沖擊沙漏底盤時(shí)的超失重導(dǎo)致的.這樣一個(gè)模型簡單易于理解，是一個(gè)重要的教學(xué)模型[1～4].文獻(xiàn)[5]通過計(jì)算沙漏系統(tǒng)質(zhì)心的加速度隨時(shí)間的變化模擬出了系統(tǒng)視重隨時(shí)間變化的關(guān)系曲線，從定量的角度對(duì)這一現(xiàn)象做了很好的解釋.由于沙漏幾何形狀較復(fù)雜，故得到的理論關(guān)系依賴于多個(gè)裝置參數(shù)且過于復(fù)雜，不夠直觀.

本研究重點(diǎn)從定量的角度以最簡單的沙漏模型對(duì)此現(xiàn)象進(jìn)行理論與實(shí)驗(yàn)的研究，首先通過理論分析預(yù)測其視重變化及其影響因素，而后通過實(shí)驗(yàn)來印證理論解釋以及探究影響視重變化的不同因素.最后，通過分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析中不一致的地方，進(jìn)一步修正了理論模型.

1 理論分析

先假設(shè)一種理想的情況，如圖1所示的裝置，沙漏置于水平放置的秤盤上，初始時(shí)瓶中沙子質(zhì)量為m，容器的質(zhì)量為M，在t=0時(shí)，沙子開始釋放并落到下面容器之中.先以初速度為零，不受其他外力干擾，且質(zhì)量流率保持不變的理想化狀況來進(jìn)行分析.設(shè)過程中秤的讀數(shù)為N，沙漏下面容器高為h，質(zhì)量流率為λ，整個(gè)過程可分為如下幾個(gè)階段：

圖1 沙漏裝置示意圖

(1)釋放沙子之前，讀數(shù)為沙子和容器的總重力.

(2)沙子下落到接觸裝置下底面之前的過程中,由于沙子在空中對(duì)裝置沒有作用力，故處于失重狀態(tài)，示數(shù)不斷減小,根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下落到底端時(shí)有

在沙子即將接觸到底面，即t=t1時(shí)，其讀數(shù)最小，有

(1)

(3)當(dāng)沙子接觸底面時(shí)，由動(dòng)量定理，設(shè)沖力為F，則有

(F-Δmg)Δt=Δmv

(2)

由上式可得

且在Δt趨近于零時(shí)，Δm亦趨近于零，故

所以，在沙子接觸底面到全部流出上端容器的過程中，由于沙子對(duì)底部的沖力作用，此時(shí)對(duì)于沙子的視重有

N=(m+M)g-m空g+F=

(m+M)g

(3)

其中m空為在空氣中流動(dòng)的沙子的質(zhì)量，由式(3)可知，秤的讀數(shù)變大為(m+M)g，恢復(fù)至初始重量.

圖2 流沙沙漏視重隨時(shí)間變化的理論預(yù)測趨勢圖像

2 實(shí)驗(yàn)研究

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與方法

2.1.1 實(shí)驗(yàn)裝置的設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3(a)所示，選取兩個(gè)完全相同的瓶子A和B(市場上1.5 L的大飲料瓶),分別去頭去尾作為實(shí)驗(yàn)容器，B用于釋放沙子，A用于盛接沙子，為了能夠?qū)崿F(xiàn)改變瓶口高度，先在下容器A兩側(cè)固定住兩長木條M和M′，為了保證裝置的穩(wěn)定性，木條需滿足完全相等的條件.而后在上容器B的兩側(cè)，對(duì)稱地固定一對(duì)相等的滑塊N和N′.而對(duì)于整個(gè)裝置由一根粗鐵絲E與傳感器相連，由電腦端接收數(shù)據(jù)并繪圖.

關(guān)于沙子釋放裝置的設(shè)計(jì)，為了減小實(shí)驗(yàn)操作上的影響，我們利用栓緊的漁線將比瓶口稍大的塑料輕質(zhì)圓片托起并堵住瓶口，然后通過蠟燭快速燒斷漁線的方法來進(jìn)行沙子的釋放，如圖3(b)所示.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

2.1.2 實(shí)驗(yàn)裝置相關(guān)參數(shù)及測量方法

對(duì)于裝置中各種長度的測量，我們選用的是精確度為0.1 mm的刻度尺，實(shí)驗(yàn)裝置相關(guān)參數(shù)如下：FG=2.86 cm；BC=17.32 cm；DE=18.96 cm；AE=126.50 cm；BH=8.59 cm；而對(duì)于沙子的直徑，我們選用的不同目數(shù)的篩子進(jìn)行篩選，接著通過目數(shù)的轉(zhuǎn)化求得粒子直徑，然后我們分別稱量了空瓶和瓶中部分沙子的質(zhì)量以及那部分沙子的體積，求得沙子密度，得到實(shí)驗(yàn)中所用沙子的直徑和密度如下：d=0.6～0.7 mm;ρ=1.35 g/cm3.

對(duì)于沙子系統(tǒng)視重隨時(shí)間的變化我們通過力學(xué)傳感器進(jìn)行測量，設(shè)置傳感器精度為每秒鐘取30個(gè)數(shù)據(jù)，且多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行分析，使結(jié)果具有普遍性.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.2.1 沙漏視重隨時(shí)間的變化

圖4所示為沙子下落初始高度h=30 cm的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出，視重有一個(gè)先下降而后相對(duì)平穩(wěn)，接著上升，最后再次趨于平穩(wěn)的變化過程，與理論基本一致，但同時(shí)也有一定的差異，這將在后續(xù)討論中提及.

圖4 h=30 cm時(shí)流沙沙漏視重隨時(shí)間的變化

2.2.2 探究沙子質(zhì)量對(duì)結(jié)果的影響

選用不同質(zhì)量的沙子(400 g, 800 g, 1 200 g,1 500 g)來進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，可以看到，不同質(zhì)量沙子的視重曲線中第二次峰出現(xiàn)的時(shí)間不同，這是因?yàn)椴煌|(zhì)量的沙子穩(wěn)定流出的時(shí)間長短不同.

圖5 不同質(zhì)量的沙子對(duì)視重曲線的影響

為了便于分析和處理數(shù)據(jù)，我們將縱坐標(biāo)設(shè)為系統(tǒng)視重與初始值的差值ΔN，得到圖6，通過測量兩個(gè)峰之間平穩(wěn)段的長短大致相等，可以判斷出沙子的下落規(guī)律基本相同，如圖所示.

圖6 重合后的圖像

單獨(dú)取出視重曲線中峰值部分(橫坐標(biāo)表示打點(diǎn)個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)表示視重)，得到圖7，發(fā)現(xiàn)不同質(zhì)量沙子得出的實(shí)驗(yàn)圖像中的第二次峰值大小基本相同，符合理論分析，即峰值大小與質(zhì)量無關(guān).

圖7 不同質(zhì)量的沙子視重曲線的峰值比較

2.2.3 探究沙子下落高度對(duì)結(jié)果的影響

圖8 沙子下落高度對(duì)視重變化曲線的影響

圖9 沙子下落高度對(duì)視重變化曲線的影響

圖10 峰值大小與h的擬合曲線

3 理論修正

通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)與理論圖像，如圖11所示，可以發(fā)現(xiàn)，在沙子觸碰底面后穩(wěn)定下落時(shí)為超重狀態(tài)，即此時(shí)的視重比沙漏系統(tǒng)的初始重量要大.這是由于沙子初始下落時(shí)有初速度的緣故，因此需要對(duì)理想化的理論模型進(jìn)行修正.

圖11 實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果對(duì)比

考慮到沙子離開瓶口時(shí)有一定的初速度v0,且通過測量發(fā)現(xiàn)初速度較大.忽略其他外力的影響，同樣假設(shè)質(zhì)量變化率不變，設(shè)沙子從上部容器流出的出口面積為S0，則空氣中的沙子質(zhì)量、其運(yùn)動(dòng)情況及其與下部容器撞擊的沖力有

m(t)=ρv0S0t

(4)

(5)

(6)

(F-Δmg)Δt=Δmv

(7)

將式(4)～(7)代入

N=Mg+F-m(t)

可得沙子穩(wěn)定流出時(shí)的視重

比沙漏系統(tǒng)的初始重量要大.

修正后的理論模型示意圖如圖12所示.

圖12 修正后的理論模型示意圖

4 結(jié)論

本研究從定量的角度對(duì)沙漏在流沙過程中視重變化的現(xiàn)象進(jìn)行了理論與實(shí)驗(yàn)的研究，理論研究將沙子運(yùn)動(dòng)過程分解為4個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分別進(jìn)行分析，通過簡單的力學(xué)原理，解釋了沙漏裝置重量發(fā)生變化的原因，并給出了沙漏重量隨時(shí)間變化的定量關(guān)系.

然后通過自制的實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.首先對(duì)視重曲線進(jìn)行了定性驗(yàn)證，進(jìn)而利用該裝置驗(yàn)證了視重變化曲線中峰值大小與沙子下落高度成正相關(guān)，而與沙子的質(zhì)量大小無關(guān)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測符合較好.對(duì)于實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測存在差異的部分，如沙子觸碰底面后穩(wěn)定下落時(shí)的視重比沙漏系統(tǒng)的初始重量要大，而理論預(yù)測為相等的差異，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)這與沙子流出上容器出口時(shí)的初速度有關(guān)，故考慮這一初速度的影響，本文又對(duì)理論模型進(jìn)行了進(jìn)一步修正，解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測的差異.