董 平

(南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué) 江蘇 揚州 211900)

電場由于有著看不見、摸不著的抽象特點，所以教材[1]及教師在介紹、講解這一部分時，往往以定性分析大小關(guān)系居多，定量得出精確結(jié)果居少，使得物理這樣一個原本很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，多少留下了一些遺憾.同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)電場時也存在諸多疑惑.筆者發(fā)現(xiàn)借助于數(shù)學(xué)Mathematica軟件，利用導(dǎo)數(shù)和微元法(即高等數(shù)學(xué)中的“微積分”)定量計算，能夠優(yōu)化上述問題.

Mathematica是美國Wolfram研究公司開發(fā)的符號計算系統(tǒng)，具有高精度的數(shù)值計算和強大的數(shù)學(xué)計算功能，Mathematica8及更高版本新增了“自由格式語言輸入”功能，不需要操作者熟悉眾多的計算機編程語言和方法，更適合在中學(xué)教師和學(xué)生中推廣應(yīng)用.本文介紹在該軟件的支持下，對等量同種電荷連線的中垂線上和均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強定量分析過程.

1 等量同種電荷連線中垂線上的場強

1.1 定性分析

真空中的兩個等量同種電荷電場分布情況大致如圖1所示，中垂線上的場強變化情況我們在教學(xué)過程中常做這樣的定性分析：兩電荷連線中點處場強為零，無窮遠處場強也為零，其他位置場強不為零.故在中垂線上，從圖1中O點開始，沿x軸正方向場強先增大，再減小，中間某處存在場強的最大值.然而，最大值的位置究竟在哪呢？我們可以結(jié)合圖1作如下的定量計算.

圖1 等量同種電荷電場的分布

1.2 物理建模及Mathematica定量計算

以兩個等量帶正電的點電荷為模型，如圖2所示.

圖2 兩個等量同種電荷模型

A和B是兩個帶電荷量均+Q的點電荷，間距為2l，它們連線的中點為O，P點是中垂線上的任一點，AP和AB的夾角為θ.則任一點P處場強為

E=EAsinθ+EBsinθ=

(1)

為定量分析電荷量Q和間距2l這兩個參量對場強E的影響，使用Manipulat(交互運行)函數(shù)，在此取Q∈[0,+5×10-8C]，l∈[0,+0.2 m].對函數(shù)的可視化求解是Mathematica最大的優(yōu)點之一，為直觀展示場強E隨位置x的變化情況，使用Plot(繪圖)函數(shù)，可進行如下編程：

運行結(jié)果如圖3所示，與前文定性分析結(jié)果一致.

圖3 Mathematica輸出的操作區(qū)和場強變化圖像

正如前文定性分析所述，場強E確實存在最大值.由數(shù)學(xué)知識可知，導(dǎo)函數(shù)為零的點即為原函數(shù)的極大值處.對式(1)求E關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)并化簡，由于計算過程較為復(fù)雜，在此借助于Mathematica軟件.使用FullSimplify(完全簡化)函數(shù)和D(給出偏導(dǎo)數(shù))函數(shù)，可進行如下編程：

運行結(jié)果為

(2)

令式(2)E′=0，解得

最大值的位置與電荷量Q無關(guān)，僅取決于間距2l.

1.3 定量結(jié)論

綜上所述，等量同種電荷連線中垂線上的場強變化如圖4所示.

圖4 等量同種電荷連線中垂線上的場強

2 均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強

2.1 物理建模及Mathematica定量計算

以電荷量分布均勻的金屬圓環(huán)為模型如圖5所示.圓環(huán)帶電荷量為Q，半徑為R，O點為圓環(huán)的圓心.因圓環(huán)不可視為點電荷，所以在此不可直接用庫侖定律來分析其軸線上任一點P處的場強.

圖5 均勻帶電圓環(huán)模型

由于電荷分布的對稱性，圓環(huán)上各電荷元對點P處激起的場強dE的分布也具有對稱性.由圖5可見，dE在垂直于x軸方向的分量dE⊥相抵消，而沿x軸方向的分量dEx相疊加.且

(3)

對這些分量累積求和有(即積分，計算復(fù)雜的積分可借助于Mathematica中的Integrate積分函數(shù))

(4)

取Q=3×10-8C，R=0.1 m，使用Plot(繪圖)函數(shù)，可進行如下編程：

圖6 均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強

2.2 定量結(jié)論

3 結(jié)束語

本文的導(dǎo)數(shù)、積分看似復(fù)雜，可能對于我們高中物理教師而言，略有困難.但在Mathematica軟件的支持下，使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算得以解決.這對我們深入研究某些物理規(guī)律、消除學(xué)生的思維障礙有著很大的幫助.同時在由定性分析到定量計算的過程中，既實踐了物理學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)，也提升了高中生的物理核心素養(yǎng).