鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

簡諧運(yùn)動的位移、速度、加速度等物理量都按正弦型函數(shù)變化；在LC回路的等幅振蕩過程中，電容器極板上的電荷量、電路中的電流、電容器儲存的電場能、線圈儲存的磁場能等物理量都按正弦型函數(shù)變化.這些物理量都滿足二階齊次微分方程.反之，只要推導(dǎo)出某一物理量滿足的二階齊次微分方程，就可判斷該物理量按正弦型函數(shù)變化，而且能夠得出周期性變化的角頻率以及方程的通解即函數(shù)關(guān)系式.

1 結(jié)論歸納

對于做簡諧運(yùn)動的彈簧振子，若以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，考慮到振動質(zhì)點(diǎn)受到的回復(fù)力的方向總是跟振動位移的方向相反，則由牛頓第二定律可知回復(fù)力的大小為

由此得

這是振動位移所滿足的二階齊次微分方程，而簡諧運(yùn)動的位移圖像為正弦(或余弦)曲線，表明振動位移是正弦型函數(shù)，一般關(guān)系式為

x=Asin(ωt+φ)

所以二階微分方程的通解為

x=Asin(ωt+φ)

由此可得到關(guān)于簡諧運(yùn)動微分方程的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論.

結(jié)論:物體做簡諧運(yùn)動的位移y所滿足的二階齊次微分方程為

其通解為

y=Asin(ωt+φ)

(1)

等價(jià)式為

y=asinωt+bcosωt

(2)

式中的ω為簡諧運(yùn)動的角頻率.

對于非齊次微分方程

可變形為齊次微分方程

令

可得

其通解為

Y=Asin(ωt+φ)

可知

(3)

即為

(4)

上述結(jié)論在高等數(shù)學(xué)中有嚴(yán)格的推導(dǎo)過程.若直接利用結(jié)論來解答有關(guān)物理問題，可避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)積分演算過程，化繁為簡.而把各種相關(guān)問題統(tǒng)一應(yīng)用結(jié)論進(jìn)行求解，有助于深刻理解物理問題的本質(zhì)，拓展解題思路.

2 結(jié)論應(yīng)用

簡諧運(yùn)動微分方程在物理問題研究和賽題解答方面可簡化推導(dǎo)過程.對于有關(guān)復(fù)擺或非理想單擺的簡諧運(yùn)動以及LC電路電磁振蕩的周期多大、某些物理量如何變化等問題，帶電質(zhì)點(diǎn)在恒力與洛倫茲力共同作用下的旋輪線運(yùn)動以及彈簧復(fù)振子在恒力作用下周期性運(yùn)動的競賽題，有時(shí)需根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出二階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接得出角頻率，即可求出周期，再由其通解函數(shù)式和初始條件求出某些物理量的變化規(guī)律.下面以電磁振蕩電路為例進(jìn)行分析.

【例1】如圖1所示，理想的LC回路，電容器帶電荷量為qm，當(dāng)閉合開關(guān)后，電容器極板上的電荷量以及電路中的電流都將發(fā)生周期性變化.試推導(dǎo)電容器極板剩余的電荷量及電流的變化規(guī)律.

圖1 例1題圖

解析：設(shè)某時(shí)刻電容器處于放電狀態(tài)，放電荷量為q，則電容器中剩余的電荷量為

Q=qm-q

可知放電電流為

由于電流逐漸增加，可知線圈的自感電動勢方向與電流方向相反，其大小為

電容器兩端的電勢差大小為

其方向與電流方向相同，不計(jì)線圈和導(dǎo)線的電阻，由基爾霍夫定律列出回路電壓方程為

uC-EL=0

聯(lián)立以上方程可得電容器所帶電荷量的微分方程為

令

得

可知其通解為

Q=qmsin(ωt+φ)

利用初始條件

t=0Q=qm

可得

還有一種解法，設(shè)電容器極板剩余的電荷量為q，對放電電荷量取導(dǎo)數(shù)可得放電電流大小為

由于放電電流逐漸增大，則自感電動勢方向與電流方向相反，由于不計(jì)電阻，可知電容器的電勢差與線圈的自感電動勢大小相等，即

可得

點(diǎn)評：要注意電容器極板所帶的電荷量與放出的電荷量的區(qū)別，而電流是對電路中變化的電荷量即電容器放出的電荷量而言的.微分方程中的電荷量是指電容器所帶的電荷量，而不是放出的電荷量.如果利用通解

y=asinωt+bcosωt

也可得到相同的結(jié)果.

【例2】如圖2所示，LC串聯(lián)電路與直流穩(wěn)壓電源串聯(lián)，閉合開關(guān)后，電路中的電流及電容器極板上的電荷量將如何變化？

圖2 例2題圖

解析：閉合開關(guān)后，設(shè)電容器充電荷量為q，則兩端電勢差的大小為

由于充電電流增大，則線圈產(chǎn)生的自感電動勢方向與電流方向相反，其大小為

由基爾霍夫電壓定律列出回路電壓方程為

uL+uC=E

聯(lián)立各式得

兩邊取導(dǎo)數(shù)得

令

得

則通解為

i=imsin(ωt+φ)

下面分別求出φ和im.

利用初始條件

t=0i=0

可得

φ=0

所以

i=imsinωt

兩邊取導(dǎo)數(shù)得

考慮到電壓方程為

利用t=0，uC=0,得

所以

還有一種解法，即推導(dǎo)出關(guān)于充電荷量的二階微分方程

屬于非齊次方程，利用其通解和電荷量的初始條件可求得電荷量的變化規(guī)律，然后取導(dǎo)數(shù)即得電流的變化規(guī)律.

點(diǎn)評:對于電路中含有直流電源的LC振蕩電路，電容器極板上的電荷量并非按正弦型函數(shù)規(guī)律變化.還要特別注意t=0不是指開關(guān)閉合之前瞬時(shí)，而是指開關(guān)剛閉合瞬時(shí).在求解im時(shí)，需對電流的表達(dá)式求出導(dǎo)函數(shù)式，不但要結(jié)合初始條件，還要利用回路電壓方程.

在應(yīng)用基爾霍夫電壓定律列方程時(shí)，要注意規(guī)定正方向.可選擇回路中電流的方向?yàn)檎较?，以便確定方程中各物理量的正負(fù)，但首先要判斷線圈的自感電動勢的方向.

解題關(guān)鍵是推導(dǎo)出某個(gè)物理量滿足的二階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.可有兩種推導(dǎo)方式，其一是利用二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的物理量，如加速度等于位移的二階導(dǎo)數(shù)，角加速度等于角位移的二階導(dǎo)數(shù)，自感電動勢跟電荷量的二階導(dǎo)數(shù)成正比；其二是對一階微分方程兩邊取導(dǎo)數(shù).