張繁昌， 路亞威， 桑凱恒， 慎國強， 王振濤

(1.中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 山東青島 266580； 2.中國石化勝利油田分公司物探研究院, 山東東營 257031)

裂縫儲層作為一種重要的含油氣儲層,其中發(fā)育的裂縫既可以作為油氣儲集空間,又可以作為滲濾通道。裂縫密度、發(fā)育方向、開度及流體飽和等情況,是指導(dǎo)勘探開發(fā)的重要指標,如何準確預(yù)測這些參數(shù)一直是難點問題。由于實際地層中裂縫發(fā)育情況是復(fù)雜的,一般建立等效模型[1]來簡化裂縫,便于研究。裂縫的等效化模型大致可以分為3種:線性滑移模型[2]、Hudson模型[3-4]以及Thomson模型[5];線性滑移理論是近年最流行的等效理論,因為它忽略了裂縫的微觀結(jié)構(gòu),僅僅使用裂縫法向和切向柔度參數(shù)就可以描述裂縫,而且兩者的比值可以有助于確定巖石裂縫和主體骨架的巖石物理參數(shù)。當?shù)貙又邪l(fā)育一組平行高角度的裂縫時,可以將其等效為橫觀各向同性(HTI)介質(zhì),通過Ruger近似公式[6]建立裂縫儲層彈性物性參數(shù)與縱波方位地震數(shù)據(jù)之間的定量數(shù)學(xué)關(guān)系,最終可以利用反演方法[7-8]得到裂縫信息。疊前方位數(shù)據(jù)的多參數(shù)反演時,反演方程的系數(shù)矩陣條件數(shù)大,反演過程會變得極不穩(wěn)定,相比于常規(guī)疊后反演,其固有的病態(tài)性更為嚴重。為了避免求解過程中大量復(fù)雜的矩陣運算,Downton等[9]應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開理論,針對HTI介質(zhì),將地震數(shù)據(jù)在方位角上展開為多項與入射角度有關(guān)的三角函數(shù),將反演矩陣求解問題轉(zhuǎn)換為方位數(shù)據(jù)求和問題,顯著提高了計算速度與計算結(jié)果的準確性。但實際地層中通常發(fā)育著多個方向的裂縫,而且經(jīng)常是相互正交的[10-11],顯然HTI介質(zhì)無法滿足實際要求,這時需要對復(fù)雜介質(zhì)做更深入研究。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上,結(jié)合線性滑移理論,對正交各向異性裂縫介質(zhì)進行等效模型化,進一步研究傅里葉級數(shù)展開法在正交裂縫參數(shù)預(yù)測中的應(yīng)用。

1 旋轉(zhuǎn)對稱正交裂縫介質(zhì)剛度表示

線性滑動理論忽略了裂縫的形狀和微結(jié)構(gòu),認為裂縫將地層分割成彼此平行的柔性面,各柔性面在邊界處連續(xù),滿足線性滑動邊界條件。含有裂縫巖石的柔度S表示為各向同性背景圍巖的柔度Sb與裂縫柔度ΔS之和[12]:

(1)

式中,n為裂縫組號;C為含有裂縫巖石的剛度矩陣。各向同性背景介質(zhì)柔度矩陣Sb為

(2)

式中,λb、μb為背景圍巖的拉梅參數(shù)。對于正交裂縫,具有兩組不同的裂縫,則式(1)可以展開為

S=Sb+ΔSf1+ΔSf2.

(3)

若以x1軸平行于第一組裂縫的對稱軸方向,x2軸平行于第二組裂縫對稱軸方向建立坐標系,并假設(shè)裂縫具有旋轉(zhuǎn)對稱軸,且其在不同方向上沒有相互作用[12-14],則兩組裂縫的附加柔度矩陣ΔSf1、ΔSf2可以表示為

(4)

(5)

式中,SN、ST分別為裂縫附加柔度矩陣ΔS中的法向柔度和切向柔度,下標1、2分別對應(yīng)第一組裂縫和第二組裂縫。

引入Hsu等[15]提出的無量綱參數(shù)弱度項:

(6)

式中,δN1和δT1分別為第一組裂縫的法向弱度和切向弱度;δN2和δT2分別為第二組裂縫的法向弱度和切向弱度。

進一步對正交裂縫介質(zhì)的柔度矩陣S(式(3))求逆,并將裂縫弱度(式(6))帶入化簡,得到正交裂縫介質(zhì)的剛度矩陣C為

(7)

其中剛度矩陣C的各個系數(shù)為

(8)

其中

g=μb/(λb+2μb),

r=1-2g.

因為裂縫法向弱度δN1、δN2數(shù)量級較小,所以δN1δN2乘積近似為零,式(8)化簡為

(9)

2 正交各向異性介質(zhì)方位反射系數(shù)推導(dǎo)

對于弱各向異性介質(zhì),任意對稱軸縱波反射系數(shù)方程[16]表示為

2(Δε16cos2φ+Δε26sin2φ)cosφsinφ]sin2θtan2θ.

(10)

式中,α和β分別為縱波、橫波速度,上標橫線代表上下兩層介質(zhì)參數(shù)的平均值;θ為入射角;φ為方位角;Δ為界面兩側(cè)參數(shù)的相對變化量;εx、εy、εz、ε16、ε26、ε45、δx、δy、δz、χz、γx和γy為擾動參數(shù)。擾動參數(shù)εx、εy、εz、ε16、ε26、ε45、δx、δy、δz、χz、γx和γy定義如下:

(11)

其中

Aij=Cij/ρ.

式中,Aij為密度ρ標準化的剛度參數(shù)。

(12)

(13)

進一步將正交裂縫的剛度矩陣C(式(1))帶入式(11),得到正交裂縫反射系數(shù)的擾動參數(shù)為

(14)

將式(14)帶入式(10),最終得到正交介質(zhì)的反射系數(shù)表達式為

gr(sin2φΔδN1+cos2φΔδN2)-

4g(ΔδT1+ΔδT2)sin2φcos2φ]sin2θtan2θ.

(15)

3 正交裂縫方位反射系數(shù)傅里葉級數(shù)表示推導(dǎo)

研究表明任意弱各向異性介質(zhì)的反射系數(shù)可以視為以方位角為周期的函數(shù)[9],表示成三角函數(shù)之和的傅里葉級數(shù)形式為

(16)

對于具有N個采樣點的方位數(shù)據(jù),余弦和正弦函數(shù)前的系數(shù)un(θ)和vn(θ)定義為

(17)

(18)

對于弱各向異性介質(zhì)反射系數(shù)的近似,使用四階傅里葉級數(shù)展開精度就可以,因為更高階項的值很小,且無法分清是否是噪音,可以忽略,因此反射系數(shù)的四階傅里葉級數(shù)展開表示如下:

R(φ,θ)=u0(θ)+v2(θ)sin(2φ)+u2(θ)cos(2φ)+

v4(θ)sin(4φ)+u4(θ)cos(4φ).

(19)

其中各階三角函數(shù)前的系數(shù)代表的是任意對稱軸介質(zhì)反射系數(shù)公式(10)的線性組合,具體表示為

(20)

參數(shù)ωij與擾動參數(shù)(式 (11))之間的關(guān)系為

(21)

將得到的正交裂縫擾動參數(shù)式(14)帶入式(21),化簡后可以得到任意觀測坐標系下正交介質(zhì)傅里葉反射系數(shù)的具體表達式:

R(φ,θ)=R0(θ)+R2(θ)cos(2(φ-φ0))+

R4(θ)cos(4(φ-φ0)).

(22)

其中φ0為觀測系統(tǒng)坐標系與推導(dǎo)方程所用坐標系的夾角。將余弦函數(shù)展開后可以得到式(19)的形式,而各級數(shù)振幅項Rn(θ)和偏移相位φ0與合并前的傅里葉級數(shù)式(16)的關(guān)系為

(23)

最后推導(dǎo)得到的正交裂縫方位反射系數(shù)傅里葉各階級數(shù)項的具體表達式為

(24)

其中參數(shù)A0、B0、C0與各向同性參數(shù)和各向異性參數(shù)之間的關(guān)系如下:

(25)

當各向同性介質(zhì)中只發(fā)育一組垂直裂縫時,即裂縫弱度ΔδN1、ΔδT1等于零,或者ΔδN2、ΔδT2等于零,各階傅里葉反射系數(shù)的表達式變?yōu)?/p>

(26)

式(26)即為HTI介質(zhì)傅里葉反射級數(shù)表達式,和Downtown[9]給出的形式相同。可見HTI介質(zhì)傅里葉反射系數(shù)公式是正交介質(zhì)傅里葉反射系數(shù)公式的一種特殊情況。

4 正交裂縫密度與傅里葉反射級數(shù)項之間的關(guān)系

Hudson[3-4]給出了含有薄硬幣形狀裂縫的等效模量剛度表達式,對比線性滑移模型,可以得到裂縫法向弱度δN和切向弱度δT與Hudson參數(shù)之間的關(guān)系:

(27)

其中e為裂縫密度,U11、U33為Hudson裂縫參數(shù),將Hudson裂縫參數(shù)帶入式(27)化簡可以得到[12]:

(28)

(29)

式中,Kf和μf分別為裂縫中流體的體積模量和剪切模量;a/c為裂縫高寬比。如果裂縫不含流體或飽含氣體,Kf、μf近似等于零,此時,裂縫的法向和切向弱度為

(30)

對應(yīng)的反射系數(shù)傅里葉級數(shù)R2(θ)和R4(θ)近似等于:

(31)

(32)

可以看出,對于給定入射角度,通過聯(lián)立(31)和(32)兩式,就可以分別得到兩個正交方向裂縫的發(fā)育密度。

對于飽含流體的薄裂縫,其寬高比c/a很小,μf等于零,裂縫法向弱度趨于零:

(33)

對應(yīng)的反射系數(shù)傅里葉級數(shù)R2(θ)和R4(θ)近似等于:

(34)

(35)

同樣,對于給定入射角度,通過聯(lián)立式(34)和(35),就可以分別得到兩個正交方向裂縫的發(fā)育密度。

5 模型測試

5.1 單點模型測試

建立表1所示的模型,上層為各向同性介質(zhì),縱、橫波速度、密度分別為3 800 m/s、1 900 m/s、2 450 kg/m3;下層為裂縫介質(zhì),只發(fā)育一組平行裂縫,裂縫飽含氣體,裂縫的法向弱度δN1為0.09,切向弱度δT1為0.17,裂縫密度e1為0.08,縱、橫波速度、密度分別為4 200 m/s、2 100 m/s、2 550 kg/m3。其他參數(shù)為零。

表1 HTI單組裂縫模型參數(shù)

按表1給出的HTI模型參數(shù),利用正交介質(zhì)傅里葉反射系數(shù)展開式(22),得到方位各向異性反射系數(shù)隨入射角度和方位變化響應(yīng)如圖1所示?？梢钥闯鲭S入射角度增大,反射系數(shù)振幅變化越來越明顯,即方位各向異性特征越來越明顯;隨方位角變化,反射系數(shù)在裂縫法向0°取得極大值,而在裂縫走向±90°取得極小值。符合HTI介質(zhì)的方位各向異性特征。

圖1 HTI介質(zhì)反射系數(shù)隨方位角和入射角變化Fig.1 Reflection coefficient variations with azimuth and incidence angle in HTI media

進一步研究正交裂縫,建立如表2所示的模型,上層為各向同性介質(zhì),縱橫波速度、密度分別為3 800 m/s、1 900 m/s、2 450 kg/m3;下層為正交裂縫介質(zhì),縱橫波速度、密度分別為4 200 m/s、2 100 m/s、2 550 kg/m3。其中第一組裂縫,裂縫法向平行于30°方向,裂縫法向弱度δN1為0.09,切向弱度δT1為0.17,裂縫密度e1為0.08;而第二組裂縫垂直于上一組的裂縫,即裂縫法向平行于120°方向,裂縫法向弱度δN2為0.05,切向弱度δT2為0.1,裂縫密度e2為0.05。由此可以得出正交裂縫偏移相位30°,正交裂縫方位反射系數(shù)隨方位角和入射角變化如圖2所示?？梢钥闯?隨入射角度增大,反射系數(shù)振幅變化越來越明顯,方位各向異性明顯;隨方位角變化,同一入射角度情況下,30°方向為反射系數(shù)取得最大值方向,對應(yīng)第一組裂縫密度較大的裂縫組法向;-60°方向取得局部極大值,對應(yīng)第二組密度較小的裂縫組法向。圖3是正交裂縫方位反射系數(shù)傅里葉二階級數(shù)R2項,可以看出極大值對應(yīng)的方位角正是正交裂縫偏移相位角。

表2 正交裂縫模型參數(shù)

圖2 正交裂縫方位反射系數(shù)隨方位角和入射角變化Fig.2 Reflection coefficient variations with azimuth and incidence angle in orthorhombic media

圖3 正交裂縫方位反射系數(shù)傅里葉級數(shù)展開R2項Fig.3 Fourierseries termR2for azimuthal reflection coefficients of orthorhombic media

5.2 單道模型裂縫密度預(yù)測

選取Marmous模型中的一道作為模型數(shù)據(jù),并給出正交裂縫密度,假設(shè)裂縫為含氣或干裂縫,裂縫位置為裂縫密度不為零的地方。模型參數(shù)如圖4所示。然后根據(jù)褶積模型,用雷克子波合成不同方位角和入射角的具有不同信噪比的地震記錄,進一步利用傅里葉級數(shù)展開原理,分別得到不同入射角度的傅里葉2、4階級數(shù),最后通過聯(lián)立式(31)和(32)解得正交方向的裂縫密度。

圖5為應(yīng)用傅里葉級數(shù)方法對不同信噪比地震記錄進行裂縫密度e1預(yù)測的結(jié)果?？梢钥闯霎斝旁氡却笥?時,用該方法預(yù)測得到的結(jié)果準確,信噪比過小時,預(yù)測結(jié)果與實際裂縫密度差別較大,因此實際應(yīng)用中應(yīng)采用信噪比大于5的地震數(shù)據(jù)。

圖4 單道正交裂縫模型Fig.4 Single orthogonal fracture model

圖5 不同信噪比地震記錄下的傅里葉級數(shù)裂縫密度e1預(yù)測結(jié)果Fig.5 Prediction results for fracture density from seismic data with different signal-noise ratio

6 結(jié)束語

通過推導(dǎo)得出弱各向異性條件下正交裂縫方位反射系數(shù)的傅里葉級數(shù)展開方程,并根據(jù)Hudson裂縫模型,分別得到了干裂縫和流體飽含裂縫的傅里葉2、4階級數(shù)與裂縫密度的關(guān)系。模型測試結(jié)果表明,該公式能夠正確描述正交裂縫介質(zhì)方位各向異性與反射系數(shù)之間的關(guān)系,而且應(yīng)用該方法進行裂縫密度預(yù)測時,在較高信噪比條件下能夠準確預(yù)測不同方向的裂縫密度。需要說明的是,該方程應(yīng)用條件為弱各向異性介質(zhì),且方位采樣數(shù)據(jù)應(yīng)足夠多,保證傅里葉級數(shù)展開方法要求的采樣間隔滿足Nyquist采樣定理;另外本文中只是進行了模型測試,實際數(shù)據(jù)應(yīng)用中需要對縱橫波速度比的影響做進一步研究。