韓延成，梁夢媛，Said M Easa，唐 偉，初萍萍，高學平

?

平底懸鏈線形明渠水力最優(yōu)斷面求解

韓延成1，梁夢媛1，Said M Easa2，唐 偉1，初萍萍1，高學平3

（1. 濟南大學水利與環(huán)境學院，濟南 250022；2. Department of Civil Engineering, Ryerson University, Toronto, M5B 2K3, Canada； 3. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072）

斷面設計是渠道設計的重要內容之一，適宜的渠道斷面不僅能夠增加過流能力，提高輸水效率，減小輸水損失，還能降低建造成本。該文提出了一種具有平底和懸鏈線形側邊的明渠斷面。這種斷面將平底和懸鏈線側邊平滑連接，既具有平底斷面建造容易、靈活，管護方便，底部容易壓實，側邊和平底可以用不同材料建造（以降低成本）等優(yōu)點，也具有懸鏈線形斷面過流能力大、無應力集中拐角、不宜滲漏、防凍脹能力強，耐久性好等優(yōu)點，可廣泛應用于大、中、小型渠道及寒區(qū)，具有良好的實用價值。推導了過流面積、濕周、水面寬度等水力斷面特性計算公式。提出了一個更簡單的正常水深的迭代算法?；诶窭嗜粘俗臃?，推導出了平底懸鏈線形明渠的水力最優(yōu)斷面，結果表明其水力最優(yōu)斷面的底寬與水深比、水面寬與水深比、底寬與形狀系數比、水面寬度與形狀系數比、形狀系數與水深比均為常數：寬深比等于0.405，形狀系數與水深比等于0.474，水面寬與水深的比值為2.112，底寬與形狀系數的比值為0.855。與現有平底斷面（梯形、平底拋物線形、平底半立方拋物線形）進行了比較，結果表明，在過流面積或濕周一定的情況下，平底懸鏈線形斷面的過流能力最大，相反，在流量一定的情況下，平底懸鏈線形斷面的過流面積、濕周、水面寬度是最小的。與傳統(tǒng)的懸鏈線形渠道進行了比較，增加平底后，在同等條件下，平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面的過流能力不僅沒有降低，反而增加了，意味著其經濟性也優(yōu)于傳統(tǒng)的懸鏈線斷面。研究為平底懸鏈線形渠道設計提供理論支撐。

形狀；水力學；渠道；平底；懸鏈線形；水力最優(yōu)斷面

0 引 言

中國有300多萬千米長的渠道，每年有大量的渠道需要建設、改造。明渠斷面設計理論對提高輸水效率、減小輸水損失、提高灌區(qū)農業(yè)發(fā)展、減小建造成本均有重要的意義[1-2]。過去，由于施工、襯砌、預制機具落后，渠道大多用簡單梯形、矩形斷面[1]，隨著機械化襯砌、預制技術的發(fā)展，越來越多的輸水工程采用曲線形或部分采用曲線形斷面[3-5]，例如U形斷面、拋物線形斷面、弧形坡腳梯形斷面。

根據渠道底部形狀不同，傳統(tǒng)的明渠斷面可以分為2類：1）平底斷面，包括梯形、矩形斷面；2）曲線形斷面，包括半圓形、拋物線形、懸鏈線形、蛋形等斷面[1]。曲線形和平底斷面均有各自的優(yōu)缺點。學者們普遍認為曲線形斷面有如下優(yōu)點[4-11]：1）曲線形斷面沒有拐角，沒有應力集中點，不易有應力集中導致的裂縫，因此滲漏少；2）曲線形斷面從底部到頂部是逐漸擴大的，因而具有更好的邊坡穩(wěn)定性（特別是非襯砌渠道）；3）曲線形斷面具有更大的過流能力和更好的水力學特性；4）曲線形斷面的防凍脹、耐久性特性普遍優(yōu)于梯形斷面[12-15]，因而和使用壽命更長。正是曲線形斷面的這些特點，使曲線形或復合曲線形斷面成為灌區(qū)使用最廣泛的渠道斷面形式之一。例如U形斷面底部采用了曲線形圓弧。雖然施工難度較梯形斷面增大了，但其防滲漏、抗凍張、耐久性及過流能力均好于梯形斷面，使其成為最廣泛應用的斷面之一。拋物線形斷面是繼梯形和U形斷面之后發(fā)展的新斷面，具有水流條件好，渠道不易淤積、抗凍脹能力強和節(jié)省耕地的特點, 并且隨著施工機具的發(fā)展，拋物線形渠道在施工制模中更容易計算和控制，因此在水利水電工程、農田灌溉和排水及在南水北調工程中廣泛應用[16-17]。河北省石津灌區(qū)、甘肅省洪水河灌區(qū)、寧夏引黃灌區(qū)都大量地使用了拋物線形斷面混凝土襯砌防滲渠道，效果很好[16]。另外，廣泛應用的圓形斷面、馬蹄形、城門洞、卵形均為純曲線或部分曲線形斷面，也是不可或缺的輸水斷面。學者們越來越重視新型渠道的研究，提出了許多創(chuàng)新斷面。魏文禮等[18]提出了半立方拋物線形斷面，Han等[9-10]提出了立方拋物線形斷面和10/3次方拋物線形斷面。學者們對新型渠道斷面及曲線形斷面的水力學特性展開了廣泛的研究。Loganathan等[8,11]對拋物線形斷面的設計及水力最優(yōu)斷面展開了深入研究，張寬地等[19]對圓形斷面的水力特性進行了研究，梁元博等[20]對城門洞形、馬蹄形斷面進行了研究，文輝等[16,21-22]對拋物線形斷面進行了研究。但曲線形斷面也有缺點，例如建造的靈活性不如梯形斷面，底部不易壓實[3,6-7]，不宜應用于大型寬淺型渠道（受曲線函數的約束），另外由于曲線形斷面只有2個曲線側邊，缺少平底部分會使維護增加難度[3,6]。平底斷面（如梯形、矩形）具有底部施工工藝簡單，底部容易壓實，底寬可以變化，建造靈活等優(yōu)點[4,7-8]，但其缺點是水力學特性不如曲線形斷面，過流能力小且有明顯的應力集中點和拐角，易造成裂縫和滲漏，易遭凍脹破壞[7,23]，耐久性不如無應力集中點的曲線形斷面。

學者、工程師們在對曲線形斷面大量研究的基礎上，提出了各種新型復合斷面，包括U形斷面、弧形坡腳梯形、平底拋物線形斷面等。Abdulrahman[24]提出了一種梯形底、矩形側邊的復合斷面，Babaeyan-Koopaei[25]提出了一種拋物線形底三角形側邊的復合斷面，Vatankhah[26]提出一種通用的多邊形渠道。U斷面是將圓形底和梯形側邊結合的復合斷面，目前得到了廣泛的工程實際應用?；⌒纹履_梯形斷面是一種平底圓角的復合斷面[11,23]。相對于梯形斷面，雖然其過流能力提高有限，但能使平底、圓角、側邊平滑連接，既有梯形斷面的優(yōu)點，又有曲線形斷面的優(yōu)點，其防凍脹特性優(yōu)于梯形斷面，襯砌板不易產生凍脹破壞[23]，具有良好的實用價值，是中國渠道防滲工程技術規(guī)范推薦使用的一種渠道形式[23]。另外，Das[7]提出了將平底和拋物線形側邊結合的平底拋物線渠道斷面，Han[6]提出了平底的半立方拋物線形渠道及水力最優(yōu)斷面。Easa[27]（2009）[28]提出了兩段式平底拋物線形斷面，證明其較平底拋物線形斷面具有更優(yōu)的特性。Easa等[28-29]提出了平底的橢圓形渠道及最優(yōu)斷面。

懸鏈線形斷面是水力學中重要的斷面類型，具有優(yōu)良的水力學特性，最優(yōu)斷面的過流能力較拋物線形斷面過流能力還大[1,30]，本文結合梯形斷面和懸鏈線形斷面各自的優(yōu)點，提出一種具有平底和懸鏈線形側邊的斷面，理論上它既具有懸鏈線形斷面無應力集中點，不易有應力集中導致的裂縫，滲漏少，穩(wěn)定性好、水力特性優(yōu)良、抗凍脹能力強等特征，也具有平底斷面設計、建造靈活，施工難度小、管理和維護容易，底部容易壓實等特性，具有良好的實用價值和應用前景。本文研究了其水力斷面特性、正常水深及水力最優(yōu)斷面，以期為該斷面工程應用提供理論支撐。

1 平底懸鏈線形渠道水力斷面特性和正常水深

1.1 水力斷面特性

傳統(tǒng)的懸鏈線形斷面是曲線形斷面（圖1a），形狀可表示為[1]

式中為形狀系數；為橫坐標，m；為縱坐標，m；cosh為雙曲余弦函數。

注：為懸鏈線形側邊部分對應水面寬度，m；為形狀系數；為水深，m；為渠道底寬，m；為水面處的邊坡系數；hc為平底懸鏈線形斷面的水面總寬度，m。下同。

Note:is width of water surface for side portion of catenary section, m;is shape factor;is water depth, m;is bottom width, m;is side slope factor at water surface;hcis total width of water surface of horizontal-bottomed catenary section, m. Same as below.

圖1 2種懸鏈線形斷面

Fig. 1 Two types of catenary sections

平底懸鏈線形斷面由1個平底和2條懸鏈線側邊組成，平底與側邊平滑連接，沒有拐點，因而也沒有應力集中點。如圖1b所示，方程可表示為

平底懸鏈線形斷面面積可用積分法得到

式中hc為水深對應平底懸鏈線形斷面面積，m2；sinh為雙曲正弦函數。

濕周為平底和2個側邊長度之和，用積分法可得到

式中hc為濕周，m。

1.2 平底懸鏈線形渠道正常水深計算

1.2.1 正常水深計算公式

正常水深是明渠水力學的重要內容，在渠道設計、運行、水面線計算中廣泛應用。正常水深與流量、糙率、底坡之間形成了復雜的非線性關系，大多數類型渠道斷面沒有顯式直接求解公式[31]。學者們對正常水深的顯式求解方法進行了大量的研究[17,19,32]，針對梯形、拋物線形、蛋形、馬蹄形等各種斷面提出了顯式求解方法。迭代法是最常用的方法，其優(yōu)點是計算簡單，可以無限逼近理論解[31,33-35]。

正常水深的求解一般根據明渠均勻流計算中最常用的曼寧公式[1]表示如下

式中為流量，m3/s；為糙率；為渠底縱向比降。

將式（3）、式（6）和式（7）代入式（9），簡化后可以得到流量和正常水深之間的關系為

可以看出，式（10）是一個高度非線性方程，不能顯式求解正常水深，不方便工程應用，研究顯式算法是必要的。

1.2.2 牛頓顯式迭代顯式算法

1）牛頓顯式迭代顯式算法推導

根據式（10）和式（11），可以得到牛頓迭代顯式算法為

其中

從式（12）可以看出，推導出的牛頓迭代算式雖然可以用來手工計算，但表達式還是比較復雜。

1.2.3 簡單顯式迭代算法

根據式（10），本文提出簡單的顯式迭代算法如下

根據迭代原理[38]，式（16）收斂的條件是

式中

1.3 平底懸鏈線形斷面的水力最優(yōu)斷面推導

1.3.1 底懸鏈線形斷面的水力最優(yōu)斷面模型

根據水力學，水力最優(yōu)斷面為流量一定的情況下，過流斷面的面積最小的斷面[1,3,4,6]，可表示為

目標函數

約束條件

1.3.2 水力最優(yōu)斷面的推導

根據最優(yōu)化方法中的拉格朗日乘子法，式（22）和（23）可表示為（Rao，2009）

式中為拉格朗日乘子，為約束函數。由式（24）和式 （25），消掉可得到

同樣，由式（24）和式（26），消掉得到

根據式（23），對求關于、和的導數，并代入式（27）和式（28）得到：

以上2式是求解平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面的微分方程。下面根據式（29）和式（30）求解平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面的具體參數。

同樣，根據式（21），求hc關于、和的導數分別為

將式（31）代入式（29），式（32）代入式（30），簡化后得到

聯接方程組（33），可以得到= ±3.602，= ±0.855。由于工程中、、均為大于0的值，因此平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面2個最重要的參數為

根據式（34）和式（35）可以得到水面寬與形狀系數比為

根據式（3）和式（34），可以得到水力最優(yōu)斷面形狀系數和水深之間的關系為

由式（35）和式（37）可以得到水力最優(yōu)斷面的寬深比為

根據式（34）～式（37），可以得到與的比率和B與的比率分別為

1.3.3 水力最優(yōu)斷面的水力學計算公式

1）已知水深求流量

將式（34）～（38）代入式（6）、式（7），可以得到計算hc和hc的直接求解公式

將hc和hc代入式（9），可以得到流量的直接計算公式為

2）已知流量求水深

利用式（44）～（37），可以得到已知流量求、hc、hc和hc的表達式為

3）正常水深和臨界水深

顯然水力最優(yōu)斷面條件下正常水深就是式（44），是一個顯式公式。臨界水深是水力學的另一個重要參數，在水面線，水躍等水力學計算中廣泛應用。臨界水深的通用計算公式為

式中為動能修正系數；為重力加速度，m/s2。將式（40）和（41）代入式（49），解方程可以得到臨界水深h的顯式求解公式為

2 應用案例及結果分析

2.1 平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面公式應用案例

1）某地要建設一條渠道，已知糙率=0.014，渠底縱坡=1/20 000，流量=25.0 m3/s。要求按水力最優(yōu)斷面設計平底懸鏈線形渠道并求水面寬度、過水斷面面積和濕周。

注：為懸鏈線形側邊部分對應水面寬度與形狀系數之比；為底寬與形狀系數之比。

Note:is ratio of water surface width of side portion for catenary section () to shape factor ();is ratio of bottom width () to shape factor ().

圖2 過水斷面面積hc和、之間的關系

Fig. 2 Relationship between flow areahcandand

2.2 與平底及梯形明渠斷面比較

梯形斷面、矩形斷面是應用最廣泛的斷面類型。另外，由于其兼有平底和拋物線形斷面的優(yōu)點，平底拋物線形斷面水力最優(yōu)斷面的過流能力較同樣條件下的梯形斷面大，得到大量的學者認可和關注[3,7,28]。本文提出的平底懸鏈線形斷面過流能力是否能達到平底拋物線形斷面或接近呢？

2.2.1 與平底及梯形斷面水力特性比較

1）與平底拋物線形斷面比較

平底拋物線形斷面由平底和拋物線形側邊組成 （2007）[3,7]，其形狀定義為[3]

與平底拋物線形斷面對比（表1）可以看出，在過水斷面面積或濕周相同的條件下，平底懸鏈線形斷面的過流能力大于平底拋物線形斷面。在流量相同的條件下，平地懸鏈線形斷面的過流斷面面積、濕周、水面寬度均小于平底拋物線形斷面，意味著其土方成本、襯砌成本、征地費均減小平底拋物線形斷面。

平底半立方拋物線形斷面是一種具有平底和半立方拋物線側邊的組合斷面，Han[6]研究了其水力最優(yōu)斷面及其特性（結果如表1所示）。對比結果表明，在過水斷面面積或濕周相同的條件下，本文提出的平地懸鏈線形斷面的過流能力大于平底半立方拋物線形斷面。在流量相同的條件下，平地懸鏈線形斷面的過流斷面面積、濕周、水面寬度均小于平底半立方拋物線形斷面，是一種更經濟的斷面。

表1 懸鏈線形渠道與現有渠道水力最優(yōu)斷面水力特性比較

在機械化襯砌和預制渠道越來越廣泛應用的背景下，建造的土渠越來越少，曲線形渠道與梯形渠道的建造難度差別越來越小。濕周的減小可以減小襯砌費用，水面寬度的減小可以減小征地費，過水斷面的減小可以減小土方費用。更重要的是，本文提出的斷面，平底和側邊平滑連接，無應力集中點，可以減小由于應力集中造成的裂縫[6-8]，是一種非常實用的斷面。

2.2.2 案例分析

2）按其他平底斷面設計：用同樣的方法，利用表1中的公式，可以得到按梯形斷面、平底半立方拋物線形斷面、平底拋物線形斷面設計的水力最優(yōu)斷面結果如表2所示。對比結果表明，平底懸鏈線形斷面的過流面積、濕周和水面寬度均是最小的。

表2 不同斷面類型得到的水力最優(yōu)斷面結果

2.3 與傳統(tǒng)懸鏈線形斷面比較

傳統(tǒng)懸鏈線形斷面具有良好的水力學特性[1,30]。雖然本文作者認為平底懸鏈線形斷面相對于傳統(tǒng)懸鏈線形斷面，其最大的優(yōu)點是靈活性。但增加平底后，需要研究水力最優(yōu)斷面水力學特性是否降低。

由圖1可以看出，傳統(tǒng)的懸鏈線形斷面是平底懸鏈線形斷面的一種特殊形式。設=0，則式（2）為傳統(tǒng)的懸鏈線形斷面。同時將=0代入平底懸鏈線形斷面的斷面面積與濕周計算式（6）和式（7），可以得到傳統(tǒng)懸鏈線形斷面的面積和濕周計算公式為

與求解平底懸鏈線形最優(yōu)斷面的方法相似（式（41）～式（48）），可以得到懸鏈線形最優(yōu)斷面的過水斷面面積、濕周、水面寬度的顯式計算公式（如表2所示）。對比結果顯示，增加平底后水力最優(yōu)斷面水力特性并沒有降低。在過水斷面面積或濕周相同的條件下，平底懸鏈線形斷面的過流能力大于傳統(tǒng)懸鏈線形斷面；在流量相同的條件下，平底懸鏈線形斷面的過流斷面面積、濕周、水面寬度均小于傳統(tǒng)懸鏈線形斷面。意味著土方成本、襯砌成本、征地費均減小了。從圖1、圖2對比可以看出，加平底后，建造更加靈活了（渠道寬度可以隨底寬靈活調節(jié)）。另外，平底懸鏈線形斷面加平底后，由于施工機械可以進入渠道施工，顯然施工難度降低了，測量人員可以站在底部放線，平底的精度更容易控制，底部也容易壓實，可以避免一般曲線形斷面底部容易空洞的問題[3,6]，管護時，人可以站在底部操作，機械可以在底部行走，管護也方便了[3,6]。更重要的是，正如著名的渠道設計專家Das指出的那樣，曲線形側邊加側邊后，就可以像梯形斷面一樣，側邊和底部采用不同的材料，以減小建造成本，或增加防滲效果[7]。因此平底懸鏈線形是一種非常實用的斷面。

3 結 論

2）平底懸鏈線形斷面與平底斷面相比，與現有的平底斷面（梯形、平底拋物線形、平底半立方拋物線形斷面）比較，在同等條件下（過流面積或濕周相同），平底懸鏈線形最優(yōu)斷面的過流能力最大。相反，在過流量一定的情況下，平底懸鏈線形最優(yōu)斷面具有最小的過流面積和濕周，這意味著，平底懸鏈線形斷面的在流量一定的情況下，需要更少的土方量，更小的襯砌量和更少的征地費，因而更經濟。同時其具有平底斷面建造靈活（底部容易壓實、寬度可以隨底寬靈活調整，底部和側邊可以采用不同材料以減小成本或增加防滲效果等）、施工難度降低、管護方便等優(yōu)點。

3）與傳統(tǒng)的懸鏈線形斷面相比，與傳統(tǒng)的懸鏈線形渠道比較結果表明，增加平底后，在同等條件下，平底懸鏈線形渠道水力最優(yōu)斷面的過流能力增加了。相反，在過流量一定的情況下，平底懸鏈線形最優(yōu)斷面具有更小的過流面積和濕周、水面寬度，意味著，襯砌量、土方量和征地費更小，經濟性、實用性更高。同時其還具有傳統(tǒng)的懸鏈線形斷面無應力集中拐點、過流能力大、滲漏量小、不宜破壞、抗凍脹能力強的特點，因而其實用性更強，應用前景廣闊。

[1] Chow V T. Open Channel Hydraulics[M]. New York: McGraw-Hill, 1959.

[2] Jain A, Bhattacharjya R K, Sanaga S. Optimal design of composite channels using genetic algorithm[J]. Journal of Irrigation & Drainage Engineering, 2004, 130(4): 286－295.

[3] Han Yancheng, Gao Xueping, Xu Zhenghe. The best hydraulic section of horizontal-bottomed parabolic channel section[J]. 水動力學研究與進展B輯，2017，29(2): 305－313.

[4] 韓延成，徐征和，高學平，等. 二分之五次方拋物線形明渠設計及提高水力特性效果[J]. 農業(yè)工程學報，2017，33(4)：131－136. Han Yancheng, Xu Zhenghe, Gao Xueping, et al. Design of two and a half parabola-shaped canal and its effect in improving hydraulic property[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(4): 131－136. (in Chinese with English abstract)

[5] 羅金耀，王長德，夏富洲，等. 大型輸水渠道系統(tǒng)優(yōu)化設計研究[J]. 水利學報，1996(6)：24－28. Luo Jinyao, Wang Changde, Xia Fuzhou, et al. Optimization design of large-scale water conveyance channel system[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 1996(6): 24－28. (in Chinese with English abstract)

[6] Han Yancheng. Horizontal bottomed semi-cubic parabolic channel and best hydraulic section[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2015, 45: 56－61.

[7] Das A. Optimal design of channel having horizontal bottom and parabolic sides[J]. Journal of Irrigation & Drainage Engineering, 2007, 133(2): 192－197.

[8] Loganathan G V. Optimal design of parabolic canals[J]. Journal of Irrigation & Drainage Engineering, 1991, 117(5): 716－735.

[9] Han Yancheng, Easa S M. New and improved three and one-third parabolic channel and most efficient hydraulic section[J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2017, 44(5): 387–391.

[10] Han Yancheng, Easa S M. Superior cubic channel section and analytical solution of best hydraulic properties[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2016, 50: 169－177.

[11] Mironenko A P, Willardson L S, Jenab S A. Parabolic canal design and analysis[J]. Journal of Irrigation & Drainage Engineering, 1984, 110(2): 241－246.

[12] 鄭文錦，林琳. U形斷面抗凍脹能力優(yōu)越性分析[J]. 水利與建筑工程學報，2006，4(1)：51－53. Zheng Wenjin, Lin Lin. Advantages of U-shaped section for frost heaving resistance [J]. Journal of Water Resources and Architectural Engineering, 2006, 4(1): 51－53. (in Chinese with English abstract)

[13] 楊漢林. 實用弧形坡腳梯形斷面的設計[J]. 中國農村水利水電，2000(12)：28－31. Yang Hanlin. Design of practical curved slope trapezoidal section[J]. China Rural Water and Hydropower, 2000(12): 28－31. (in Chinese with English abstract)

[14] 王正中，李甲林，陳濤，等. 弧底梯形渠道砼襯砌凍脹破壞的力學模型研究[J]. 農業(yè)工程學報，2008，24(1)：18－23. Wang Zhengzhong, Li Jialin, Chen Tao, et al. Mechanics models of frost-heaving damage of concrete lining trapezoidal canal with arc-bottom[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2008, 24(1): 18－23. (in Chinese with English abstract)

[15] 宋清林. 拋物線形混凝土襯砌渠道凍脹破壞力學模型及數值模擬[D]. 楊凌：西北農林科技大學，2015. Song Qinglin. Mechanical Model and Numerical Simulation of Frost Heaving Failure of Parabolic Concrete Lining Channel [D]. Yangling: Northwest A&F University, 2015. (in Chinese with English abstract)

[16] 文輝，李風玲. 數值積分法計算拋物線形渠道恒定漸變流水面線[J]. 農業(yè)工程學報，2014，30(24)：82－86. Wen Hui, Li Fengling. Numerical integration method for calculating water surface profile of gradually varied steady flow in parabola shaped channel[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2014, 30(24): 82－86. (in Chinese with English abstract)

[17] 張新燕，呂宏興. 拋物線形斷面渠道正常水深的顯式計算[J]. 農業(yè)工程學報，2012，28(21)：121－125. Zhang Xinyan, Lü Hongxing. Explicit solution for normal depth in parabolic-shape channel[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2012, 28(21): 121－125. (in Chinese with English abstract)

[18] 魏文禮，楊國麗. 立方拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的計算[J]. 武漢大學學報，2006，39(3)：49－51. Wei Wenli, Yang Guoli. Calculation of optimal hydraulic cross-section for cubic parabola-shape channel [J]. Journal of Wuhan University, 2006, 39(3): 49－51. (in Chinese with English abstract)

[19] 張寬地，呂宏興，趙延風. 明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計算[J]. 農業(yè)工程學報，2009，25(3)：1－5. Zhang Kuandi, Lü Hongxing, Zhao Yanfeng. Direct calculation for normal depth and critical depth of circular section tunnel under free flow [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2009, 25(3): 1－5. (in Chinese with English abstract)

[20] 梁元博，馬吉明，謝省宗. 城門洞形及馬蹄形輸入隧洞內的水躍[J]. 水利學報，2000，31(7)：20－24. Liang Yuanbo, Ma Jiming, Xie Shengzong. Hydraulic jumps in rectangular conduit with circular upper wall and horseshoe tunnel[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2000, 31(7): 20－24. (in Chinese with English abstract)

[21] 趙延風，宋松柏，孟秦倩. 拋物線形斷面渠道收縮水深的直接計算方法[J]. 水利水電技術，2008，39(3)：36－37. Zhao Yanfeng, Song Songbai, Meng Qinqian. A direct calculation method for water depth in parabolic-shaped channel with contracted section[J]. Water Resources and Hydropower Engineering, 2008, 39(3): 36－37. (in Chinese with English abstract)

[22] 張志昌，賈斌，李若冰，等. 拋物線形渠道的水力特性[J]. 水利水運工程學報，2015(1)：61－67. Zhang Zhichang, Jia Bin, Li Ruobing, et al. Hydraulic characteristics of parabolic channels[J]. Journal of Water Resources and Hydropower Engineering, 2015(1): 61－67. (in Chinese with English abstract)

[23] 汪藝義. 弧形坡腳梯形渠道中弧形半徑的確定[J]. 水利規(guī)劃與設計，2017(1)：115－117. Wang Yiyi. Determination of radius radius in trapezoidal channel of curved slope[J]. Water Resources Planning and Design, 2017(1): 115－117. (in Chinese with English abstract)

[24] Abdulrahman A. Best hydraulic section of a composite channel[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2007, 133(6): 695－697.

[25] Babaeyan-Koopaei K, Valentine E M, Swailes D C J. Optimal design of parabolic-bottomed triangle canals[J]. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, 2000, 126(6): 408－411.

[26] Vatankhah A R. Semi-regular polygon as the best hydraulic section in practice (Generalized solutions)[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2014, 38(8): 67－71.

[27] Easa S M. Improved channel cross section with two-segment parabolic sides and horizontal bottom[J]. Journal of Irrigation & Drainage Engineering, 2009, 135(3): 357－365.

[28] Easa S M. Versatile general elliptic open channel cross section[J]. Ksce Journal of Civil Engineering, 2016, 20(4): 1572－1581.

[29] Easa S M, Vatankhah A R. New open channel with elliptic sides and horizontal bottom[J]. Ksce Journal of Civil Engineering, 2014, 18(4): 1197－1204.

[30] 呂宏興，馮家濤. 明渠水力最佳斷面的比較[J]. 人民長江，1994(11)：42－45. Lü Hongxing, Feng Jiatao. Comparison of the best hydraulic sections in open channels[J]. People’s Yangtze River, 1994(11): 42－45. (in Chinese with English abstract)

[31] 韓延成，初萍萍，梁夢媛，等. 冰蓋下梯形及拋物線形輸水明渠正常水深顯式迭代算法[J]. 農業(yè)工程學報，2018，34(14)：101－106 Han Yancheng, Chu Pingping, Liang Mengyuan, et al. Explicit iterative algorithm of normal water depth for trapezoid and parabolic open channels under ice cover[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(14): 101 －106. (in Chinese with English abstract)

[32] 張新燕，呂宏興，朱德蘭. U形渠道正常水深的直接水力計算公式[J]. 農業(yè)工程學報，2013，29(14)：115－119. Zhang Xinyan, Lü Hongxing, Zhu Delan. Direct calculation formula for normal depth of U-shaped channel[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2013, 29(14): 115－119. (in Chinese with English abstract)

[33] Bijankhan M, Kouchakzadeh S. Egg-shaped cross section: Uniform flow direct solution and stability identification[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2011, 22(6): 511－516.

[34] Li Yonghong, Gao Zhaoliang Explicit solution for normal depth of parabolic section of open channels[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2014, 38(2): 36－39.

[35] Zhang X Y, Wu L. Direct solutions for normal depths in curved irrigation canals[J]. Flow Measurement & Instrumentation, 2014, 36(4): 9－13.

Optimal hydraulic section of horizontal-bottom catenary channel

Han Yancheng1, Liang Mengyuan1, Said M Easa2, Tang Wei1, Chu Pingping1, Gao Xueping3

(1.250022,; 2.M5B 2K3,300072)

A suitable channel section cannot only increase flow capacity of channel, improve efficiency of water resources, and reduce water leakage loss, but also decrease construction cost. This paper proposed a channel section with a horizontal bottom and catenary sides (HBC). The HBC section, on one hand, provided a larger flow capacity, lesser-sharp angles of stress concentration, less leakage, better slope stability and frost heave resistance than trapezoids and rectangles sections. On the other hand, it had lots of advantages of horizontal bottom sections, such as simpler construction, easier leveling and compaction of the foundation, and lesser construction cost. The most important advantage of this section was that the horizontal bottom and sides could be built with different materials or thickness for decreasing the construction cost or other purposes. The shape function for HBC was defined. The formulas for the flow area, wetted perimeter, and water surface width were presented. A simpler iterative algorithm for calculation of the normal depth was developed. The iterative convergence by this algorithm was evidenced. Comparisons showed that this simpler iterative algorithm was better than classic Newton iterative algorithm. The optimal model of the best hydraulic section of HBC was built. The general differential equations for all the sections having horizontal bottomed and curve sides were derived. The best hydraulic section of HBC channel was obtained according to Lagrange multiplier method and its characteristics were presented including shape factor, ratio of horizontal bottom width to shape factor etc. The results showed that the following optimum parameters were constant for the best hydraulic HBC section: bottom width to water depth, water surface width to depth, bottom width to shape factor, water surface width to shape factor, shape factor to water depth equals. The ratio of water surface width for catenary part to shape factor equaled 3.602, the ratio of bottom width to shape factor equaled 0.855, the ratio of bottom width to water depth equaled 0.405, and the ratio of shape factor to water depth equaled 0.474, and the ratio of total water surface width to water depth equaled 2.112. Various explicit formulae to calculate the normal depth, critical depth, shape factor, flow area, wetted perimeter and water surface width of the HBC section were derived for the best hydraulic section for HBC channel. These formulas should make the design of the HBC section easier and promote its practical applications. The optimum parameters of the best hydraulic section for existing horizontal bottom (HB) sections, such as trapezoidal, rectangle, horizontal bottomed parabolic, and horizontal bottomed semi-cubic parabolic were derived. The comparison results showed that the HBC section had larger discharge than those of existing horizontal bottom (HB) sections under the same conditions. In addition, the flow area, wetted perimeter, and water surface of the HBC section were the smallest, which means that earthwork cost, lining cost and land expropriation cost are all decreased, which means HBC section is more economical. Comparison with classic catenary section showed that the discharge of the HBC was larger than that of the classic catenary section under the same conditions. The flow area, wetted perimeter and water surface of the HBC were smaller than these of the classic catenary section, which means the HBC section has better hydraulic characteristics. Its economy was also superior to the traditional catenary section. The results were verified by examples. The proposed section should enrich existing types of open channel sections. The research provides a new practical and flexible channel section for channel design and theoretical support for horizontal-bottom catenary channel design and applications.

shapes; hydraulics; channels; horizontal bottom; catenary; best hydraulic section

2018-07-31

2019-02-10

山東省自然科學基金（ZR2017LEE028）；山東省“一事一議”（周飛艨）人才計劃項目；山東省重點研發(fā)計劃（2016GSF117038）；國家“十二五”科技支撐計劃（2015BAB07B02-6）

韓延成，教授，博士，主要從事水力學及河流動力學方面研究。Email：stu_hanyc@ujn.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.06.011

TV 131.4

A

1002-6819(2019)-06-0090-10

韓延成，梁夢媛，Said M Easa，唐 偉，初萍萍，高學平. 平底懸鏈線形明渠水力最優(yōu)斷面求解[J]. 農業(yè)工程學報，2019，35(6)：90－99. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.06.011 http://www.tcsae.org

Han Yancheng, Liang Mengyuan, Said M Easa, Tang Wei, Chu Pingping, Optimal hydraulic section of horizontal-bottom catenary channel[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(6): 90－99. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.06.011 http://www.tcsae.org