朱立明

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義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次的構(gòu)建

朱立明

（唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000）

數(shù)學(xué)符號意識作為義務(wù)教育的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，表現(xiàn)為動態(tài)的認知過程．從數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)涵出發(fā)，通過實證研究得出學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識具有可測性，并初步從內(nèi)隱性與外顯性兩個方面構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的4個分析層次，即感知與識別、理解與運算、聯(lián)想與推理、抽象與表達，每個分析層次詳細劃分了3個具體操作指標．該分析層次為數(shù)學(xué)符號意識這一隱形課程目標的測評提供參考．

數(shù)學(xué)符號意識；義務(wù)教育；實證研究；分析層次

1 引言

1.1 研究背景

符號意識寫入了中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2001年提出符號感），但數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)研究相對滯后．由于教育理念從以知識為本到以人為本的轉(zhuǎn)變，發(fā)展學(xué)生的符號意識已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標，是中國義務(wù)教育階段的一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯性與學(xué)生的認知水平．數(shù)學(xué)符號意識超越了所要表達的具有象征性的事物，使數(shù)學(xué)從冗長繁瑣的文字表達束縛下釋放出來，數(shù)學(xué)在真正意義上成為傳達思想的媒介．作為數(shù)學(xué)抽象物的一種表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)符號既是對現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的抽象，也是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部規(guī)律的集中體現(xiàn)．因此，發(fā)展學(xué)生的符號意識已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標，符號意識也成為中國義務(wù)教育階段一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此有必要對數(shù)學(xué)符號意識進行研究．

1.2 研究問題

要培養(yǎng)義務(wù)教育階段學(xué)生的符號意識，首先，需要弄清楚什么是數(shù)學(xué)符號意識，這就必須對數(shù)學(xué)符號意識本身有清晰的認識；其次，需要對教師是否在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中有效地培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識進行合理的價值判斷，即如何對學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識進行測評？因此，研究旨在探究與形成數(shù)學(xué)符號意識分析層次與操作指標，為數(shù)學(xué)符號意識的測評提供指引．

1.3 研究意義

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)知識表達的核心工具，能夠清晰而簡明地表達數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律以及數(shù)學(xué)思想．數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)陀^事物本質(zhì)屬性的思維加工，是通過感官刺激在頭腦中形成的“烙印”，不會隨著客觀事物的消亡而消失．義務(wù)教育階段，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要面臨多種數(shù)學(xué)符號的考驗，每一個新的符號出現(xiàn)，對于學(xué)生都是陌生的．因此，數(shù)學(xué)符號像一把“雙刃劍”，在使數(shù)學(xué)教育清晰化的同時也給數(shù)學(xué)教育帶來困難，主要表現(xiàn)在，數(shù)學(xué)教育尤其是義務(wù)教育階段，如何讓學(xué)生能夠更好地感知數(shù)學(xué)符號化之后所要表達的數(shù)學(xué)意義．因此，在數(shù)學(xué)教育中，不僅應(yīng)該經(jīng)歷利用數(shù)學(xué)符號進行運算與推理的過程，還應(yīng)該明白在運算與推理的背后所蘊含的道理．在這個意義上，數(shù)學(xué)課程中要求形成學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識．

2 文獻綜述

為了構(gòu)建數(shù)學(xué)符號意識的分析層次，在檢索相關(guān)期刊論文研究成果的時候，以“2001—2016年”為時間節(jié)點，采用“全文”的方式，保證收集到的文獻盡量全面，更多選取核心期刊的雜志，保證所用文獻的權(quán)威性．2001—2011年以“符號感”為“全部字段”的方式進行檢索，2011—2016年以“符號意識”為“全部字段”的方式進行檢索．重點分析蘊含數(shù)學(xué)符號意識維度的相關(guān)研究，通過對文獻的收集整理發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于數(shù)學(xué)符號意識維度的研究成果主要集中于能力、心理、行為、多重4個取向，詳細觀點如表1所示．能力取向的數(shù)學(xué)符號意識，在維度劃分的過程中更加關(guān)注數(shù)學(xué)符號意識的能力表現(xiàn)，將學(xué)生的符號能力作為數(shù)學(xué)符號意識的核心內(nèi)容，較少考慮其它因素．心理取向的數(shù)學(xué)符號意識，在維度劃分的過程中更加關(guān)注數(shù)學(xué)符號意識心理層面的表現(xiàn)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)符號心理傾向作為數(shù)學(xué)符號意識的核心內(nèi)容．行為取向的數(shù)學(xué)符號意識，在維度劃分的過程中更加關(guān)注學(xué)生的行為表現(xiàn)，將學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的處理作為核心內(nèi)容．多重取向的數(shù)學(xué)符號意識維度劃分即兼有前面3種取向中兩種以上取向的數(shù)學(xué)符號意識維度的劃分．

通過對數(shù)學(xué)符號意識所分維度的關(guān)鍵詞進行提煉，主要可以得到如下關(guān)鍵詞：認知、鑒賞、預(yù)估、選擇、思考、理解、運用、感知、操作、抽象、轉(zhuǎn)換、直覺、表達、運算、推理、記憶、存儲、提取、發(fā)現(xiàn)、反省，如圖1所示．

3 研究方法

3.1 被試選取

選定的專家結(jié)構(gòu)包括高等院校的數(shù)學(xué)教育理論研究者、中小學(xué)教研員以及教學(xué)一線的專家型教師．數(shù)學(xué)教育理論研究者來自東北師范大學(xué)、陜西師范大學(xué)、首都師范大學(xué)、華中師范大學(xué)、華南師范大學(xué)、西南大學(xué)、重慶師范大學(xué)等，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)符號意識等領(lǐng)域都曾有過一定研究．所選的數(shù)學(xué)教研員與一線數(shù)學(xué)教師，是來自四川、河南、河北、廣東、天津等地，都是數(shù)學(xué)名師、小學(xué)或是初中名師工作室的主持人，具體結(jié)構(gòu)如表2所示．他們所提的意見與建議具有一定的說服力，對該研究中數(shù)學(xué)符號意識分析層次的構(gòu)建具有一定的指導(dǎo)意義．

表1 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的關(guān)鍵詞摘要

圖1 數(shù)學(xué)符號意識關(guān)鍵詞頻率統(tǒng)計

表2 所選教師群體的結(jié)構(gòu)

3.2 研究工具

通過對上述關(guān)鍵詞進行分析，有的是表示心理活動傾向的，例如認知、抽象等，有的是表示外顯行為的，例如表達、操作等，并且其中的一些關(guān)鍵詞具有程度上的不同．例如，感知、認知、理解、抽象實際上是學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的心理活動傾向不斷升高的表現(xiàn)．經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，思考、直覺、記憶、存儲、提取、反省出現(xiàn)的頻率最低（1.19%），發(fā)現(xiàn)（2.38%）、鑒賞（3.57%）、預(yù)估（3.57%）出現(xiàn)的頻率較低，將其刪除．頻率最高的是數(shù)學(xué)符號的理解（16.67%）．初步得到數(shù)學(xué)符號意識分析層次的關(guān)鍵詞包括：選擇、理解、運用、感知、操作、抽象、轉(zhuǎn)換、表達、運算、推理．并依此制定專家問卷，每個層次劃分具體操作指標，利用Likert五級量表形式進行計分，從“非常不同意”到“非常同意”，依次賦分為1~5，得分越高，表明對數(shù)學(xué)符號意識分析層次的描述認同度越高．

3.3 專家咨詢

依據(jù)分析得出數(shù)學(xué)符號意識分析層次的10個關(guān)鍵詞：選擇、理解、運用、感知、操作、抽象、轉(zhuǎn)換、表達、運算、推理，然后對專家進行咨詢，例如，您認為不合理的或者需要增減的層次，專家亦可在“修改意見”處填寫自己對數(shù)學(xué)符號意識分析層次的相關(guān)意見或建議．專家咨詢問卷采用兩種方式進行發(fā)放，第一種是以電子郵件的形式發(fā)送給31位專家（主要是高校數(shù)學(xué)教育理論研究者），共回收有效問卷28份，回收率為90.3%；第二種是借助秋季國培班，發(fā)放問卷103份，專家結(jié)構(gòu)包括高校數(shù)學(xué)教育理論研究者17人，教研員35人，一線專家型教師51人．回收有效問卷99份，回收率為96.1%．兩次共發(fā)放問卷134份，回收有效問卷127份，回收率為94.8%．專家咨詢問卷回收之后，從集中度（即專家對分析層次適合度測評的平均分）、離散度（即專家對分析層次適合度測評的離散程度）、變異系數(shù)（即離散度與集中度的比值）3個統(tǒng)計量對專家反饋結(jié)果進行分析．

專家群體比較同意關(guān)于數(shù)學(xué)符號意識分析層次的劃分．雖然專家群體大體上認可數(shù)學(xué)符號意識分析層次的劃分，但是他們也同樣認為，有些分析層次和操作指標需要刪除、修改、整合．S專家認為：“當前數(shù)學(xué)教育的最大價值應(yīng)該在于使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光來看待現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維來思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言來表達現(xiàn)實世界，因此，數(shù)學(xué)符號的表達是非常關(guān)鍵的，表達主要是指書面上的．除此之外，數(shù)學(xué)符號意識具有雙重性，內(nèi)隱的心理傾向與外顯的能力表現(xiàn)，如果在層次的設(shè)定過程中能夠同時表現(xiàn)出內(nèi)心活動和外在表現(xiàn)，這樣是比較全面的，在操作指標上也要體現(xiàn)進階性．”Z專家指出：“數(shù)學(xué)符號的選擇并非是培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識的重點所在，從內(nèi)涵上講數(shù)學(xué)符號的選擇范圍過于寬泛，與《標準（2011年版）》也不太一致，并且與其它分析層次，例如，數(shù)學(xué)符號的運用、操作之間的關(guān)系不容易界定，數(shù)學(xué)符號的運用與數(shù)學(xué)符號的表達、運算、推理存在交叉，數(shù)學(xué)符號的操作包含了數(shù)學(xué)符號的運算與推理．”H專家認為：“符號意識不是運算能力也不是推理能力．符號意識應(yīng)該包括符號的意義、符號的功能和符號的表達交流．其中最核心的是符號的數(shù)學(xué)意義，即心理圖式．核心是符號概念的二重性．”還有專家也提及數(shù)學(xué)符號的運算是有內(nèi)在邏輯的，在某種意義上也是一種推理，建議與數(shù)學(xué)符號的推理進行合并．

經(jīng)統(tǒng)計，從集中程度來看，專家們對數(shù)學(xué)符號意識分析層次適合度選擇的平均分刻畫了專家意見的集中度，各分析層次的平均分為3.176~4.419，其中，數(shù)學(xué)符號的選擇（3.512）、數(shù)學(xué)符號的運用（3.334）、數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)換（3.176）低于3.75（5分量表的75%等級值），其余分析層次均高于3.75．從離散程度看，各數(shù)學(xué)符號意識分析層次的標準差在0.471~0.764之間，所有分析層次的標準差均小于1，說明專家意見相對比較集中．由于平均值和標準差都是平均指標，有時這二者表示的結(jié)果可能不完全一致，這時就需要使用變異系數(shù)（標準差與平均值的比值）進行判斷，反映專家對分析層次進行測評的協(xié)調(diào)程度．由于所有分析層次的變異系數(shù)在0.119~0.218之間（數(shù)值均較?。从沉嗽撗芯恐兴x取的專家群體對于數(shù)學(xué)符號意識分析層次的測評協(xié)調(diào)程度較高．

綜合以上專家意見與建議，對數(shù)學(xué)符號意識分析層次進行修改，保留數(shù)學(xué)符號的理解、感知、抽象、表達、運算、推理6個關(guān)鍵詞，具體修改結(jié)果如表3所示．

3.4 探索性因素分析

通過對所得6個關(guān)鍵詞加以解讀，再次利用專家問卷調(diào)查，并進行主成分分析．在此之前，分別考察值、值和Bartlett球形檢驗判斷，值是判別個別題項是否適合投入因素分析程序中的，與抽取共同因素的個數(shù)無關(guān)．當某題項的值越接近1，表明該題項越適合投入因素分析的程序中．當值小于0.6時，則題項不適合進行因素分析，應(yīng)刪除．根據(jù)學(xué)者Kaiser（1974）的觀點，如果值小于0.5時，不適宜進行因素分析，值越大，Bartlett檢驗的卡方值越顯著，說明數(shù)據(jù)越適合進行因素分析．一般地，進行主成分分析的準則至少值要在0.6以上[28]．在驗證之后，采用主成分分析法，提取共同因素（特征值大于1），求得初始負荷矩陣，再用最大方差直交轉(zhuǎn)軸法，求出旋轉(zhuǎn)因素負荷矩陣．結(jié)果顯示，值均大于0.6，值為0.904，Bartlett球形檢驗2值為321.847（=133，=0.00）達到極顯著水平，說明適合做因素分析．

表3 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次修改意見統(tǒng)計分析

下面進行因素分析，得到碎石圖如圖2所示．從圖中可以看出，第五個因素以后，坡度線變?yōu)槠教?，表示無特殊因素值的提取，因而保留4個因素較為適宜，這4個因素與設(shè)想編制的層次及題項符合．

圖2 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次第二次主成分分析

將上述提取的4個因素進行命名，共同因素一的構(gòu)念名為數(shù)學(xué)符號理解與運算，共同因素二的構(gòu)念名為數(shù)學(xué)符號聯(lián)想與推理，共同因素三的構(gòu)念名為數(shù)學(xué)符號感知與識別，共同因素四的構(gòu)念名為數(shù)學(xué)抽象與表達，其因素分析結(jié)果統(tǒng)整如表4所示．

采用主成分分析萃取法共抽取4個共同因素，4個因素的特征值分別為3.950、1.681、1.129、1.035，4個因素構(gòu)念聯(lián)合解釋變異量為64.963%，大于60%．第一個因素（理解與運算）最大因素負荷量為0.823，第二個因素（聯(lián)想與推理）最大因素負荷量為0.854，第三個因素（感知與識別）最大因素負荷量為0.835，第四個因素（抽象與表達）最大因素負荷量為0.812，因素負荷量情況較好．旋轉(zhuǎn)后的因素負荷矩陣和累積解釋變異量表明提取的4個因素對整個測評問卷的有效程度較好．

下面考察每個分析層次的操作指標，從表5來看，各操作指標的平均分為3.165~4.371，其中，感知與識別的3個指標以及聯(lián)想與推理的兩個指標的得分低于3.75，有專家認為數(shù)學(xué)符號感知與識別是最低層次，不應(yīng)該涉及到數(shù)學(xué)符號的意義和抽象，而聯(lián)想與推理的指標描述不夠清晰，根據(jù)專家意見對其進行修改．

3.5 驗證性因素分析

利用AMOS 21.0進行一階12因子斜交模型驗證因素分析，得到其結(jié)構(gòu)模型，如圖3所示．模型各項適配主要適配指標如表6所示．從結(jié)果可以看出，卡方自由度的比值為1.318<3.000，值等于0.021<0.05，值等于0.032<0.05，指標、、、、、的值在0.932~1.023之間，均大于0.900，基本符合模型適配標準．指標、均大于0.500，值大于200[29]，綜合指標考慮，認為一階12因子模型擬合程度較好．由相關(guān)性分析結(jié)果顯示，一階因子概念之間存在高度相關(guān)性，因此，進行二階驗證因素分析．如表7所示，從表中數(shù)據(jù)可知，一階12因子二階4因子的模型擬合效果良好，數(shù)學(xué)符號意識分析層次結(jié)構(gòu)模型的基本適配指標均達到檢驗標準，表示驗證性因素分析模型與實際觀察數(shù)據(jù)的適配情況良好，這表明通過探索性因素分析得到的4個一級層次和12個操作指標是比較合理的．

表4 第三學(xué)段數(shù)學(xué)符號意識測試卷的建構(gòu)效度

表5 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識操作指標修改意見統(tǒng)計分析

表6 一階12因子模型擬合指數(shù)

表7 一階12因子二階4因子模型擬合指數(shù)

3.6 信度與效度

在因素分析確定測評問卷良好的建構(gòu)效度之后，為了進一步說明測評問卷的可靠性與有效性，下面對測評問卷進行信度檢驗．一般地，一份優(yōu)良的教育測試至少應(yīng)該具有0.80以上的信度系數(shù)才比較具有使用的教育價值．其中，分測評的信度指標值至少要在0.60以上，低于0.50則表示分測評信度指標欠佳．整個測評問卷最低內(nèi)部一致性信度系數(shù)要在0.70以上，最好能夠高于0.80．學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次Cronbach’s值在0.807~0.828之間，總量表的Cronbach’s值是0.845，如表8所示，均大于0.800，表明量表信度很高．通過信度檢驗，測評問卷的信度指標基本達到了測量學(xué)要求，適宜作為測量工具使用．

圖3 數(shù)學(xué)符號意識分析層次結(jié)構(gòu)模型

表8 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次信度分析結(jié)果（α）

下面考察各分析層次之間的關(guān)系，利用相關(guān)分析來檢驗各分析層次之間是否存在相關(guān)性．如表9所示，從表中可以看出，組內(nèi)兩兩層次相關(guān)達到0.01的顯著性水平，相關(guān)系數(shù)在0.402~0.738之間，為高程度正相關(guān)．4個層次與總量表之間相關(guān)系數(shù)在0.568~0.880之間，表明各層次與整個問卷一致，達到高程度正相關(guān)．

表9 各分析層次間的相關(guān)系數(shù)矩陣

4 討論與結(jié)論

4.1 討論

與以往相關(guān)研究相比，存在一致性與差異性．一致性表現(xiàn)在該研究從實證研究出發(fā)，得出學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識這一隱形的課程目標是可測的，是可以通過問卷測評來了解學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的發(fā)展階段，以及各階段所表現(xiàn)的具體特征，并構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的分析層次[6，17]．不同之處主要表現(xiàn)在以下兩個方面：第一，研究對象的拓展．不同于其它只關(guān)注某一階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的研究[27]，該研究立足于整個義務(wù)教育階段，這有利于實現(xiàn)小學(xué)與初中之間的銜接．這是因為，小學(xué)和初中數(shù)學(xué)教育在形式上是分開的，課程標準是分段的，但是學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的發(fā)展是具有一定連貫性．第二，研究內(nèi)容的兼并．該研究所構(gòu)建的4個分析層次同時關(guān)注數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)隱性與外顯性，前者（感知、理解、聯(lián)想、抽象）描述的是學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的心理傾向，后者（識別、運算、推理、表達）描述的是學(xué)生符號的能力表現(xiàn)．總之，這里構(gòu)建的學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次，為學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)、發(fā)展與測量，以及學(xué)生符號思維的形成提供了重要參考．

當然，該研究還存在一些不足之處與后續(xù)的研究．第一，義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識測試題的編制還有待研究與完善．如何編制一套有效的測評問卷，是評價學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的關(guān)鍵．第二，如何對學(xué)生進行測試并跟蹤研究也是重點課題，數(shù)學(xué)符號意識本身具有一定的連貫性，從一~九年級，學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識是在不斷發(fā)展變化的，如何尋求關(guān)鍵節(jié)點，從而為教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)策略的選取提供一定的依據(jù)是非常有意義的．

4.2 主要結(jié)論

主要通過專家意見咨詢，探索性因素分析與驗證性因素分析，結(jié)合實證研究構(gòu)建數(shù)學(xué)符號意識分析層次．

第一，義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識具有可測性，包含了內(nèi)隱性與外顯性兩個方面．內(nèi)隱性主要反映學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的內(nèi)心傾向（感知、理解、聯(lián)想、抽象），外顯性主要反映學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識的外在表現(xiàn)（識別、運算、推理、表達）．

第二，義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識由從低到高4個分析層次構(gòu)成，分別是數(shù)學(xué)符號的感知與識別、數(shù)學(xué)符號的理解與運算、數(shù)學(xué)符號的聯(lián)想與推理、數(shù)學(xué)符號的抽象與表達．

第三，在義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識4個分析層次之下包括12個操作指標，每個分析層次包含3個具有指導(dǎo)性的操作指標，具體如表10所示．

表10 義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次

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Construction of Students’ Analysis Level of Consciousness of Mathematical Symbols in Compulsory Education

ZHU Li-ming

(Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China)

Consciousness of mathematical symbols, one of the key competences in compulsory education, was show as the dynamic cognitive process. Start from the connotation of the consciousness of mathematical symbols, we could see that the consciousness was measurable through empirical study, and this study preliminarily forms 4 analysis levels of students’ consciousness of mathematical symbols extrinsically and intrinsically, namely, perception and recognition, understanding and operation, association and reasoning, abstractness and expression, each of which was divided into 3 specific operating indicators. This analysis level provided a reference to objective evaluation for consciousness of mathematical symbols, the hidden curriculum goal.

consciousness of mathematical symbols; compulsory education; the empirical research; analysis level

2019–01–10

河北省社會科學(xué)發(fā)展研究課題一般項目——義務(wù)教育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系構(gòu)建與培養(yǎng)研究（2018030401142）；河北省高等學(xué)校人文社會科學(xué)研究項目——數(shù)學(xué)新手型教師關(guān)鍵能力生成機制的跟蹤研究（SZ18058）；河北省教育廳人文社會科學(xué)重點項目——河北省小學(xué)生課業(yè)負擔測評模型構(gòu)建與應(yīng)用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，講師，博士，主要從事課程與教學(xué)論研究．

G420

A

1004–9894（2019）02–0081–06

朱立明．義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次的構(gòu)建[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（2）：81-86．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]