唐佳麗，徐章韜

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高中數(shù)學(xué)教材“組合問題”的編排

唐佳麗1，徐章韜2

（1．石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校，廣東 佛山 528248；2．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

以“編排分布、素材選擇、呈現(xiàn)方式、編寫模式”為分析框架，研究人教版高中數(shù)學(xué)中的組合問題．整體上，編排特點(diǎn)是隱性和顯性貫串、組塊和分散結(jié)合；素材的選擇多是社會(huì)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科知識(shí)；呈現(xiàn)方式符合數(shù)學(xué)本身的要求和高中生的身心發(fā)展特點(diǎn)，旨在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；教材編寫模式單一．可通過挖掘傳統(tǒng)知識(shí)間的組合思想和用組合豐富傳統(tǒng)內(nèi)容的內(nèi)涵兩種途徑，促進(jìn)組合問題和傳統(tǒng)內(nèi)容的相輔相成．

組合問題；組合思想；教材編寫

1 引言

教材在日常教學(xué)實(shí)踐中的地位舉足輕重，它是學(xué)生學(xué)習(xí)的最直接素材，它的質(zhì)量對(duì)教學(xué)質(zhì)量的影響顯著．故有大量研究者從不同角度對(duì)中國(guó)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析比較，為課程改革助力．有研究者從數(shù)學(xué)史的角度對(duì)不同版本教材進(jìn)行對(duì)比研究[1]，也有對(duì)高中教材中數(shù)學(xué)史的分布[2]、應(yīng)用現(xiàn)狀[3]進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究；有研究者對(duì)新教材的編寫風(fēng)格[4]、數(shù)學(xué)觀[5]進(jìn)行剖析；有研究者對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”的價(jià)值進(jìn)行分析和挖掘[6]；有研究者從特定、具體的內(nèi)容出發(fā)，指出教材編寫中存在的問題[7]，提出教材編寫和教法的建議[8]；有大量研究者對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容進(jìn)行國(guó)際對(duì)比，如，高中數(shù)學(xué)教材中的核心數(shù)學(xué)內(nèi)容[9]、比和比例[10]、微積分內(nèi)容[11]、教材習(xí)題比較[12]、例題難度[13]、教材難易程度比較[14]等；更有研究者分析國(guó)際教材研究和發(fā)展的趨勢(shì)[15]，提出今后教材研究的要求．

組合問題研究離散對(duì)象的排布、配置、選取、組織結(jié)合，它是迅猛發(fā)展的計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，凡是涉及到多種可能性的地方，就會(huì)有組合，在數(shù)學(xué)中分布甚廣，在生活中應(yīng)用也廣泛．但在實(shí)際教學(xué)中，師生普遍反映組合問題難教、難學(xué)，所以理應(yīng)對(duì)組合問題在教材中的呈現(xiàn)有更優(yōu)的統(tǒng)籌規(guī)劃，有更深入的討論分析．目前已有研究對(duì)小學(xué)組合內(nèi)容的編排進(jìn)行了分析[16]，有研究探究影響高中生學(xué)習(xí)組合的因素[17]，但對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中組合問題的編排關(guān)注還不夠，研究還較少．故這里采用文本分析法，對(duì)人教版高中數(shù)學(xué)教科書A版的組合問題進(jìn)行定量統(tǒng)計(jì)和定性分析，探討教材中組合問題的材料選擇和分布特點(diǎn)，以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性和條理性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

特別指出，這里研究的“組合問題”是范圍較廣的組合問題，是教材中所有含有“組合思想”的問題，即具有組合特征的內(nèi)容，包括所有存在多種可能的內(nèi)容，如，存在多種不同方式（對(duì)稱方式、切割方式等）、不同關(guān)系（“或”“且”關(guān)系、“交”“并”關(guān)系等）、不同排列（向量或圖形的組合排列、公理的排列等）；也包括運(yùn)用有組合特征的方法、技巧、原則去處理各種問題的思維方式和習(xí)慣，比如，將連續(xù)的事物離散化，將離散的對(duì)象排列、組合、分類與歸納、關(guān)聯(lián)與構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)包容與排斤、遞推關(guān)系，等等[18]．其中的例子不勝枚舉，如，在實(shí)際教學(xué)、實(shí)際生活以及教育研究中，將連續(xù)的屬性測(cè)量值人為劃分為幾個(gè)區(qū)間（可能還存在多種不同的劃分方式），進(jìn)行不同賦值或形成不同等級(jí)，再根據(jù)需要進(jìn)行分類、歸納等，這已成為一種生活和研究的智慧，可見組合之思想樸實(shí)、深刻．

2 研究設(shè)計(jì)

明確研究問題后，依據(jù)研究和研究問題的特征，研究方法和分析框架便可隨之逐步確定．

2.1 研究對(duì)象

根據(jù)現(xiàn)行人教版教材的使用情況，選取現(xiàn)行高中人教社數(shù)學(xué)A版必修1-5，及選修1系列（選修1-1、1-2）和選修2系列（選修2-1、2-2、2-3）作為研究對(duì)象．

2.2 研究方法

通過對(duì)知網(wǎng)的文獻(xiàn)檢索，與高中“組合問題”的教材編排相關(guān)的研究幾乎沒有．為了彌補(bǔ)這個(gè)空白，采用文本分析的方法，對(duì)高中教材中的“組合問題”的編排進(jìn)行研究．所謂文本分析，它是一種收集資料的方式，類屬于實(shí)物分析，主要特點(diǎn)是為研究提供物質(zhì)依據(jù)，揭示制作者和使用者的動(dòng)機(jī)和意圖[19]．

故應(yīng)根據(jù)研究問題和考究?jī)?nèi)容對(duì)高中數(shù)學(xué)教材文本進(jìn)行查閱、鑒別歸類、整理、統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)合定量的統(tǒng)計(jì)和定性的描述，由表及里，對(duì)高中教材中的“組合問題”的編排進(jìn)行研究，達(dá)到促學(xué)、促教之目的．

2.3 分析框架

按“編排分布、素材選擇、呈現(xiàn)方式、編寫模式”為分析框架，從整體上把握，從細(xì)節(jié)處分析，從風(fēng)格上體現(xiàn)高中教材對(duì)組合問題的編排．

2.3.1 編排分布

對(duì)高中人教社數(shù)學(xué)A版必修1-5，及選修1系列和選修2系列的組合內(nèi)容做了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，依據(jù)對(duì)組合內(nèi)容的理解以及在書中的呈現(xiàn)方式，將高中教材中的組合內(nèi)容分為顯性的組合內(nèi)容和隱性的組合內(nèi)容．其中，顯性的組合內(nèi)容是指在教材中的組合知識(shí)是圍繞某一個(gè)組合內(nèi)容以較明顯的方式呈現(xiàn)，其教學(xué)目的就是使學(xué)生掌握相關(guān)的組合知識(shí)．如，排列組合、加法原理、數(shù)學(xué)歸納法、古典概型（雖是概率模型，但里面只包含離散型隨機(jī)變量的多種組合，具有的組合特征十分明顯）等．而隱性的組合內(nèi)容由呈現(xiàn)方式、呈現(xiàn)位置決定，包括其它非顯性組合知識(shí)中隱含的組合思想、教材中教授其它知識(shí)的組合素材、教材的補(bǔ)充材料——“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”等．比如說，大量的求隨機(jī)事件的概率中所蘊(yùn)含的組合知識(shí)，以及象限角的分類，教授反證法時(shí)選擇的例題為染色問題、出現(xiàn)在“探究與發(fā)現(xiàn)”中的“楊輝三角”等，均可看成隱性的組合內(nèi)容．隱性的組合內(nèi)容的組合特征有的較為隱蔽，無法一一描述，故在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容后做簡(jiǎn)要說明，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表1．

對(duì)教材中主要的組合內(nèi)容按照其所屬組合領(lǐng)域進(jìn)行劃分，可分為7類，具體見表2．

表1 教材中組合內(nèi)容編排分布

表2 教材主要組合內(nèi)容的領(lǐng)域統(tǒng)計(jì)

據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，組合內(nèi)容在高中的編排主要有以下兩個(gè)特點(diǎn)．其一，顯性教授，隱性滲透．通過對(duì)顯性的組合問題的學(xué)習(xí)，如，通過加法原理、乘法原理、二項(xiàng)式定理、集合的構(gòu)造與運(yùn)算學(xué)習(xí)組合排列、分類和計(jì)數(shù)，通過等差、等比數(shù)列學(xué)習(xí)遞推關(guān)系，通過歐拉公式學(xué)習(xí)圖論的方法等，使學(xué)生在具體的知識(shí)當(dāng)中把握組合問題，掌握思想方法，達(dá)到對(duì)組合問題的深度理解．而對(duì)于隱性的組合知識(shí)，則采用的是細(xì)微之處的細(xì)節(jié)處理，使隱性的組合內(nèi)容“藏”在其它知識(shí)點(diǎn)之下，以拓寬組合問題的廣度為主，增加組合問題的內(nèi)涵以及外延．如，教授合情推理時(shí)所選用的素材為河內(nèi)塔問題，向量的加法交換律和分配律的證明為兩點(diǎn)之間不同路徑的選擇，一個(gè)方程的多個(gè)解之間的“或”關(guān)系，以及方程組的解中未知數(shù)取值的“且”關(guān)系等，這些知識(shí)雖然不是以直接的組合知識(shí)呈現(xiàn)在書中，卻蘊(yùn)含著豐富的組合思想方法，旨在借助傳統(tǒng)內(nèi)容進(jìn)行組合的“滲透”．

其二，組塊編排，分散編排．高中生的心理水平已經(jīng)較為接近成人，認(rèn)知的品質(zhì)和意志品質(zhì)較高，組塊編排以直線式為主，符合高中生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平．故教材選修2-3集中編排了大量的組合問題，通過專項(xiàng)訓(xùn)練和應(yīng)用加深理科生對(duì)組合問題的理解，選修1-2則以隱性的組合內(nèi)容進(jìn)行編排，選擇了大量的組合素材，促進(jìn)文科生吸收組合思想．分散編排是指組合問題散布在數(shù)學(xué)教材中的各個(gè)角落，或成為某一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或成為某一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或搭配其它內(nèi)容一起學(xué)習(xí)，一種思想方法在不同教材和章節(jié)多次出現(xiàn)，以螺旋式為主．這種組塊編排和分散編排讓直線式和螺旋式的組織方式相結(jié)合，共同推進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)．

除此以外還可以發(fā)現(xiàn)，教材的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”中蘊(yùn)含了豐富的隱性的組合內(nèi)容，這些內(nèi)容可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，更大程度上體會(huì)到“好玩”、有趣的數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極主動(dòng)性．這也就表明，教師在平時(shí)的授課中應(yīng)該注意使用教材中的材料信息，充分挖掘材料的內(nèi)涵和教育價(jià)值，最大限度地發(fā)揮教材的育人功能．

2.3.2 素材選取

隱性的組合內(nèi)容的素材選擇，集中于借助其它數(shù)學(xué)知識(shí)滲透組合思想，可將大多數(shù)隱性的組合內(nèi)容的素材看成數(shù)學(xué)知識(shí)，不予以具體統(tǒng)計(jì)．下面對(duì)顯性的組合內(nèi)容按所在教材統(tǒng)計(jì)例題素材，可以將例題素材分成社會(huì)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科知識(shí)兩個(gè)類別，其中社會(huì)經(jīng)驗(yàn)是指與生活緊密相連的現(xiàn)實(shí)問題，數(shù)學(xué)知識(shí)則指單純的數(shù)學(xué)問題，統(tǒng)計(jì)及整理結(jié)果見表3、圖1．

表3 教材中顯性組合內(nèi)容例題分類統(tǒng)計(jì)

圖1 組合問題素材選取分布

高中階段是由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維的過渡階段，教材的素材選擇應(yīng)主要以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維為主，讓思維活動(dòng)成為數(shù)學(xué)探究的主要活動(dòng)．由圖1可以看出，社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的素材比數(shù)學(xué)知識(shí)的素材稍多一點(diǎn)，總和差異不明顯，但在各本教材中的分布呈現(xiàn)了“一邊倒”的傾向，這跟知識(shí)的內(nèi)容有關(guān)．等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)學(xué)歸納法本身就是單純研究數(shù)學(xué)的知識(shí)，例題的選擇直接從數(shù)學(xué)出發(fā)，多數(shù)沒有實(shí)際背景，重在體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值；而排列組合、計(jì)數(shù)原理、古典概型等方面的內(nèi)容多與生活息息相關(guān)，借助一定的社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)芨玫卮龠M(jìn)學(xué)生思考，意在拉近數(shù)學(xué)與生活的距離，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．

2.3.3 呈現(xiàn)方式

高中數(shù)學(xué)的教材編排以激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維為主要目標(biāo)，其呈現(xiàn)方式主要包括文字和圖表．思考、探究、例題的呈現(xiàn)都是文字，因文章“素材選擇”部分統(tǒng)計(jì)了例題，這里對(duì)文字的統(tǒng)計(jì)只涉及思考、探究．其它呈現(xiàn)方式包含文字圖片、圖、表，其中，文字圖片分為兩類，一是帶問號(hào)的文字圖片，一般用于提問；二是其它類別的文字圖片，多用于標(biāo)注和解釋．圖也分為兩類，一類是物圖，即配合情境出現(xiàn)的事物圖和人物圖；另一類是數(shù)學(xué)圖，主要是只與數(shù)學(xué)有關(guān)的圖，如維恩圖、算法程序框圖等．圖文并茂的呈現(xiàn)目的是增強(qiáng)學(xué)生的視覺投入，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，提高學(xué)習(xí)效率．表格有清晰明了的特點(diǎn)，高效地整理數(shù)學(xué)信息，高效地解題．對(duì)顯性的組合內(nèi)容的呈現(xiàn)其結(jié)果見表4、圖2．

表4 組合問題呈現(xiàn)方式分布

圖2 組合問題呈現(xiàn)方式分布

從整體的頁面版式來看，排版總體上簡(jiǎn)單樸素，平均每頁1~2個(gè)例題．圖的顏色也比較柔和地搭配在例題旁，其它部分多是白色，這種樸實(shí)的呈現(xiàn)給人平靜的思考空間，不過多地分散學(xué)生注意力．從畫面的呈現(xiàn)方式來看，思考和探究用不同顏色進(jìn)行了文本框的填充，以吸引學(xué)生的注意，使學(xué)生快速地抓住問題思考的關(guān)鍵所在，有效地進(jìn)行探究．

從內(nèi)容上來看，教材中的思考主要針對(duì)某一個(gè)具體問題進(jìn)行提問，探究則是對(duì)一類問題進(jìn)行深究，教材對(duì)一類問題的研究提示在數(shù)量上要多于對(duì)單一問題的研究提示．探究、問號(hào)的文字圖片、其它文字圖片占總體的比例較大，說明在組合問題編排上，教科書較注重對(duì)知識(shí)的發(fā)問、解釋、以及對(duì)具體問題的進(jìn)一步抽象．純文字和圖的使用與年級(jí)沒有明顯的因果關(guān)系，但是文字圖片的數(shù)目逐漸在升高，這與所學(xué)知識(shí)的復(fù)雜程度有關(guān)，隨著所學(xué)知識(shí)的復(fù)雜程度的升高，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)逐步走向精微化，思考的問題會(huì)越來越多，需要注意的地方也會(huì)越來越多，教材這樣處理符合知識(shí)本身的要求．

2.3.4 編寫模式

依據(jù)對(duì)組合內(nèi)容的顯性和隱性劃分，隱性的組合內(nèi)容多分散在教材的各個(gè)部分，需要教師在平時(shí)的知識(shí)傳授中滲透組合思想．現(xiàn)以選修2-3第一章第一節(jié)“分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理”為例，對(duì)顯性的組合內(nèi)容的編寫進(jìn)行分析．

此節(jié)的編排共4個(gè)思考題、4個(gè)探究題和9個(gè)例題．

由思考題“用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室的座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？”引出教學(xué)．教材先是對(duì)問題進(jìn)行了解答，且沒有止步于此，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從解決問題中跳出來，對(duì)問題本身的特征進(jìn)行探究，也體現(xiàn)出站在比解決問題更高的高度審視問題本身，是數(shù)學(xué)解題教學(xué)和數(shù)學(xué)抽象中關(guān)鍵的一步．在探究出問題的最主要特征——“或”之后，緊接著用外延的角度闡述了不同方案的意思，并用含問號(hào)的文字圖片提出問題：你能舉一些生活中類似的例子嗎？顯然，這是知識(shí)進(jìn)行推廣的前提．而后，教材就給出了解決這類含“或”問題的一般解法，提出了分類加法計(jì)數(shù)原理，并用文字圖片從內(nèi)涵的角度給出了“兩類不同方案”的注解，配合前一段外延角度的例子，多方位幫助學(xué)生理解不同方案的意思．形成對(duì)知識(shí)的理解之后，教材接著編排例題加深對(duì)知識(shí)的理解，旨在使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)的鞏固和應(yīng)用，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．例題1的難度較小，信息以圖表的形式給出，這也暗示解決組合問題存在的多種手段和方法，其中列表法也是常見的解決組合問題的策略．接下來的探究提出3類不同方案該如何計(jì)數(shù)，以及類不同方案該如何計(jì)數(shù)的問題，且沒有給出答案．這是兩類不同方案計(jì)數(shù)的深化，復(fù)雜程度更高，重在引導(dǎo)學(xué)生積極思考，促進(jìn)知識(shí)的遷移．

“乘法計(jì)數(shù)原理”的編排和“加法計(jì)數(shù)原理”的編排十分類似，故不贅述．呈現(xiàn)知識(shí)后，用例題2進(jìn)行鞏固、探究、引申，提出3個(gè)步驟以及個(gè)步驟計(jì)數(shù)問題．例3是這兩類問題的組合，較例1（只涉及分類）和例2（只涉及分步）多了區(qū)分的工作，目的是考察學(xué)生對(duì)這兩種計(jì)數(shù)方法的辨別和應(yīng)用．例4、例5、例6、例7、例8、例9均是加法和乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，其中例4涉及加法原理，例6、例7涉及乘法原理，例5、例8、例9是這兩種計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，例題的難度和復(fù)雜程度在逐步提高．最后通過兩個(gè)思考題啟發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)原理的進(jìn)一步思考．第一個(gè)思考題引出分類時(shí)要“不重不漏”，分步時(shí)要“步驟完整”；第二個(gè)思考題更是引導(dǎo)學(xué)生思考這兩種計(jì)數(shù)原理的關(guān)系，建立知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)．

這節(jié)課的編寫從總體布局來看，內(nèi)容的引出多數(shù)由思考題出發(fā)，由思考題創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題情境，再一般化探索，經(jīng)研究得到一般化規(guī)律，接著進(jìn)行鞏固、深化，大致按照“問題情境—一般化—探求規(guī)律—應(yīng)用和拓展”的模式展開．符合知識(shí)學(xué)習(xí)的步驟規(guī)律：知識(shí)的理解、知識(shí)的鞏固、知識(shí)的應(yīng)用，也體現(xiàn)了由具體到一般的學(xué)習(xí)規(guī)律．而對(duì)事物進(jìn)行分類研究，這也是有理可循的，相同類別的事物才具有某方面的高度一致性，才能更大限度地幫助人們盡快認(rèn)識(shí)世界，理解世界，用簡(jiǎn)單的東西解釋更多的事物一直是數(shù)學(xué)的追求．所以教材呈現(xiàn)了平時(shí)生活中常常遇到的這兩類事（分類和分步），并對(duì)這兩類事進(jìn)行研究，抓關(guān)鍵特征：“或”“和”，提出解決問題的通法，再啟發(fā)思考，使規(guī)律更具一般性，規(guī)律之間具有關(guān)聯(lián)性，循序漸進(jìn)，穩(wěn)步前行．但值得思考的是，教材的編寫模式是否可以多樣化，如果能依據(jù)知識(shí)的特點(diǎn)，選擇一些新的模式，如，“楊輝三角”的教材編排可采用文化“繼承”模式[20]，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)效率．

3 討論分析

通過對(duì)“組合問題”的教材編排研究，可以得到以下研究結(jié)果．

（1）在內(nèi)容上，顯性組合內(nèi)容和隱性組合內(nèi)容相貫串；在方式上，組塊和分散相結(jié)合．

（2）整體上素材集中在社會(huì)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科知識(shí)，單一知識(shí)素材的選擇較為單一．

（3）呈現(xiàn)方式較為豐富，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)的特點(diǎn)．

（4）編寫模式按“問題情境—一般化—探求規(guī)律—應(yīng)用和拓展”進(jìn)行，符合知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，但可根據(jù)知識(shí)特點(diǎn)豐富模式．

之所以研究范圍更廣的“組合問題”，主要目的是加強(qiáng)傳統(tǒng)內(nèi)容和狹義的“組合問題”的聯(lián)系，使傳統(tǒng)內(nèi)容間的隱性組合內(nèi)容成為教授一般意義的“組合問題”的一個(gè)突破口．如果教師在傳統(tǒng)內(nèi)容的教授中已經(jīng)潛移默化地將組合思想滲透給學(xué)生，待后面學(xué)習(xí)排列組合時(shí)又有何懼？根據(jù)研究分析，教學(xué)需要注重以下幾個(gè)方面．

組合內(nèi)容的編排和教學(xué)要與傳統(tǒng)內(nèi)容相輔相成．組合問題在高中階段正式進(jìn)入教材，除了大量組合內(nèi)容的組塊編排外，還有很多組合內(nèi)容是融入到傳統(tǒng)內(nèi)容之中的，它們的編排和教學(xué)可以相得益彰．如，空間中直線與平面的位置關(guān)系就蘊(yùn)含了組合思想，根據(jù)線、面交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以將線、面的位置關(guān)系分為直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行．這種分類總結(jié)的方法在高中的許多內(nèi)容中都適用，對(duì)學(xué)生建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)作用斐然．再如，古典概型和離散型隨機(jī)事件的概率是中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不是純粹的組合知識(shí)，但里面的組合特征十分明顯，而要想成功解決這類型的題目，就必須掌握排列組合的內(nèi)容，這里的組合內(nèi)容是為概率等內(nèi)容服務(wù)的．組合問題和傳統(tǒng)內(nèi)容可以相互融合，相互促進(jìn)．既然組合問題可以和傳統(tǒng)內(nèi)容發(fā)生關(guān)聯(lián)，那值得思考的問題是，如何加強(qiáng)組合內(nèi)容和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)使之相倚為強(qiáng)，下面提供了兩個(gè)思路供參考．

用組合的視角豐富傳統(tǒng)內(nèi)容的內(nèi)涵．組合問題和傳統(tǒng)內(nèi)容之間的關(guān)系，不僅僅在于用傳統(tǒng)知識(shí)之間的組合特征滲透組合思想，還在于，從組合的角度分析傳統(tǒng)內(nèi)容，可以增加傳統(tǒng)內(nèi)容的內(nèi)涵．如，在解決幾何問題上平易簡(jiǎn)捷的向量“回路法”，從理論上分析，“回路法”可看作是歐拉圖的一種運(yùn)用，進(jìn)一步與圖論中的有向圖產(chǎn)生了對(duì)應(yīng)；在應(yīng)用中考慮，選擇適當(dāng)?shù)南蛄俊盎芈贰苯鉀Q問題，不正是從多種可能中選擇較優(yōu)的組合路徑嗎．故，用圖論的觀點(diǎn)刻畫向量“回路法”，借之以工具解決高中階段的幾何問題，建立與幾何的關(guān)聯(lián)，既豐富了傳統(tǒng)知識(shí)的內(nèi)涵，又表明數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互貫通，不論是對(duì)數(shù)學(xué)本身，還是對(duì)學(xué)生而言，都是大有裨益的．

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Arrangement of Combination Problems in the High School Mathematics Textbook

TANG Jia-li1, XU Zhang-tao2

(1. Shimen Experimental School, Guangdong Foshan 528248, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Based on the analysis framework of “arrangement distribution, material selection, presentation mode and writing mode”, this paper analyzed the arrangement of combination problems in the high school mathematics. Overall, the choreography was characterized by combining implicit arrangement with explicit arrangement, chunk arrangement with scattered arrangement; The selection of materials included two parts: social experience and mathematical discipline; The presentation was in accordance with the mathematical requirement and the physical and mental development characteristics of high school students, aiming at developing students’ mathematical thinking; The textbook was written in a single mode. By mining the combination of thought in traditional knowledge and enriching the intension of traditional content, the combination problems and the traditional content were mutually reinforcing.

combination problems; combination of thought; arrangement of textbooks

2019–01–23

唐佳麗（1995—），女，湖南邵陽人，碩士，主要從事數(shù)學(xué)的教與學(xué)研究．徐章韜為本文通訊作者．

G632

A

1004–9894（2019）02–0046–06

唐佳麗，徐章韜．高中數(shù)學(xué)教材“組合問題”的編排[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（2）：46-51．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]