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        不定積分的運(yùn)算技巧

        2019-05-10 09:53:20
        關(guān)鍵詞:積分法換元分部

        陳 飛

        (商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 商丘 476100)

        引言

        不定積分是高職院校數(shù)學(xué)課程的核心,也是微積分的重要內(nèi)容.不定積分的計(jì)算方法多種多樣,其中換元積分法和分部積分法是重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)有一定困難,且不能熟練地運(yùn)用各種計(jì)算方法.合理的運(yùn)用不定積分計(jì)算方法可以降低求解問題的難度.本文針對常用的解題技巧進(jìn)行分析探討,并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解.

        1 求解方法概述

        2 例說相關(guān)技巧

        分析:可以通過湊微分,把積分變量湊成d(1+x2),用新變量u替換1+x2.

        設(shè)u=(1+x2),于是:

        技巧: 運(yùn)用第二換元積分法,關(guān)鍵是選擇合適的變量代換函數(shù)小x=φ(t).對于x=φ(t),要求單調(diào)可微,且φ′(t)≠0,其中t=φ′(x)是x=φ(x)的反函數(shù).

        分析:為了去掉根號(hào),可以引入關(guān)于未知量t的三角函數(shù)替代x,從而簡化計(jì)算.

        解:令x=atant,則dx=asec2tdt,于是:

        分析:被積函數(shù)為冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,故把反三角函數(shù)選作u,即u=arcsinx,則dv=xdx.

        分析:在計(jì)算不定積分時(shí),針對題目的特點(diǎn)可以多次使用分部積分法.

        =x2ex-2xex+2ex+C.

        分析:可以先采用換元積分法,再采用分部積分法進(jìn)行求解.

        =2tln(1+t2)-4t+4arctant+C

        解法一(湊微分法):

        =cscx-cotx+C

        解法二(分部積分法):

        =cosxcotx-cotx+sinx+C

        解法三(第二換元積分法):

        技巧:以上3種解法得出的解的形式是不同的,但是,解得本質(zhì)是一樣的,通過變換可得:

        cosxcotx-cotx+sinx+C=cscx-cotx+C

        根據(jù)不同的求解方法,求解出來的積分結(jié)果的形式是不一樣的,但是,這些結(jié)果是正確的.我們只需對所求的結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo),看是否等于被積函數(shù)[5].

        解法一(換元積分法):

        解法二(湊微分法):

        解法三(代數(shù)換元法):

        解法四(分部積分法):

        3 結(jié) 語

        不定積分的求解方法靈活多變,我們可以針對不同的被積函數(shù)類型,采取最有效的求解方法計(jì)算出不定積分.通過學(xué)習(xí)不定積分的運(yùn)算技巧,可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,增加學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),從而提高分析和解決問題的能力.在求解不定積分時(shí),合理地運(yùn)用計(jì)算方法,并對所求的結(jié)果進(jìn)行檢測,從而熟練掌握不定積分的運(yùn)算技巧.

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