孫 琦， 劉新廠， 張 兵， 陳春俊

(1.西南交通大學機械工程學院 成都，610031) (2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室 成都，610031)

引 言

齒輪是機械傳動系統(tǒng)中的主要部件，其運行狀態(tài)對工業(yè)設備的正常運行至關重要。一般工業(yè)齒輪系統(tǒng)的運行環(huán)境惡劣，容易產(chǎn)生斷齒、點蝕、磨損及膠合等故障。據(jù)統(tǒng)計，傳動系統(tǒng)中齒輪發(fā)生故障比例極高，約為80%[1]，齒輪損壞往往會導致傳動系統(tǒng)無法正常運轉。

對于齒輪裂紋損傷檢測方法往往在于裂紋故障存在性的研究。Barszcza等[2]研究了基于譜峭度的風機行星齒輪的裂紋檢測方法。Pryor等[3]比較了4種時頻分析方法：短時傅里葉變換(short-time Fourier transform，簡稱STFT)、Wigner-Ville分布、連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，簡稱CWT)、離散小波變換(discrete wavelet transform, 簡稱DWT)在齒輪裂紋故障檢測方面的應用。蘇中元等[4]研究了如何采用希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang transform，簡稱HHT)方法識別齒輪裂紋損傷的微弱信號成分。曹精明等[5]結合高階累積量與經(jīng)驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition, 簡稱EMD)方法的各自優(yōu)點，提出了一種抑制系統(tǒng)噪聲，突出信號的損傷與故障特征的齒輪損傷檢測方法。

對齒輪裂紋損傷程度診斷一直是旋轉機械故障診斷領域的研究難點之一。筆者以直齒輪系為研究對象，提出PCA及灰色理論相結合的方法實現(xiàn)對直齒輪裂紋損傷的程度檢測，旨在為工業(yè)應用提供有效的新思路和新方法。

為了驗證該方法的有效性，首先建立含有齒輪裂紋故障的齒輪系動力學模型，仿真獲得不同損傷程度下的直齒輪系振動信號，采用多種現(xiàn)代信號分析方法(時域、頻域等)，提取振動信號中與齒輪損傷變化敏感的多個特征。將不同損傷狀態(tài)下的特征按等級排好。運用主成分分析方法對提取特征進行優(yōu)化選擇，得到標準模式矩陣。采用灰色關聯(lián)分析算法分析待檢信號，根據(jù)得到的關聯(lián)度對裂紋損傷進行程度檢測。

1 直齒輪系損傷動力學建模

1.1 直齒輪系動力學建模

近年來隨著齒輪系統(tǒng)動力學研究的逐漸深入，齒輪動力學模型已經(jīng)由單自由度的齒輪副模型[6]發(fā)展到復雜的多自由度模型[7]。齒輪動力學模型建立的過程中，為了真實模擬單級齒輪傳動系統(tǒng)，通常將電機以及負載考慮在內(nèi)。假設各個部件沒有制造安裝誤差并且潤滑狀態(tài)理想，采用集中參數(shù)法建立圖1的簡化動力學模型。模型中每個齒輪具有3個自由度(一個旋轉和兩個平移)，電機以及負載分別具有一個自由度(自身的旋轉)。當僅考慮齒輪間由時變嚙合剛度以及阻尼引起的內(nèi)部激勵忽略齒間摩擦時，齒輪沿x方向為有阻尼的自由衰減振動，當系統(tǒng)穩(wěn)定時振動量消失，所以可以忽略這個方向的自由度。

圖1 6自由度動力學模型Fig.1 Dynamics model with 6 degrees of freedom

1.2 齒根裂紋損傷動力學建模

齒輪傳動的過程中，齒根部位受到彎曲應力的反復作用，齒輪系統(tǒng)運行一段時間后，齒根部位出現(xiàn)疲勞裂紋。當含有齒根裂紋的輪齒進入嚙合時，輪齒的嚙合剛度發(fā)生變化[8]。

1.2.1 無故障齒輪嚙合剛度求解

文獻[9]提出采用能量法計算齒輪時變嚙合剛度。計算過程中假定齒輪嚙合系統(tǒng)的總能量由三部分組成：彎曲勢能Ub、赫茲能Uh以及徑向壓縮變形能Ua。文獻[10]在文獻[9]的基礎上對該模型進行了改進，考慮了齒輪的剪切變形能Us。通過式(8)求解得到剪切剛度ks、彎曲剛度kb、赫茲剛度kh以及徑向壓縮剛度ka，由分析可得各個剛度之間采用串聯(lián)方式連接。

齒輪傳動系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

其中：

其中：F為齒輪嚙合點處的嚙合力，可分解為徑向力Fa與切向力Fb。

輪齒嚙合受力示意圖如圖2所示。其中：E為彈性模量；G為切變模量；Ix為距離基圓x處輪齒截面的慣性矩；Ax為截面積；d為嚙合點與基圓之間的距離；hc1為齒輪裂紋根部到輪齒對稱線之間的距離。

圖2 輪齒嚙合受力示意圖Fig.2 Force diagram of gear mesh

一對輪齒嚙合時總的勢能通過式(9)得到

(9)

通過以上方法求解得到的齒輪嚙合剛度，由于沒有考慮齒輪齒基的形變使得結果普遍偏大[10-11]。齒基剛度kf可以通過式(10)求解得

(10)

其中：系數(shù)L*，M*，P*，Q*可由式(11)求解得到

(11)

求解系數(shù)L*，M*，P*，Q*的過程中對應的Ai，Bi，Ci，Di，Ei，F(xiàn)i具有不同的取值，具體數(shù)值如表1所示，表1數(shù)據(jù)從文獻[11]中獲得。hf i=rf/rint，hf i為齒根圓半徑與齒輪內(nèi)孔半徑的比值，其中：rf為齒根圓半徑；rint為齒輪內(nèi)孔半徑；θf為齒根圓齒厚一半對應的角度[11]。

表1 公式(11)中相關系數(shù)取值

綜上所述，當兩對輪齒同時參與嚙合時總的有效嚙合剛度可表示為式(12)

其中：i=1表示第1對輪齒嚙合的情況；i=2表示第2對輪齒嚙合的情況。

(12)

1.2.2 存在裂紋時齒輪嚙合剛度求解

文獻[12-13]指出齒輪裂紋故障經(jīng)常在小齒輪的齒根處產(chǎn)生并且大多數(shù)情況下裂紋成直線，擴展路徑光滑并且連續(xù)。基于以上研究，可以將裂紋擴展路徑簡化為一條直線，裂紋產(chǎn)生的起點在齒根處，裂紋與齒輪中心線的夾角為v，裂紋長度為q。

文獻[14]研究表明：當齒輪根部產(chǎn)生裂紋時，赫茲剛度以及軸向壓縮剛度保持不變，只有彎曲剛度以及剪切剛度發(fā)生變化。當齒根存在裂紋時，距離基圓x處的慣性矩Ix以及有效面積Ax可以通過式(13～14)求解得到。

(13)

(14)

其中：hx為齒輪嚙合點與距離齒根x處的中心線上點的垂直距離；gc為當hx與hc1(齒輪裂紋根部到輪齒對稱線之間的距離)相等的情況下，輪齒嚙合點距離齒根的水平距離(gc，hx如圖2所示)。

將式(13)與(14)帶入式(8)可以求解含有裂紋損傷齒輪的彎曲勢能以及剪切勢能，從而求解得到含裂紋齒輪嚙合剛度。

2 直齒輪系裂紋損傷程度檢測

2.1 基于PCA的特征選擇

主成分分析也稱主分量分析，旨在利用數(shù)據(jù)降維的思想，把多指標轉化為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法[15]。在研究實際問題中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，需要考慮眾多指標。每個指標都在一定程度上反映了所研究問題的一些信息，并且指標之間彼此有一定的相關性。主成分分析采取高效數(shù)據(jù)降維處理技術，提取幾個綜合而且彼此之間互不相關的特征盡可能地反映全面的測試信息，從而達到簡化的目的[16]。

一個n維特征向量X=[x1x2…xn]正交變化后可以得到Y=[y1y2…yn]，其中，y1，y2，…，yn彼此之間不相關。通過式(15)及(16)可以分別求解得到第i個主分量的貢獻率以及前m個主分量的累積貢獻率，其中λi為第i個主分量yi的方差。

文中采用的實際特征向量Y是在累計貢獻率大于95%的情況下獲得的。峭度(Kurtosis)、4階性能因子(FM4)是齒輪傳動系統(tǒng)損傷檢測以及故障診斷中最常用到的統(tǒng)計指標。頻域統(tǒng)計指標(spectrum kurtosis，簡稱KS)、均方根(root mean square，簡稱RMS)、均值以及一個新的統(tǒng)計量sα等也是現(xiàn)代故障診斷中常用到的一些參數(shù)，所以文中選用以上6個指標。其中參量sα是一個新的統(tǒng)計量[17]，與峭度相比對于偽振動信號具有較低的敏感性，可以通過式(17)進行求解

2.2 灰色關聯(lián)度

灰色關聯(lián)度分析法[18](grey relational analysis)是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，作為衡量因素間關聯(lián)程度的一種方法。直齒輪損傷程度識別過程中，所采用的判別函數(shù)為標準模式與未知模式之間的關聯(lián)度計算式。

假設待檢模式序列為X0={x0(j)}，j=[1,2,…,n]，標準模式序列Xi={xi(j)}，i=[1,2,…,m]，j=[1,2,…,n]。X0與Xi的關聯(lián)系數(shù)可以通過下式求解得到

γ(x0(j),xi(j))=

(18)

其中：ρ為分辨系數(shù)。

根據(jù)經(jīng)驗一般取值為ρ=0.5，X0與Xi的關聯(lián)度為

(19)

2.3 損傷程度檢測

首先將裂紋按照損傷程度分為m個狀態(tài)，并且計算各個狀態(tài)下系統(tǒng)動力學響應的n個特征值。將得到的不同狀態(tài)下的特征值與要檢測的狀態(tài)的特征值，組成一個m+1行n列的矩陣。通過PCA方法對得到的特征矩陣進行降維，由前i個主分量的累積貢獻率獲得特征向量Y。特征向量歸一化得到標準模式特征向量，將待檢信號的特征向量與標準模式特征向量采用灰色關聯(lián)理論得到關聯(lián)度向量，關聯(lián)度向量中的極大值即為裂紋損傷度。損傷程度檢測流程如圖3所示。

圖3 損傷程度檢測流程圖Fig.3 Damage degree detection flow chart

3 仿真分析

筆者對小齒輪裂紋長度從0～1.5 mm過程損傷的程度檢測進行仿真分析。裂紋長度每增加0.1 mm作為一個狀態(tài)。齒輪參數(shù)如表2所示，齒輪箱系統(tǒng)其他參數(shù)如表3所示。通過式(12)求解得到含有不同裂紋長度的時變嚙合剛度。圖4為一對齒輪副在損傷為q=0.0 mm，q=0.5 mm，q=1.0 mm，q=1.5 mm， 情況下的剛度變化曲線。 將剛度數(shù)值帶入動力學模型，采用4階Runge-Kutta數(shù)值積分法求解系統(tǒng)動態(tài)響應。

表2 仿真齒輪參數(shù)

表3 齒輪箱系統(tǒng)主要參數(shù)

圖4 不同程度裂紋時變嚙合剛度Fig.4 Time-varying mesh stiffness under different damage

圖5，6為含齒根裂紋的直齒輪動力學模型沿y方向的時域以及頻域仿真信號，其中圖6中的縱坐標“幅值”是指對時域信號做傅里葉變換之后得到的各階諧波信號的最大值。

圖5 動力學模型時域仿真信號Fig.5 Time domain simulation signal of dynamic model

圖6 動力學模型頻域仿真信號Fig.6 Frequency domain simulation signal of dynamic model

由圖5的時域信號可知，當齒輪發(fā)生故障時引起了周期性的沖擊信號。由圖6的頻域信號可知，在系統(tǒng)的二倍及三倍倍頻處出現(xiàn)了大量的邊帶成分，同時邊帶幅值隨著損傷的增大而增加。

由于小齒輪裂紋長度從0開始每增加0.1 mm作為一個狀態(tài)直到裂紋長度到達1.5 mm停止，所以總共包含16個狀態(tài)。對這16個狀態(tài)下的齒輪動力學響應結果進行分析，提取故障齒輪y方向振動量的6個特征值，即峭度(Kurtosis)、4階性能因子(FM4)、頻域統(tǒng)計指標譜峭度(KS)、均方根(RMS)、均值以及一個新的統(tǒng)計量sα與損傷程度為1.05 mm狀態(tài)下的6個特征值組成一個17行6列的矩陣。通過2.1節(jié)的方法求解得到特征向量Y。其中，最后一行為待檢測狀態(tài)，前16行為標準模式狀態(tài)。通過2.2節(jié)的方法求解得到灰色關聯(lián)度向量如圖7中a線所示，關聯(lián)度最大數(shù)值為0.997 2 。得到狀態(tài)關聯(lián)度最大的為裂紋長度為1.0 mm的狀態(tài)，得到裂紋損傷度閾值是在0.9～1.1 mm之間。

為了驗證筆者方法的有效性，將得到的各個狀態(tài)的特征向量不做主成分分析，直接按照灰色關聯(lián)度函數(shù)進行求解，得到的關聯(lián)度變化曲線如圖7中b線所示。從圖中可以看出，關聯(lián)度的最大數(shù)值為0.858 5。計算可得，通過PCA分析后的數(shù)據(jù)求取的關聯(lián)度數(shù)值比不做PCA的提高了16%，說明通過PCA方法可以獲得更高的關聯(lián)度數(shù)值；并且通過對比發(fā)現(xiàn)運用PCA與不運用PCA分析得到的關聯(lián)度數(shù)值曲線具有更好的單調(diào)性，與實際情況更加符合。其中損傷級別與齒輪裂紋的長度相對應，損傷級別越高齒輪裂紋長度越大。

圖7 關聯(lián)度數(shù)值變化曲線Fig.7 The correlation degree value curve

4 結束語

針對直齒輪系裂紋損傷的程度檢測，筆者提出了一種基于PCA與灰色理論相結合的損傷程度檢測方法。通過主成分分析方法，實現(xiàn)了對齒輪損傷敏感特征的提取?；诨疑碚摰年P聯(lián)度參數(shù)能夠實現(xiàn)對齒輪損傷進行程度檢測。這種方法比單一的運用齒輪信號獲得的特征更為有效，獲得的關聯(lián)度數(shù)值有了明顯提高，關聯(lián)度數(shù)值有明顯的變化趨勢。筆者在建立齒輪損傷模型時，進行了相應的模型簡化，并且沒有進行試驗驗證，在今后的研究中將進行相應的完善。