劉云山， 顧大衛(wèi)， 張居乾， 張學(xué)良， 聞邦椿

(1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 沈陽， 110819) (2.遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院機械工程系 沈陽，110023)

引 言

同步現(xiàn)象在生物、物理、工程及技術(shù)領(lǐng)域都發(fā)揮著極其重要的作用。研究同步的歷史可以追溯到1665年，Huygens發(fā)現(xiàn)了鐘擺的同步現(xiàn)象，并作出了相應(yīng)的解釋。近年來，學(xué)者們在機械系統(tǒng)的同步理論上做出了大量的理論探討和試驗研究，文獻[1-2]為其中的一些代表。

在工程技術(shù)領(lǐng)域，多激振器的同步理論得到了極為廣泛的應(yīng)用，促進了社會生產(chǎn)力的發(fā)展。1984年，聞邦椿等[3]提出了振動同步傳動的概念，從能量傳遞的角度分析了振動同步傳動的物理過程。文獻[4-12]也對振動同步傳動的現(xiàn)象進行了相關(guān)的研究。以雙激振電機驅(qū)動的自同步振動機械為例，通常情況下，此機械在兩臺激振電機同時供電的情況下運轉(zhuǎn)。但振動同步傳動理論[1]指出，只要滿足一定的條件，在激振器實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)之后，切斷一臺電機的電源，兩個激振器仍然可以保持其同步運轉(zhuǎn)狀態(tài)。試驗指出，這種單電機供電的情況下，所消耗的電能僅為雙電機供電時的70%～85%，而達到的工藝效果保持不變。這為振動機械的設(shè)計帶來了新的思路和途徑。

目前，許多學(xué)者和工程師正在研究帶多個激振器振動機械的振動同步，但多個激振器的振動同步傳動少有涉及。筆者以遠共振 (即系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)頻率是其固有頻率的3倍以上) 條件下的三激振器同向回轉(zhuǎn)的激振系統(tǒng)為例，從系統(tǒng)動力學(xué)耦合特性并通過一些數(shù)值和試驗，對其振動同步傳動原理給予詳細闡述。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型及運動微分方程

圖1為三機同向回轉(zhuǎn)激振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，其中包括剛性主體、激振器及彈簧。彈簧對稱分布并與基礎(chǔ)和主剛體連接，3個激振器同向回轉(zhuǎn)，其回轉(zhuǎn)軸心連線為一條水平直線，每個激振器分別由感應(yīng)電機驅(qū)動。設(shè)Oxy為固定坐標(biāo)系，原點O為機體質(zhì)心平衡點，O1與O3連線的中垂線經(jīng)過原點O及激振器的回轉(zhuǎn)中心O2。整個振動系統(tǒng)展現(xiàn)出3個自由度：x,y和擺動ψ，每個激振器分別圍繞各自的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，以φi(i=1,2,3)表示。

圖1 同向回轉(zhuǎn)三激振器振動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating system with three-motordrives rotating in the same direction

可得系統(tǒng)的運動微分方程如下

(1)

2 系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動的判據(jù)

設(shè)3個激振器在穩(wěn)態(tài)運行時的平均相位為φ，激振器1和2以及激振器2和3之間的相位差分別為2α1和2α2，可得

(2)

在3臺電機的最小正周期內(nèi)，平均角速度的平均值為一常數(shù)，即

(3)

(4)

應(yīng)用線性疊加法則，設(shè)mi=ηιm0，i=1,2,3,其中m2為標(biāo)準(zhǔn)激振器，即η2=1，得到系統(tǒng)運動微分方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為

(5)

3 系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動同步性判據(jù)

To i=Te0i-fdiωm0=χf i+χa i(i=1,2,3)

(6)

其中：To i為電機i的電磁輸出力矩，其為電機的電磁轉(zhuǎn)矩與電機轉(zhuǎn)子阻尼力矩之差；χf i及χa i的具體形式由文獻[11]給出，且χf i和χa i的表達式中包含相位差的代數(shù)項。

振動系統(tǒng)通過調(diào)整3個激振器之間的相位差從而在3個激振器之間傳遞電磁力矩以平衡3個電機之間輸出力矩之差，使得系統(tǒng)達到同步。系統(tǒng)實現(xiàn)同步的同步性判據(jù)為

(7)

其中：ΔTo12和ΔTo23為電機1與2及電機2與3之間的輸出力矩之差；Tu=m0r2ωm0/2為標(biāo)準(zhǔn)激振器的動能；τc12max和τc23max為激振器1與2及激振器2與3之間無量綱頻率俘獲力矩的最大值；Ws o1,Ws o2及Ws o3的表達式由文獻[11]給出。

定義振動系統(tǒng)的同步性能力指數(shù)為

(8)

其中：τa為3電機平均無量綱負載力矩，表達式由文獻[11]給出。

(9)

此時系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動時的同步性能力指數(shù)如式(10)所示，同步性能力指數(shù)越大，系統(tǒng)越容易實現(xiàn)振動同步傳動

(10)

(11)

此時系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動時的同步性能力指數(shù)如下

(12)

同步性能力指數(shù)越大，振動系統(tǒng)越容易實現(xiàn)振動同步傳動。

4 振動同步傳動狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)

(13)

通過det(G-λI)=0得矩陣G的特征方程如下

λ2+c1λ+c2=0

(14)

其中

(15)

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，當(dāng)矩陣G的特征方程(14)滿足

(16)

時，平凡解Δα=0是穩(wěn)定的。

切斷電機1的電源，此時Te 01和ke 01均為零，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性方程為

(17)

通過det(G′-λI)=0得矩陣G′的特征方程為

(18)

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，當(dāng)矩陣G′的特征方程(18)滿足式(19)時，可解Δα′=0是穩(wěn)定的

(19)

切斷電機3的電源，此時Te03和ke03均為零，系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)為

(20)

其中：矩陣A3滿足廣義Lyapunov方程；A30為A3的順序主子式。

5 數(shù)值分析和試驗驗證

圖2為三機驅(qū)動振動同步試驗臺，對應(yīng)圖1所示的動力學(xué)模型，試驗臺的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：β1=15°,β2=90°,β3=165°,m0=4 kg,M=155 kg,r=0.05 m,l01=l03=0.45 m,l02=0.1 m,rl1=rl3=1.25,rl2=rl1sinβ1,Jm=16 kg·m2,rm=0.026,kx=95 kN/m,ky=75 kN/m,kψ=15 kN/rad,fx=fy=0.3 kN·s/m,fψ=0.2 kN·s/rad,fd1=fd2=fd3。3臺電機逆時針同向回轉(zhuǎn)，型號均為VB-326-W(380 V，50 Hz，6-pole，Y-連接，額定電流0.82 A，額定轉(zhuǎn)速950 r/min，0.2 kW，激振力0～3 kN，絕緣等級IP54)，3電機由變頻器控制在50 Hz下運轉(zhuǎn)。

圖2 三機驅(qū)動振動同步試驗臺Fig.2 Vibrating synchronous bedstand with three exciters

5.1 有關(guān)系統(tǒng)特性的數(shù)值分析

圖隨系統(tǒng)參數(shù)變化曲線Fig.3 the parameters of system

5.2 三激振器相同情況下的試驗分析

圖4為三激振器相同時(η1=η2=η3)的試驗結(jié)果。試驗開始時，三臺電機均以相同電源供電。在約10 s處，激振器彼此之間的相位差達到穩(wěn)定狀態(tài)，為2α1≈198.6°，2α2≈205.4°和2α3≈43.7°。

圖4 三激振器相同時的同步試驗結(jié)果Fig.4 Experimental results on synchronization of three identical exciters

40 s處，切斷電機1的電源，此時振動系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)被打破，經(jīng)歷短暫的波動，系統(tǒng)進入振動同步傳動狀態(tài)。在振動同步傳動過程中，平均耦合力矩擔(dān)任能量傳輸?shù)墓ぞ遊8]，將來自于供電電機2和3的能量傳遞給斷電的電機1以克服后者的負載力矩并繼續(xù)保持同步運轉(zhuǎn)。振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定相位差為2α1≈191.5°，2α2≈199.7°和2α3≈29.1°。

80 s處，切斷電機3的電源，此時振動系統(tǒng)的振動同步傳動狀態(tài)被打破，經(jīng)歷短暫的波動，系統(tǒng)再次進入振動同步傳動狀態(tài)。此時，振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定相位差為2α1≈196.3°，2α2≈208.6°和2α3≈42.5°。

在第2次的振動同步傳動過程中，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速及相位差較之前呈現(xiàn)出細小的間歇性波動，導(dǎo)致其波動的原因如下：

1) 在兩個電機斷電的情況下，系統(tǒng)的平均耦合力矩恰好能夠克服三臺電機總的平均負載力矩，處于一種臨界狀態(tài)；

2) 供電電機2的電壓波動及電機自身相關(guān)參數(shù)隨外界環(huán)境變化而變化，導(dǎo)致電機2通過振動系統(tǒng)加載到電機1，3上的負載呈現(xiàn)不均勻性。

5.3 三激振器不同情況下的試驗分析

圖5為三激振器不同時(η1=η3=0.5,η2=1)的試驗結(jié)果，試驗仍然使用圖2所示的試驗臺。

試驗開始時，三臺電機同時供電，在約13 s處，激振器彼此之間的相位差達到穩(wěn)定狀態(tài)，但呈現(xiàn)出較小的間歇性波動，為2α1≈168.5°～172.3°，2α2≈175.1°～178.3°和2α3≈-15.8°～-14.2°。

40 s處，切斷電機1的電源，此時振動系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)被打破，經(jīng)歷短暫的波動，系統(tǒng)進入振動同步傳動狀態(tài)，此階段平均耦合力矩擔(dān)任能量傳輸?shù)墓ぞ?。穩(wěn)定狀態(tài)的相位差為2α1≈156.9°，2α2≈164.8°和2α3≈-40.5°。通過電機1斷電前后系統(tǒng)的穩(wěn)定性的對比，可以看出電機1斷電后系統(tǒng)的穩(wěn)定性更好，這是因為少了一個電機的內(nèi)部擾動。

圖5 三激振器不同時同步試驗結(jié)果Fig.5 Experimental results on synchronization of three non-identical exciters

80 s處，切斷電機3的電源，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速及各激振器之間的相位差開始出現(xiàn)較大的波動，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。原因如下：在兩臺電機斷電的情況下，系統(tǒng)的平均耦合力矩不足以克服三臺電機總的平均負載力矩。這也驗證了圖3的結(jié)果：τcijmax在η1=η2=η3=1時較τcijmax在η1=η3=0.5,η2=1時大，即振動系統(tǒng)在三激振器相同的條件下更容易實現(xiàn)同步及振動同步傳動。

5.4 系統(tǒng)參數(shù)帶入理論驗證

以三激振器相同(η1=η2=η3)時的試驗結(jié)果為例，將試驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入穩(wěn)定性判據(jù)中，如表1所示，可知同步狀態(tài)及振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定性指數(shù)都大于零(α3ij>0，det(A3)>0，det(A30)>0)，說明系統(tǒng)穩(wěn)定，與試驗結(jié)果相符合，這也驗證了所用理論方法的有效性。

表1 電機3斷電后系統(tǒng)振動同步傳動狀態(tài)下的穩(wěn)定性

6 結(jié) 論

1) 理論上定性地給出了超遠共振條件下同向回轉(zhuǎn)三激振器水平直線放置激振系統(tǒng)實現(xiàn)振動同步傳動的兩大判據(jù)：同步性判據(jù)及同步狀態(tài)的穩(wěn)定性判據(jù)。

2) 對于三機同向回轉(zhuǎn)激振系統(tǒng)而言，要想實現(xiàn)振動同步傳動，首先必須實現(xiàn)三機同時供電條件下的系統(tǒng)同步運轉(zhuǎn)，產(chǎn)生頻率俘獲力矩，以保證系統(tǒng)在振動同步傳動過程中使得平均耦合力矩擔(dān)任起能量傳輸?shù)墓ぞ?，將來自于供電電機的能量及轉(zhuǎn)矩通過系統(tǒng)傳遞給斷電的激振器以克服后者的負載力矩得以繼續(xù)保持同步運轉(zhuǎn)。

3) 由三激振器相同及三激振器不同兩組試驗結(jié)果可知，電機1及電機3斷電前后系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的相位差變化不大，因此系統(tǒng)穩(wěn)定時的主要運動形式在電機斷電前后保持不變。說明該三機振動系統(tǒng)在振動同步傳動狀態(tài)下仍然可以維持正常工作。

4) 通過比較分析三激振器相同及三激振器不同兩組試驗結(jié)果：當(dāng)三激振器相同時，系統(tǒng)在振動同步狀態(tài)及振動同步傳動狀態(tài)的主要運動形式為圓周運動及擺動運動；而當(dāng)三激振器不同時，系統(tǒng)在各個同步階段的主要運動形式為擺動運動，而擺動對工程實際來說毫無意義。同時，在三激振器相同的情況下，系統(tǒng)更容易實現(xiàn)振動同步傳動及各個階段的同步狀態(tài)更加穩(wěn)定。本研究表明，在工程生產(chǎn)中應(yīng)盡量選擇偏心塊質(zhì)量一樣的電機來進行振動同步及振動同步傳動方面的設(shè)計。