鐘 琴

(四川大學(xué)錦江學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部,四川 彭山 620860)

M-矩陣是一類重要的特殊矩陣, 生物學(xué)、物理學(xué)和社會科學(xué)中的許多問題都和M-矩陣有著密切聯(lián)系,如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收入-產(chǎn)出分析和增長模型、最優(yōu)化中的線性互補(bǔ)問題、概率統(tǒng)計(jì)中的馬爾科夫鏈等. 近年來, 非奇異M-矩陣最小特征值的估計(jì)得到了廣泛關(guān)注,并獲得了一系列的估計(jì)式[1-9].

1 預(yù)備知識

記N=1,2,3,…,n,Rm×nCm×n為m×n階實(shí)(復(fù))矩陣的集合.

定義1[1]設(shè)A=aij∈Rn×n,若aij≥0,則稱矩陣A為非負(fù)矩陣,記為A≥0,用ρ(A)表示矩陣A的譜半徑.

定義2[1]若A=aij∈Rn×n且可表示為A=sI-B, 其中B≥0,s>ρ(B),則稱A為非奇異M-矩陣.記n階非奇異M-矩陣的集合為Mn.

用σ(A)表示矩陣A的譜,記q(A)=minRe(λ):λ∈σ(A),稱q(A)為A的按模最小特征值,簡稱最小特征值.若A∈Mn,則由文獻(xiàn)[1],知q(A)∈σ(A).

(1)

(2)

設(shè)A∈Mn,文獻(xiàn)[3]給出了如下估計(jì)結(jié)果

minM(i,j)≤q(A)≤maxM(i,j)，

(3)

其中

設(shè)A∈Mn,且不可約, 文獻(xiàn)[4]利用M-矩陣與非負(fù)矩陣的關(guān)系,給出估計(jì)式

(4)

其中

因?yàn)镸-矩陣的最小特征值q(A)>0, 而M-矩陣的行和有時(shí)可能是零或負(fù)數(shù), 所以(1)式給出的最小特征值q(A)的估計(jì)有時(shí)會失去意義, (2)式需要計(jì)算M-矩陣逆矩陣的行和,計(jì)算量大.論文結(jié)合H?lder不等式給出非奇異M-矩陣最小特征值的新下界, 所得估計(jì)式只依賴于M-矩陣的元素, 易于計(jì)算.

2 非奇異M-矩陣最小特征值的下界

首先給出相關(guān)引理.

引理1[3](H?lder不等式) 設(shè)a=a1,…,anT,b=b1,…,bnT∈Rn為非負(fù)向量,0<α<1,則

定理1設(shè)A=aij∈Mn,u=u1,…,unT>0,0≤α≤1.記

則

q(A)≥minM*(i,j)，

(5)

其中

證明令

U=diagu1,…,un,

因?yàn)?/p>

u=u1,…,unT>0,

所以U可逆,記

以下分3種情況進(jìn)行證明.

(1)α=1.根據(jù)(3)式可知

上式說明α=1時(shí)定理1成立.

(2)α=0.因?yàn)?/p>

q(A)=qAT=qUATU-1,

根據(jù)(3)式可知

故α=0時(shí)，定理1成立.

X=ξ1,…,ξnT≥0，

且X≠0.令ξs=maxξi,則對任意t≠s，有ξs≥ξt≥0.

若ξt=0,則有ξs>0(X≥0且X≠0),此時(shí)

成立,即λ=ass.于是

若ξt≠0,則ξs≥ξt>0,于是由

有

進(jìn)一步，得

若設(shè)對任意滿足ξs≥ξt>0的s,ts≠t,有

則

利用H?lder不等式，得

有

即

(6)

(6)式兩邊對t求和，得

即

(7)

(7)式兩邊對s求和，得

即

(8)

(8)式為矛盾式,故假設(shè)不成立.因此至少有一對s,ts≠t，使得

(9)

解不等式(9)，得

即

注在定理1中取u=1,…,1T,α=1，即得(3)式中q(A)的下界估計(jì)式.

(10)

其中

a≠Ri(A),

所以

a-Ri(A)>0.

記

u=a-R1(A),a-R2(A),…,a-Rn(A)T,

再利用定理1即得.

(11)

證明在定理2中令α=1和α=0，分別得

故有(11)式成立.

3 數(shù)值算例

為方便計(jì)算和比較,采用文獻(xiàn)[4]中的例子來驗(yàn)證論文結(jié)論的有效性.

例考慮非奇異M-矩陣

真值q(A)≈0.382 0.由文獻(xiàn)[2]中(1), (2)式分別得q(A)≥0,q(A)≥0.333 3；由文獻(xiàn)[3]中(3)式得q(A)≥0.267 9；由文獻(xiàn)[4]中(4)式得q(A)≥0.333 3.

以上數(shù)值算例表明論文所得結(jié)果改進(jìn)了現(xiàn)有的估計(jì)式,且所得估計(jì)式只依賴于M-矩陣的元素,便于計(jì)算.