高百俊，王克科

(1.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院，新疆 伊寧 835000；2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚(yáng)州 225002)

文獻(xiàn)[2]通過(guò)對(duì)有限群的F-離中心主因子上自同構(gòu)的限制，提出擬F-群的概念，并研究了擬超可解群和p-擬超可解群[3].結(jié)合M-可補(bǔ)子群[4]和幾乎s-正規(guī)子群[5]兩種子群的性質(zhì)，文獻(xiàn)[6]給出了幾乎M-可補(bǔ)子群的定義，并利用Sylow 子群的極大子群的幾乎M-可補(bǔ)性，對(duì)p-冪零群、超可解群等飽和群系進(jìn)行了研究.目前，相關(guān)學(xué)者利用子群的幾乎M-可補(bǔ)性研究飽和群系已取得了一些成果[7-9]，但是關(guān)于擬F-群可解飽和群系的研究結(jié)果卻很少.由于p-超可解群類包含于p-擬超可解群類、超可解群類包含于擬超可解群類，作為飽和群系向可解飽和群系的延伸，論文將繼續(xù)利用Sylow 子群的極大子群的幾乎M-可補(bǔ)性，對(duì)p-擬超可解群和擬超可解群這兩類可解飽和群系的結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[7]設(shè)G是有限群，有

(1) 若H≤K≤G，且H在G中幾乎M-可補(bǔ)，則H在K中幾乎M-可補(bǔ)；

(3) 設(shè)π是一個(gè)素?cái)?shù)集，K是G的正規(guī)π′-子群，且H是G的π-子群，若H在G中幾乎M-可補(bǔ)，則HK/K在G/K中幾乎M-可補(bǔ)；

引理2[7]設(shè)G是有限群，P是G的一個(gè)Sylowp-子群，p是G的極小素因子.G是p-冪零的當(dāng)且僅當(dāng)P的任意極大子群在G中要么有p-冪零補(bǔ)，要么有幾乎M-補(bǔ).

引理3[5]設(shè)p∈π(G)，P是群G的一個(gè)p-子群且在G中有一個(gè)M-補(bǔ)子群B，則

P∩B=P1∩B=Φ(P)∩B，

且|G:P1B|=p，P1是P的任意極大子群.

引理4[10]設(shè)P是一個(gè)初等交換p-群且|P|=pd，d≥2,p是一個(gè)素?cái)?shù)，且

Md(P)={M1,…,Md，

有

(a)Xi=∩i≠jMj是p階循環(huán)群；

(b)P=.

引理5[2]若F是一個(gè)包含冪零群類的飽和群系，則擬F-群類(p-擬F-群類)是可解飽和群系且擬F-群(p-擬F-群)的正規(guī)子群也是一個(gè)擬F-群(p-擬F-群).

引理6[11]設(shè)G是有限群，N為G的子群，有

(2)F*(F*(G))=F*(G)≥F(G)；如果F*(G)可解，則F*(G)=F(G).

(3) 如果K≤Z(G)，則F*(G/K)=F*(G)/K.

2 主要結(jié)論

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)(G,E)是使|G||E|最小的極小階反例.

(1)Op′(E)=1.事實(shí)上，若K=Op′(E)≠1，考慮商群G/K，由引理1(3)知(G/K,E/K)滿足定理的條件，從而由(G,E)的選擇可得G/K是p-擬超可解群，故G是p-擬超可解群，矛盾.

(2)E=P.若E=G，則由引理2得E是p-冪零的，又由(1)可知E=G=P.若E

(3) 若L是G的任意一個(gè)包含于E的極小正規(guī)子群，則L≠P.否則，由引理1(4)得|L|=p.又由(2)及已知得G/L=G/E是p-擬超可解群，所以G也是p-擬超可解群，矛盾.

考慮

P∩PiK=Pi(P∩K)，

則必有P∩K

Pj(P∩K)=P.

由于Pj在PjK中是M-可補(bǔ)的，由引理3，有

Pj∩K=Φ(Pj)∩K=1，

即

|P|=|Pj||P∩K|，

即|P∩K|=p.

考慮(G/(P∩K),E/(P∩K))，由引理1(2)和(G,E)的選擇，可得G/(P∩K)是p-擬超可解群，故G也是p-擬超可解群，矛盾.因此?Pi<·P，都有P∩K≤Pi，從而，有

P∩K≤Φ(P)=1，

即

以上結(jié)論是借助群階的極小素因子，利用幾乎M-可補(bǔ)子群的性質(zhì)對(duì)p-擬超可解群的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.接下來(lái)，將從群擴(kuò)張的角度來(lái)考查幾乎M-可補(bǔ)子群對(duì)擬超可解群的影響.

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)(G,E)是使|G||E|最小的極小階反例.

考慮

P∩PiK=Pi(P∩K)，

易見(jiàn)P∩K

從而，有

P∩K≤Φ(P)=1，

即

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)(G,E)是使|G||E|最小的極小階反例.

(1)F*(E)=F(E)≠E.由文獻(xiàn)[7]中定理3.3.6可知F*(E)是超可解的，又由引理6(2)得F*(E)=F(E)，最后，由定理2知F*(E)=F(E)≠E.

(2) 存在p∈π(F*(E))，使得P是F*(E)的非循環(huán)Sylowp-子群且P=Op(E).如果F*(E)的每個(gè)Sylow 子群都是循環(huán)群，那么由引理7可知E的每個(gè)G-主因子都是循環(huán)的，因此E≤ZU(G).又G/E是擬超可解群，故G是擬超可解群，矛盾.

F*(E)=F(E)≤CE(L)，L≤Z(CE(L))，

所以由引理6(1)和(3)，有

F*(CE(L)/L)=F*(CE(L))/L=F*(E)/L.

由引理1(2)及(G,E)的選擇，得G/L是擬超可解群，故G也是擬超可解群，矛盾.

考慮

P∩PiB=Pi(P∩B)，

易見(jiàn)P∩B

由引理4可知P的每一個(gè)極小子群在G中均正規(guī)，這與(3)矛盾. 于是?Pj<·P，使得P∩B≤Pj，于是Pj(P∩B)=P. 因?yàn)镻j在PjB中是M-可補(bǔ)的，由引理3，得

Pj∩B=Φ(Pj)∩B=1，

|P|=|Pj||P∩B|，