柯肇捷， 周文雅

(1.大連理工大學(xué) 石油與化學(xué)工程學(xué)院， 遼寧 盤錦 124221； 2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

0 引言

武器裝備試驗(yàn)鑒定是武器裝備全壽命管理中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，隨著武器裝備的網(wǎng)絡(luò)化、體系化、智能化發(fā)展，試驗(yàn)?zāi)康膹?fù)雜多樣，試驗(yàn)成本越來越高，致使試驗(yàn)鑒定難度越來越大，通常只能進(jìn)行少量的外場(chǎng)對(duì)抗性試驗(yàn)[1]，小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)、基于小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)的評(píng)估等技術(shù)已成為裝備試驗(yàn)鑒定領(lǐng)域急需解決的關(guān)鍵難題。

目前的小樣本數(shù)據(jù)處理主要采取兩個(gè)思路：

1) 概率統(tǒng)計(jì)法，包括經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法和Bayes方法。經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)樣本分布模型進(jìn)行假設(shè)，基于數(shù)學(xué)期望對(duì)原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，但是由于試驗(yàn)過程的動(dòng)態(tài)性和不確定性，原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)在本質(zhì)上未必屬于同一總體，難以滿足關(guān)于獨(dú)立、同分布的前提，使得統(tǒng)計(jì)處理出現(xiàn)較大的風(fēng)險(xiǎn)。Bayes方法在小子樣處理領(lǐng)域獲得了較為廣泛的應(yīng)用[1-4]，如：文獻(xiàn)[3]利用Bayes理論和驗(yàn)前信息，提出了利用序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)方法以及截尾序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)方法對(duì)維修性指標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)定；文獻(xiàn)[4]基于Bayes可靠性理論建立某挖掘機(jī)小樣本數(shù)據(jù)的可靠性模型。Bayes方法能在保證決策風(fēng)險(xiǎn)盡可能小的情況下綜合利用多種信息類型，但是需要利用驗(yàn)前信息，而如何獲得驗(yàn)前信息并確定其概率分布形式是應(yīng)用的難題。

2)基于不確定性理論的非統(tǒng)計(jì)法包括兩種模式：一種是直接利用不確定理論相關(guān)方法，如文獻(xiàn)[5]結(jié)合泛函的范數(shù)理論和灰色系統(tǒng)[6]的灰色關(guān)聯(lián)原理，提出了灰色距離信息方法來進(jìn)行電子裝備試驗(yàn)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)處理，這種方法不能給出參數(shù)估計(jì)的置信度；另一種是利用不確定理論相關(guān)方法產(chǎn)生虛擬總體樣本[7]，通過數(shù)據(jù)融合進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。如：文獻(xiàn)[8]提出一種乏信息空間機(jī)械臂隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)估計(jì)的灰自助方法[9-10]，以解決經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法無法解決的乏信息數(shù)據(jù)評(píng)估問題，該方法不涉及原始數(shù)據(jù)的概率分布問題；文獻(xiàn)[11]提出一種適用于小樣本巖土參數(shù)區(qū)間估計(jì)的改進(jìn)灰自助方法。

本文基于灰自助和未確知數(shù)學(xué)方法[12-13]，提出小樣本數(shù)據(jù)處理的一種新途徑，介紹處理流程和實(shí)現(xiàn)模型，并進(jìn)行算例驗(yàn)證。

1 小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)的灰自助生成

在武器裝備試驗(yàn)中，假設(shè)針對(duì)某一測(cè)試指標(biāo)得到的測(cè)量數(shù)據(jù)集合為

X={x(t);t=1,2,…,N}，

(1)

式中：x(t)為第t個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)；N為測(cè)量數(shù)據(jù)總數(shù)。N個(gè)小樣本數(shù)據(jù)所攜帶的信息不足以確定測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)和數(shù)量關(guān)系，決策者只能部分地認(rèn)識(shí)測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)。按照灰色系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)，這種認(rèn)知呈現(xiàn)出典型的“部分已知、部分未知”的灰色狀態(tài)。

自助抽樣原理的基本思路是從測(cè)量數(shù)據(jù)集合X中等概率可放回地隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù)，記為x1(1)，該抽取過程重復(fù)m次即可得到第1個(gè)自助樣本，記為

X1={x1(1),x1(2),…,x1(m)}.

(2)

將上述獲得自助樣本的整體抽取過程連續(xù)重復(fù)A次，會(huì)得到A個(gè)自助再抽樣樣本，再抽樣樣本集合可記為

Y={X1,X2,…,Xi,…,XA}，

(3)

式中：Xi={xi(1),xi(2),…,xi(m)}。

針對(duì)自助樣本Xi建立灰色模型GM(1,1)，假設(shè)其一次累加生成序列為

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：k=1,2,…,m.

在(7)式中令k=m-1，m，通過一次累減生成算法即可得到自助樣本Xi中第m+1個(gè)預(yù)測(cè)值，記為

(8)

于是得到新的測(cè)試指標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)集合為

X={x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)}.

(9)

由此可以看出，使用灰自助方法可以對(duì)原始乏信息數(shù)據(jù)序列進(jìn)行充分挖掘，擬合生成較多的系統(tǒng)信息，且生成過程不依賴于原始數(shù)據(jù)序列的概率分布信息。需要指出的是：并非所有小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)均適用灰自助再抽樣方法，需要根據(jù)發(fā)展系數(shù)等參數(shù)的取值范圍確定模型GM(1,1)是否適用；另外，模型GM(1,1)具有明確均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)等多種基本形式，實(shí)際建模過程中需要根據(jù)數(shù)據(jù)形態(tài)選擇合適的GM(1,1)模型形式[14]。

2 未確知有理數(shù)的構(gòu)造與優(yōu)化

第1節(jié)挖掘生成的測(cè)量數(shù)據(jù)集合X中N+A個(gè)數(shù)據(jù)不能使決策者完全把握測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)，對(duì)測(cè)試指標(biāo)真實(shí)狀態(tài)的認(rèn)知在性質(zhì)上還是“部分已知、部分未知”，但是相比于N個(gè)數(shù)據(jù)所表征灰色信息的“部分已知、部分未知”，它們又有重要的區(qū)別，前者“部分已知、部分未知”中已知部分要多于后者。對(duì)N+A個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，如果采用常規(guī)的統(tǒng)計(jì)方法，則首先必須假設(shè)數(shù)據(jù)的分布特征，但是這個(gè)假設(shè)的合理性和可行性難以驗(yàn)證。而表征測(cè)試指標(biāo)真實(shí)狀態(tài)的N+A個(gè)數(shù)據(jù)在本質(zhì)上屬于未確知信息的范疇，是純主觀上、認(rèn)識(shí)上的不確定性信息，未確知信息通常用未確知有理數(shù)進(jìn)行描述。因此本文直接引入未確知有理數(shù)方法，避免對(duì)生成數(shù)據(jù)進(jìn)行分布規(guī)律的假設(shè)。

2.1 未確知有理數(shù)的建立

針對(duì)(9)式所示挖掘生成的測(cè)量數(shù)據(jù)集合X，可以利用N+A個(gè)數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個(gè)k(k

a=min{x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)}，

(10)

b=max{x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)}，

(11)

(12)

很顯然，(12)式中a≤xi≤b，通常對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行2k個(gè)等值劃分，使得該區(qū)間數(shù)據(jù)值xi的領(lǐng)域控制半徑均相等，則可得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)取值xi的表達(dá)式為

(13)

可信度αi則用試驗(yàn)數(shù)據(jù)值xi控制半徑內(nèi)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率進(jìn)行表示，即有

(14)

2.2 未確知有理數(shù)階數(shù)的優(yōu)化

利用未確知有理數(shù)對(duì)挖掘生成后的測(cè)量數(shù)據(jù)集合進(jìn)行表達(dá)，較好地反映了測(cè)試指標(biāo)的數(shù)據(jù)值分布情況，可信度αi只是表明了取值xi的不確定性程度。信息論中熵被定義為信息的均值，不確定性越大，熵也越大。針對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)集合，將未確知有理數(shù)中k個(gè)取值所提供的平均信息量定義為可信度熵，則可信度熵反映了對(duì)該測(cè)試指標(biāo)認(rèn)識(shí)的不確定性程度。區(qū)間[a,b]上取值xi的頻率越均勻(即取值越分散)，對(duì)測(cè)試指標(biāo)的刻畫越復(fù)雜，不確定性程度就越大，未確知有理數(shù)的可信度熵也就越大。為了從不確定的事情中獲取最大的信息量，所構(gòu)造未確知有理數(shù)的可信度熵越大就越能刻畫測(cè)試指標(biāo)。因此，當(dāng)可信度熵取最大值時(shí)，可以估計(jì)未確知有理數(shù)的最佳階數(shù)。

對(duì)于(12)式構(gòu)造的k階未確知有理數(shù)，其可信度熵定義為

(15)

3 基于未確知有理數(shù)的參數(shù)估計(jì)

基于2.1節(jié)的構(gòu)造與2.2節(jié)的優(yōu)化過程，將描述測(cè)量數(shù)據(jù)集合X的k*階未確知有理數(shù)A記為[[a,b],φ(x)]，其中

(16)

3.1 基于未確知有理數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

通過k*階未確知有理數(shù)A的構(gòu)造，實(shí)際上有了測(cè)試指標(biāo)樣本總體的離散化值x1,…,xk*，通過小樣本的灰自助生成已求得其中每一個(gè)xi的出現(xiàn)頻率，但仍然不能確定樣本總體的分布類型?；诰毓烙?jì)法，稱下列1階未確知有理數(shù)

(17)

為未確知有理數(shù)A的數(shù)學(xué)期望，也稱E(A)為未確知期望或均值。

用方差D(A)來描述未確知有理數(shù)A到E(A)的離散程度，即

D(A)=E(A-E(A))2.

(18)

(19)

(20)

則定義上述點(diǎn)估計(jì)的置信度為

(21)

3.2 基于未確知有理數(shù)的區(qū)間估計(jì)

除了用上述點(diǎn)估計(jì)給出測(cè)試指標(biāo)的近似值外，還可以用區(qū)間估計(jì)法給出其取值范圍，即將估計(jì)誤差用醒目的形式標(biāo)示出來。但是區(qū)間估計(jì)需要假設(shè)樣本總體的分布特征，對(duì)于武器裝備的測(cè)試指標(biāo)數(shù)據(jù)，一般假設(shè)其服從正態(tài)分布。需要指出的是，區(qū)間估計(jì)中的置信水平反映了估計(jì)的可靠性(與未確知有理數(shù)中的可信度有本質(zhì)的區(qū)別)，表達(dá)了待估參數(shù)落入估計(jì)區(qū)間的概率大小，概率越大，可靠性越高。

給定置信水平1-β，從表1所示的常用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)β分位點(diǎn)表中查詢u(β/2)，基于(22)式計(jì)算給定置信水平下的置信區(qū)間半長(zhǎng)度ε：

(22)

表1 常用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)β分位點(diǎn)表Tab.1 Upper β quantilesTable of standard normal distribution

針對(duì)挖掘生成的N+A個(gè)數(shù)據(jù)，假設(shè)有t個(gè)數(shù)據(jù)位于上述置信區(qū)間之外，則定義置信水平1-β下區(qū)間估計(jì)的置信度為

(23)

4 小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)算例

基于灰自助和未確知有理數(shù)的小樣本數(shù)據(jù)估計(jì)方法，就是將灰色自助方法和未確知有理數(shù)處理方法有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，其原理如圖1所示。

圖1 基于灰自助和未確知有理數(shù)的數(shù)據(jù)估計(jì)原理Fig.1 Data estimation principle based on grey bootstrap method and unascertained rational number

為了驗(yàn)證算法的有效性，對(duì)某型裝備試驗(yàn)中的干擾功率測(cè)試數(shù)據(jù)X={93.5,92.6,93.7,92.5,93.1，93.5}進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

利用灰自助方法獲得新的測(cè)試指標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)集合為{93.5, 92.6, 93.7, 92.5, 93.1, 93.5, 93.1, 92.7, 93.2, 93.6, 92.8, 94.0, 93.0, 92.5, 93.4, 93.0, 92.7, 92.2, 92.9, 92.1, 93.1, 93.4, 93.0, 92.5, 93.4, 92.8, 92.1, 92.9, 92.6, 94.0}、總共30個(gè)數(shù)據(jù)，其中最大值為94.0，最小值為92.1. 分別構(gòu)造k階未確知有理數(shù)，其對(duì)應(yīng)的可信度熵Sk如表2所示。

表2 不同階數(shù)未確知有理數(shù)的可信度熵Tab.2 Credibility entropies of unascertained rational numbers of different orders

根據(jù)表2中計(jì)算結(jié)果和未確知有理數(shù)階數(shù)優(yōu)化原理，本算例構(gòu)造3階未確知有理數(shù)[[92.1,94.0],φ(x)]，其中

假設(shè)置信水平為0.99，則β=0.01，計(jì)算給定置信水平下的置信區(qū)間半長(zhǎng)度ε=0.93，則得到置信區(qū)間為[92.07，93.93]，這時(shí)生成數(shù)據(jù)集合有2個(gè)點(diǎn)位于上述區(qū)間之外，覆蓋全部原始測(cè)試數(shù)據(jù)，區(qū)間估計(jì)的置信度為pi=93.3%.

5 結(jié)論

本文提出了基于灰自助和未確知有理數(shù)的小樣本數(shù)據(jù)估計(jì)方法，給出了其點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)以及估計(jì)置信度模型，并進(jìn)行了算例驗(yàn)證。得出以下結(jié)論：

1) 同一置信水平下，相比于灰自助方法，基于本文方法的估計(jì)區(qū)間能更多地覆蓋生成數(shù)據(jù)集合和原始測(cè)試數(shù)據(jù)。例如置信水平0.99時(shí)，本文方法覆蓋生成數(shù)據(jù)集合28個(gè)點(diǎn)和全部原始測(cè)試數(shù)據(jù)，灰自助方法僅覆蓋生成數(shù)據(jù)集合11個(gè)點(diǎn)和1個(gè)原始測(cè)試數(shù)據(jù)。

2) 相比于Bootstrap方法，本文方法有效地?cái)U(kuò)展了原始觀測(cè)數(shù)據(jù)。

3) 該方法不假設(shè)原始數(shù)據(jù)的概率分布特征，能有效地解決裝備測(cè)試數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問題。

4) 針對(duì)本方法的推廣應(yīng)用，下一步可對(duì)灰自助抽樣生成數(shù)據(jù)的精度問題、生成數(shù)據(jù)的樣本量?jī)?yōu)化問題等進(jìn)行深入研究。