趙建博， 楊樹興， 熊芬芬

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081; 2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 陜西 西安 710065)

0 引言

尋的制導(dǎo)系統(tǒng)由于可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈“發(fā)射后不管”，一直是制導(dǎo)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]。在末制導(dǎo)段，尋的制導(dǎo)系統(tǒng)需要時(shí)刻依賴導(dǎo)引頭提供導(dǎo)彈相對(duì)于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息，從而由彈上計(jì)算機(jī)根據(jù)制導(dǎo)律得出控制回路所需的加速度指令。然而，導(dǎo)彈導(dǎo)引頭往往造價(jià)昂貴，通常占整枚導(dǎo)彈總體造價(jià)的1/3以上，因此有必要對(duì)無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的制導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行研究。

現(xiàn)有的無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈制導(dǎo)主要包括兩類：其一是采用外部制導(dǎo)方案(駕束制導(dǎo)、指令制導(dǎo)等)，即通過(guò)地面站實(shí)時(shí)控制導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡，使其命中目標(biāo)[2-3]，然而這種方式由于在制導(dǎo)回路中需要地面站參與，無(wú)法實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈“發(fā)射后不管”，且存在地面站位置暴露的問(wèn)題；其二，基于協(xié)同制導(dǎo)，無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈可在一枚有導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的帶領(lǐng)下對(duì)目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同攻擊[4-5]，然而，若考慮無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈具有一定的定位誤差，則基于上述協(xié)同制導(dǎo)律均會(huì)產(chǎn)生較大的脫靶量。

為了減小無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的定位誤差，可采用協(xié)同定位對(duì)其位置進(jìn)行估計(jì)。導(dǎo)彈協(xié)同定位方法主要分為導(dǎo)彈集群協(xié)同與領(lǐng)彈-從彈協(xié)同兩種方式[6]。對(duì)于第1種協(xié)同方式，文獻(xiàn)[7-8]基于全系數(shù)加權(quán)最小二乘法對(duì)分別由數(shù)據(jù)鏈和慣性導(dǎo)航(簡(jiǎn)稱慣導(dǎo))系統(tǒng)測(cè)得的兩導(dǎo)彈間距進(jìn)行處理，即基于全局信息對(duì)所有導(dǎo)彈的位置估計(jì)值進(jìn)行整體優(yōu)化。盡管這種方法可提高導(dǎo)彈位置的估計(jì)精度，但由于其主要適用于全通信的導(dǎo)彈集群且要求集群中每枚導(dǎo)彈具有相同的定位精度，故限制了其在實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境下的應(yīng)用。此外，基于“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu)，王小剛等[9]采用卡爾曼濾波對(duì)由數(shù)據(jù)鏈和慣性導(dǎo)航系統(tǒng)測(cè)得的領(lǐng)彈-從彈間距之差進(jìn)行處理，從而得到從彈的慣性導(dǎo)航參數(shù)誤差。這種協(xié)同定位方法雖然在原理上與衛(wèi)星定位技術(shù)類似，但在工程上有更大的應(yīng)用價(jià)值，主要原因?yàn)椋?)由于導(dǎo)彈間距遠(yuǎn)小于衛(wèi)星-導(dǎo)彈間距，故電離層及多路徑對(duì)偽距的影響可忽略不計(jì)；2)由于在戰(zhàn)時(shí)己方定位衛(wèi)星很可能會(huì)受到對(duì)方的攻擊與干擾，故此時(shí)采用衛(wèi)星定位的可靠性不高。隨著近些年協(xié)同制導(dǎo)逐漸成為研究熱點(diǎn)[10-11]，多導(dǎo)彈協(xié)同定位也將得到更廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[9]提出了協(xié)同定位方法，為減小無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的定位誤差提供了一種全新的思路，但具體如何利用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)協(xié)同定位，文中未進(jìn)行詳細(xì)理論推導(dǎo)和闡述，不便于實(shí)際應(yīng)用。

同時(shí)，在協(xié)同定位的基礎(chǔ)上，本文研究了協(xié)同定位對(duì)無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈制導(dǎo)性能的影響。對(duì)于靜止目標(biāo)，比例導(dǎo)引由于制導(dǎo)性能好、易于實(shí)現(xiàn)，一直得到廣泛研究與應(yīng)用[12]。然而，通過(guò)大量仿真分析發(fā)現(xiàn)，若無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈在協(xié)同定位的基礎(chǔ)上采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)，將會(huì)產(chǎn)生很大的終止時(shí)刻過(guò)載指令。現(xiàn)有的過(guò)載指令約束方法主要分為飽和函數(shù)法與系數(shù)法兩類。對(duì)于飽和函數(shù)法，可將過(guò)載約束值作為飽和函數(shù)的閾值。當(dāng)過(guò)載指令大于閾值時(shí)，導(dǎo)彈的實(shí)際過(guò)載將保持在閾值[13-16]或采用比例導(dǎo)引[17]，以減小過(guò)載指令。然而，若采用飽和函數(shù)法，制導(dǎo)性能將受到閾值選擇的影響，且無(wú)法實(shí)現(xiàn)終止時(shí)刻過(guò)載指令盡可能小。為了減小終止時(shí)刻的過(guò)載指令以提高戰(zhàn)斗部的毀傷效果，Taub等[18]對(duì)最優(yōu)控制制導(dǎo)律的罰函數(shù)系數(shù)進(jìn)行了進(jìn)一步設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)了全彈道過(guò)載指令的時(shí)變約束。此外，Li等[19]采用模糊邏輯方法對(duì)所提出的滑?？刂浦茖?dǎo)律系數(shù)進(jìn)行在線優(yōu)化，減小了終止時(shí)刻過(guò)載指令。Yogaswara等[20]發(fā)現(xiàn)通過(guò)增大已有的剩余時(shí)間多項(xiàng)式制導(dǎo)律系數(shù)，也可減小終止時(shí)刻過(guò)載指令。上述系數(shù)法均是對(duì)特定制導(dǎo)律的系數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，以減小終止時(shí)刻過(guò)載指令，無(wú)法直接用于解決協(xié)同定位與比例導(dǎo)引相結(jié)合時(shí)終止時(shí)刻過(guò)載指令過(guò)大的特定問(wèn)題。

本文首先基于雙領(lǐng)彈的領(lǐng)彈-從彈架構(gòu)，提出一種多導(dǎo)彈協(xié)同定位方法。與文獻(xiàn)[9]提出的協(xié)同定位方法相比，本文建立了基于導(dǎo)彈2階運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的狀態(tài)空間模型，同時(shí)完整詳細(xì)地推導(dǎo)出了采用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)協(xié)同定位的過(guò)程，使其更便于實(shí)際應(yīng)用。此外，在協(xié)同定位的基礎(chǔ)上，對(duì)無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的制導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出一種新型變系數(shù)比例導(dǎo)引律，以解決協(xié)同定位與比例導(dǎo)引相結(jié)合時(shí)終止時(shí)刻過(guò)載指令過(guò)大的問(wèn)題。綜上所述，本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要包括以下兩個(gè)方面：1)基于導(dǎo)彈的2階運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，提出一種多導(dǎo)彈協(xié)同定位方法，并完整推導(dǎo)出采用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)協(xié)同定位的過(guò)程；2)分析了協(xié)同定位對(duì)無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈制導(dǎo)的影響，并提出一種新型變系數(shù)比例導(dǎo)引律，以避免終止時(shí)刻過(guò)載指令過(guò)大。

1 多導(dǎo)彈制導(dǎo)問(wèn)題

考慮n枚無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈Mi(i=1,2,…,n)在兩枚有導(dǎo)引頭導(dǎo)彈ML1、ML2的帶領(lǐng)下對(duì)靜止目標(biāo)T進(jìn)行協(xié)同攻擊。導(dǎo)彈-目標(biāo)在慣性系Oxy中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示，其中：下標(biāo)i、L1、L2分別表示從彈i、領(lǐng)彈1和領(lǐng)彈2；v、a、θ、q、η、r分別表示速度、法向過(guò)載、彈道角、視線角、前置角和剩余距離。

圖1 多導(dǎo)彈攻擊單一目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Guidance geometry on many-to-one engagement scenario

兩枚領(lǐng)彈可直接通過(guò)導(dǎo)引頭測(cè)量其相對(duì)于目標(biāo)的視線角速度，故可采用比例導(dǎo)引實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)。無(wú)導(dǎo)引頭從彈雖可在發(fā)射前得到靜止目標(biāo)的位置信息，但由于其通過(guò)低精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)得到的位置估計(jì)值存在較大誤差，故仍無(wú)法精確得到其相對(duì)于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息，即無(wú)法采用一般導(dǎo)引方法實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)。因此，本文的研究問(wèn)題為存在定位誤差的無(wú)導(dǎo)引頭從彈如何在兩枚有導(dǎo)引頭領(lǐng)彈的帶領(lǐng)下實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)。為了簡(jiǎn)化相應(yīng)算法的設(shè)計(jì)過(guò)程，提出以下假設(shè)：1)導(dǎo)彈與目標(biāo)均作為平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)；2)導(dǎo)彈速度大小恒定；3)與制導(dǎo)回路相比，自動(dòng)駕駛儀的響應(yīng)延遲可忽略。

2 協(xié)同定位方法

為了得到精度更高的從彈位置估計(jì)值，本節(jié)基于雙領(lǐng)彈的領(lǐng)彈-從彈架構(gòu)(見圖2)及擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，設(shè)計(jì)了一種協(xié)同定位方法。其中，兩枚有導(dǎo)引頭的導(dǎo)彈作為領(lǐng)彈，而其余無(wú)導(dǎo)引頭的導(dǎo)彈作為從彈。假設(shè)領(lǐng)彈的精確位置信息可通過(guò)彈上的高精度傳感器測(cè)得，進(jìn)而可通過(guò)數(shù)據(jù)鏈傳遞給從彈，同時(shí)從彈可由利用數(shù)據(jù)鏈測(cè)距的雙向單程測(cè)距法[8]測(cè)得其與領(lǐng)彈的相對(duì)距離。

圖2 導(dǎo)彈通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topology structure of communication among missiles

由于導(dǎo)彈的法向加速度與速度大小均可通過(guò)加速度計(jì)直接測(cè)量或估計(jì)得到，故選擇控制變量ui=ai、狀態(tài)向量Xi=[xi,yi,θi]T，從而可得到以下狀態(tài)空間用以表示從彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

(1)

式中：xi、yi為從彈相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)。由于在本文中只考慮加速度計(jì)的隨機(jī)噪聲，故可認(rèn)為從彈速度大小與法向加速度的測(cè)量誤差(Δvi與Δai)均為高斯白噪聲(定義為動(dòng)態(tài)噪聲)，且滿足以下正態(tài)分布[21]：

ωi=[Δvi,Δai]T～N(0,Qi)，

(2)

式中：ωi為動(dòng)態(tài)噪聲向量；Qi為協(xié)方差矩陣；函數(shù)N(·)表示正態(tài)分布，其中第1個(gè)元素表示均值向量，第2個(gè)元素為協(xié)方差矩陣。

因此, 基于(1)式可知，包含動(dòng)態(tài)噪聲的狀態(tài)方程f(Xi,ui,ωi)可表示為

(3)

由于vi+Δvi與ai+Δai分別為包含了加速度計(jì)測(cè)量誤差的從彈速度與加速度估計(jì)值，均可由加速度計(jì)測(cè)量得到。此外，由于從彈可通過(guò)數(shù)據(jù)鏈實(shí)時(shí)獲得領(lǐng)彈的位置信息以及其與領(lǐng)彈的相對(duì)距離，故可定義量測(cè)方程h(Xi,υi)為

Zi

(4)

式中：Zi為量測(cè)方程的輸出量；(xL1,yL1)、(xL2,yL2)分別為兩枚領(lǐng)彈的位置坐標(biāo)；量測(cè)噪聲Δhi1與Δhi2滿足以下正態(tài)分布[7-8]：

υi=[Δhi1,Δhi2]T～N(0,Ri)，

(5)

υi為量測(cè)噪聲向量，Ri為協(xié)方差矩陣。

在本節(jié)中將采用連續(xù)擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)從彈位置進(jìn)行估計(jì)，即首先需要計(jì)算以下部分微分矩陣[22]：

(6)

(7)

進(jìn)而，可采用以下連續(xù)擴(kuò)展卡爾曼濾波公式來(lái)估計(jì)狀態(tài)量：

(8)

式中：Pi為狀態(tài)量的協(xié)方差矩陣；初始噪聲一般被定義為ωi0=0且υi0=0. 在本文中，變量括號(hào)中的0均表示初始時(shí)刻。綜上所述，基于上述協(xié)同定位方法可得到從彈位置與彈道角的估計(jì)值i.

3 基于協(xié)同定位的制導(dǎo)方法

基于靜止目標(biāo)位置及第2節(jié)得到的從彈位置估計(jì)值，可近似得到從彈相對(duì)于目標(biāo)的距離與視線角估計(jì)值分別為i和i. 由于vi恒定且從彈彈道角的估計(jì)值i可由狀態(tài)估計(jì)值i得到，故基于

(9)

然而，若從彈采用比例導(dǎo)引，則存在極大的終止時(shí)刻過(guò)載指令。這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)協(xié)同定位雖然使得從彈的定位誤差很小，但仍存在，故|i-i|無(wú)法收斂于0°，而由于在制導(dǎo)終止時(shí)刻i很小，故由(9)式可知在此時(shí)刻將會(huì)很大，即存在很大的終止時(shí)刻過(guò)載指令。由于從彈定位誤差對(duì)|i-i|的影響很難僅通過(guò)制導(dǎo)方法消除，故為了減小終止時(shí)刻過(guò)載可在比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上引入i，即

(10)

(11)

且為單調(diào)增函數(shù)，故在(10)式中引入此函數(shù)是為了在保證減小終止時(shí)刻過(guò)載的基礎(chǔ)上，同時(shí)避免在制導(dǎo)前半段由于引入的i較大而產(chǎn)生較大的法向過(guò)載。定義

(12)

并將Ni作為時(shí)變的導(dǎo)航比，故(10)式可轉(zhuǎn)化為

(13)

(13)式可認(rèn)為是變系數(shù)比例導(dǎo)引律。

對(duì)于靜止目標(biāo)的比例導(dǎo)引，為了保證脫靶量為0 m，應(yīng)選擇導(dǎo)航比大于1，而為了使終止時(shí)刻過(guò)載為0g，應(yīng)選擇導(dǎo)航比大于2[23]. 因此，為了使本文設(shè)計(jì)的變系數(shù)比例導(dǎo)引律滿足脫靶量與終止時(shí)刻過(guò)載分別為0 m和0g，需要求Ni>2. 然而，由(12)式可知，Ni中包括i，而i在制導(dǎo)終止時(shí)刻極小，故無(wú)法保證?t>0、Ni>2. 考慮到脫靶量與終止時(shí)刻過(guò)載均是由飛行全過(guò)程決定的，故本文設(shè)計(jì)了飛行全過(guò)程的等效導(dǎo)航比即

(14)

(15)

式中：tf為從彈制導(dǎo)終止時(shí)刻。由于i與tf均需要在飛行過(guò)程中得到，故基于(15)式無(wú)法提前確定即無(wú)法提前選定ki. 因此，可分別選擇i與arctant+0.5的中間值來(lái)近似估計(jì)即(15)式可轉(zhuǎn)化為

(16)

通過(guò)對(duì)(16)式化簡(jiǎn)可得到(14)式。

4 仿真與分析

考慮具有定位誤差的無(wú)導(dǎo)引頭從彈在兩枚有導(dǎo)引頭領(lǐng)彈的帶領(lǐng)下協(xié)同攻擊位于(8 000 m,0 m)處的靜止目標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確打擊，要求導(dǎo)彈脫靶量小于2 m，法向過(guò)載指令小于5g. 領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引且導(dǎo)航比分別為3和6，并可實(shí)現(xiàn)從彈在飛行全過(guò)程中的協(xié)同定位。從彈采用本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法與變系數(shù)比例導(dǎo)引以實(shí)現(xiàn)制導(dǎo)。為了驗(yàn)證從彈定位誤差對(duì)制導(dǎo)性能的影響以證明協(xié)同定位的必要性，選擇一枚對(duì)比從彈直接采用比例導(dǎo)引律，而所需的視線角速度可通過(guò)文獻(xiàn)[5]中設(shè)計(jì)的方法求解。此外，另選擇一枚對(duì)比從彈采用本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法與比例導(dǎo)引，以驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的變系數(shù)比例導(dǎo)引律所存在的優(yōu)勢(shì)。在本節(jié)中，分別仿真了領(lǐng)彈1、領(lǐng)彈2、從彈(采用本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法與變系數(shù)比例導(dǎo)引)、對(duì)比從彈1(采用比例導(dǎo)引與文獻(xiàn)[5]中的視線角速度求解方法)與對(duì)比從彈2(采用本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法與比例導(dǎo)引)。領(lǐng)彈與從彈的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如表1所示，而兩枚對(duì)比從彈的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均與從彈相同。仿真步長(zhǎng)選擇為0.000 5 s，仿真結(jié)果如圖3所示。

表1 導(dǎo)彈初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Tab.1 Initial motion conditions of missiles

圖3(a)展示了5枚導(dǎo)彈的彈道，由圖可知，領(lǐng)彈、從彈與對(duì)比從彈2均可命中目標(biāo)，而對(duì)比從彈1由于未進(jìn)行協(xié)同定位而無(wú)法命中。從彈與對(duì)比從彈的彈目距離如圖3(b)所示，其中從彈、對(duì)比從彈1與對(duì)比從彈2的脫靶量分別為0.5 m、43.5 m與1.3 m. 由圖3(b)可知，采用了協(xié)同定位方法的從彈與對(duì)比從彈2均滿足脫靶量要求，而對(duì)比從彈1由于直接采用低精度慣導(dǎo)導(dǎo)航系統(tǒng)輸出的位置信息進(jìn)行制導(dǎo)，存在較大的脫靶量，且不能滿足對(duì)導(dǎo)彈脫靶量要求，由此證明了協(xié)同定位的必要性以及采用本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法與變系數(shù)比例導(dǎo)引律可實(shí)現(xiàn)無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈的精確命中。圖3(c)展示了從彈在慣性坐標(biāo)系x軸與y軸方向上的定位誤差。由圖3(c)可知，基于本文設(shè)計(jì)的協(xié)同定位方法，從彈在兩個(gè)方向的定位誤差均收斂于0.7 m以內(nèi)。圖3(d)驗(yàn)證了|i-i|在定位誤差的影響下無(wú)法收斂于0，從而導(dǎo)致了圖3(e)中對(duì)比從彈2的終止時(shí)刻過(guò)載指令很大。此外，基于圖3(e)可知，從彈由于采用了本文設(shè)計(jì)的變系數(shù)比例導(dǎo)引律，相比于對(duì)比從彈2具有較小的終止時(shí)刻過(guò)載，且滿足過(guò)載指令限制。

圖3 協(xié)同攻擊仿真結(jié)果Fig.3 Simulated results for cooperative attack

圖4 ki對(duì)制導(dǎo)性能影響Fig.4 Influence of parameter ki on guidance performance

5 結(jié)論

本文基于雙領(lǐng)彈的“領(lǐng)彈-從彈”架構(gòu)與卡爾曼濾波設(shè)計(jì)了一種多導(dǎo)彈協(xié)同定位方法，采用此協(xié)同定位方法設(shè)計(jì)了一種新型的變系數(shù)比例導(dǎo)引律，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。所得主要結(jié)論如下：

1)針對(duì)靜止目標(biāo)，基于多導(dǎo)彈協(xié)同實(shí)現(xiàn)了無(wú)導(dǎo)引頭導(dǎo)彈在考慮定位誤差情況下的精確制導(dǎo)。

2)多導(dǎo)彈協(xié)同定位方法可相對(duì)精確地估計(jì)無(wú)導(dǎo)引頭從彈的位置，從而減小其定位誤差。

3)采用變系數(shù)比例導(dǎo)引律可避免協(xié)同定位方法與比例導(dǎo)引相結(jié)合時(shí)產(chǎn)生極大終止時(shí)刻過(guò)載指令的情況。

4)通過(guò)仿真測(cè)試，驗(yàn)證了所提出的協(xié)同定位和制導(dǎo)方法的必要性與有效性。