王海燕

(長春科技學(xué)院 電子信息科學(xué)與技術(shù)系,長春 130600)

電液伺服系統(tǒng)由于具有控制精度高、輸出功率大、響應(yīng)快等多種優(yōu)點,近幾年來被廣泛應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域中[1-2].然而,由于伺服閥內(nèi)的壓力流動特性[3]和泄漏模型的存在,這些系統(tǒng)具有很高的非線性特性,使得精確輸出跟蹤的控制設(shè)計成為一項非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù).由于PID控制器[3]、輸入/輸出線性化控制器[4]和滑?？刂破?Slide Mode Control,SMC)[5]的簡單性,已被用于液壓伺服系統(tǒng)的控制.然而,這種控制器是基于對象物理模型設(shè)計的,因此需要了解設(shè)備的參數(shù).由于它們對不匹配的擾動和不確定因素非常敏感,從而降低了系統(tǒng)的跟蹤性能.

為了提高控制器的性能,采用了自整定PID控制器[6-7]、非線性自適應(yīng)控制器[8-9]以及改進的SMC等策略,但這些控制策略均是針對系統(tǒng)參數(shù)不確定性進行設(shè)計.在文獻(xiàn)[10-11]中,SMC方法與自適應(yīng)控制器相結(jié)合,實現(xiàn)了系統(tǒng)的不確定非線性、線性不確定參數(shù)的補償,特別是非線性不確定參數(shù),從而構(gòu)造漸近穩(wěn)定的跟蹤.為了驅(qū)動電液執(zhí)行機構(gòu),各種魯棒控制技術(shù),如H2和H∞控制[12-13]被廣泛使用,這種方法能夠補償執(zhí)行器固有的非線性,減少不匹配的外部干擾.自Levant[14]提出以來,高階SMC已被廣泛應(yīng)用于電氣傳動[15]和電液作動器[16]等領(lǐng)域.綜上所述,大多數(shù)成果對電液位置伺服系統(tǒng)的不確定非線性和線性不確定參數(shù)進行了補償,然而采用高階SMC對系統(tǒng)中存在不匹配擾動和非線性不確定性的研究文獻(xiàn)較為罕見.為此,本文針對電液位置伺服系統(tǒng)的特點,設(shè)計了一階SMC和基于反步法的非線性高階SMC,得到了一個非線性滑膜控制面,在存在不確定性和擾動的情況下,可實現(xiàn)參考輸出;進一步設(shè)計了滑膜觀測器,證明了該觀測器的收斂性,對比分析了觀測器輸出結(jié)果與實際輸出結(jié)果之間的偏差.通過仿真表明,本控制算法控制簡單,精度較高,具有良好的動態(tài)特性和位置跟蹤能力.

1 系統(tǒng)建模

電液伺服系統(tǒng)液壓原理如圖1所示.本研究采用閥控雙對稱液壓缸結(jié)構(gòu),假設(shè)伺服閥為理想零開口和零折疊,閥芯徑向間隙泄漏可忽略不計,供油壓力穩(wěn)定,液壓缸兩腔面積相等.

圖1 伺服閥控對稱液壓缸系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of servo valve-controlledsymmetrical hydraulic cylinder system

(1)

式中:x為活塞位移;m為液壓缸和負(fù)載的總質(zhì)量;P1,P2為液壓缸兩腔壓力;A為液壓缸兩腔作用面積;b為阻尼系數(shù);k為負(fù)載彈簧剛度;Δk為負(fù)載系統(tǒng)參數(shù)不確定性.

系統(tǒng)流量方程為

(2)

式中:Vt=V1+V2為液壓缸總體積;Ct為內(nèi)泄漏系數(shù),可表示為控制電壓u的關(guān)系式Ct=a/(1+γ|u|),α和γ為內(nèi)在常數(shù),模擬伺服閥內(nèi)泄漏;βe為油液體積彈性模量.

忽略伺服閥閥芯的動態(tài)特性,將伺服閥閥芯位移與輸出信號的關(guān)系簡化為線性關(guān)系,根據(jù)閥口流量方程,可得伺服閥流量為

(3)

式中:pd=ps-pT為伺服閥壓差,ps,pT分別為供油壓力和回油壓力;k為伺服閥增益.

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量為

(4)

考慮到外界擾動的影響,建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式中:|d(t)|

從系統(tǒng)狀態(tài)方程可以看出,該電液系統(tǒng)為非線性系統(tǒng),且系統(tǒng)中存在非匹配擾動及不確定的變化參數(shù),此外,泄漏模型與系統(tǒng)的非線性控制電壓信號u相關(guān).

基于實際測量數(shù)據(jù),設(shè)置系統(tǒng)仿真參數(shù),如表1所示.

2 SMC

SMC與傳統(tǒng)控制方法相比,具有控制率簡單、對參數(shù)變化及擾動不靈敏、無需系統(tǒng)的在線辨識等優(yōu)點.但是系統(tǒng)對參數(shù)攝動和外部擾動的不變性是以控制量的高頻抖振為代價的.

2.1 一階SMC

針對上述控制模型,采用一階SMC.首先,設(shè)計滑模面,使系統(tǒng)在被約束時漸近穩(wěn)定;其次,設(shè)計開關(guān)控制器,以保證滑模的存在.本文采用反步法設(shè)計滑膜面,定義滑模面為σ(x),當(dāng)系統(tǒng)在滑模面上運動時,有σ(x)=0,此時,x1=p(x),x1可看作是描述滑動面上系統(tǒng)行為的子系統(tǒng)(式(6)～(7))的虛擬控制器.

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置Tab.1 System parameter setting

因此,選擇線性虛擬控制器為

(8)

獲得滑模面方程為

(9)

式中:C2,C3為待定參數(shù).

在滑動模式下,如果忽略不確定度和擾動,則系統(tǒng)是二階線性系統(tǒng),對應(yīng)的特征方程為

(10)

使用極點配置法,在s=-λ配置穩(wěn)定極點,則可獲得C2,C3參數(shù)為

(11)

(12)

式中:W為滑膜增益系數(shù),在擾動和不確定條件下,為了保證系統(tǒng)收斂到滑模面,應(yīng)選擇足夠大的滑動增益.

(13)

進一步,可獲得系統(tǒng)的控制率為

(14)

其中,

(15)

盡管存在攝動d(t)和不確定性Δkl,式(13)中滑動增益W和式(14)中控制率u(x)保證了滑膜運動的收斂性.然而,可以很容易地推斷出系統(tǒng)輸出結(jié)果并未達(dá)到參考輸出,這是因為當(dāng)系統(tǒng)行為被限制在滑動面式(9)運動時,線性虛擬控制器式(8)不能保證對擾動和不確定性的任何魯棒性.

根據(jù)上述分析,為保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,則系統(tǒng)閉環(huán)特征值需滿足：

(16)

此時,由不確定性引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

(17)

同樣,可以證明,由常數(shù)擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

(18)

2.2 高階非線性SMC

為了克服系統(tǒng)中不匹配擾動和非線性不確定,本文提出了一種基于反步法的非線性高階滑膜變結(jié)構(gòu)控制,并采用了魯棒變結(jié)構(gòu)虛擬控制器.

滑膜面的設(shè)計與一階SMC相同.為了保證變結(jié)構(gòu)虛擬控制器對參數(shù)不確定性的魯棒性,進一步設(shè)計高階滑膜面s1(x2,x3),滿足：

(19)

此時,虛擬控制器x1=p(x)可通過求解方程(18)和滑模面方程s(x)=x1-p(x)獲得.當(dāng)系統(tǒng)在滑模面上運動時,s1(x2,x3)=0,此時活塞桿速度和位移的關(guān)系可表示為x2=v(x3),可得

(20)

為了確保x3(t)漸近收斂到x3ref,采用簡單的線性控制v(x3)=-C(x3-x3ref)無法滿足要求,而采用變結(jié)構(gòu)控制可保證系統(tǒng)的收斂性.

本文定義v(x3)的表達(dá)式為

v(x3)=-W3(x3-x3ref)-W2sign(x3-x3ref)

(21)

通過選擇增益W2>dmax和W3>0,設(shè)計如下相應(yīng)的滑模面方程,則可實現(xiàn)x3(t)漸近收斂到x3ref,即

(22)

由于滑模面s1(x2,x3)方程中包含有符號函數(shù),系統(tǒng)在滑模面上為不連續(xù)運動,不可避免地存在抖振,通常采用平滑的飽和函數(shù)代替Signum函數(shù),或者利用Dirac脈沖δ(x),其除了一個孤立的單點外,在任何地方都是零.在孤立不連續(xù)點較少時,δ(x)脈沖函數(shù)不會引起任何問題,因此,基于式(19),將符號函數(shù)替換為δ(x)脈沖函數(shù),可得

(23)

滑模面方程可表示為

(24)

(25)

其中,

(26)

Dirac脈沖δ(x)的導(dǎo)數(shù)為零,滑膜增益W的選擇必須保證在存在不確定性和擾動情況下,系統(tǒng)仍漸進收斂于滑模面,即

(27)

3 滑模觀測器設(shè)計

3.1 觀測器模型

非線性曲面SMC的設(shè)計使用了所有3個狀態(tài)變量.然而,壓差ΔP=x1的測量一般較為復(fù)雜,且必須要考慮泄漏的影響.為避免測量誤差,降低測量物理量,設(shè)計了狀態(tài)觀測器用于估計系統(tǒng)壓差變化,提出基于觀測器的高階非線性滑膜變結(jié)構(gòu)控制策略.

基于反步法,設(shè)計觀測器模型如下:

(28)

(29)

式中:L1,L2,L3分別為觀測器增益.

3.2 收斂性證明

基于觀測器的滑膜變結(jié)構(gòu)控制在擾動和不確定的情況下,實現(xiàn)精確定位的有效性證明如下.

步驟1 狀態(tài)x3收斂性證明.

定義觀測誤差為ei=xi-zi,i=1,2,3,根據(jù)式(7)和式(28),位置誤差導(dǎo)數(shù)可表示為

(30)

進一步,選擇觀測器增益L3滿足如下條件:

(31)

(32)

(33)

結(jié)合式(7)、式(32)和式(33),可推導(dǎo)出位置信號導(dǎo)數(shù),為

(34)

此時,在有限時間內(nèi),可得到x3=x3ref.

步驟2 狀態(tài)x2收斂性證明.

根據(jù)式(7)和式(30),獲得速度誤差導(dǎo)數(shù)為

(35)

同樣,選擇觀測器增益L2滿足如下條件:

(36)

(37)

式(37)表明,觀測器將根據(jù)外部擾動和系統(tǒng)參數(shù)不確定度來估計差壓.

用觀測器變量替代系統(tǒng)壓差狀態(tài)變量,獲得控制器滑模面s表達(dá)式為

(38)

(39)

保證系統(tǒng)收斂性,此時,活塞桿速度x2將逐漸趨近于x2+d.

步驟3 狀態(tài)x1收斂性證明.

壓差誤差微分方程可表示為

(40)

證明完畢.

4 仿真結(jié)果分析

4.1 高階非線性SMC仿真

取λ=50,d(t)=0.1,Δkl=25 000,參考位置輸入信號為x3ref=180 mm,分別采用一階SMC、基于符號函數(shù)的高階非線性SMC、基于脈沖函數(shù)的高階非線性SMC,獲得系統(tǒng)壓差變化、控制電壓變化和位置輸出，分別如圖2～圖4所示.

由圖2～圖4可知:在給定階躍信號后,3種控制方式下系統(tǒng)輸出均向穩(wěn)定狀態(tài)收斂,其達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需時間分別為0.30,0.16和0.12 s,表明基于脈沖函數(shù)的高階非線性SMC收斂速度最快,基于一階SMC收斂速度最慢.此外,基于符號函數(shù)的高階非線性SMC系統(tǒng)的抖振最大,一階SMC其次,這是因為由于系統(tǒng)參數(shù)變化和外部擾動的影響,導(dǎo)致控制信號頻繁地在滑模面上切換,而基于脈沖函數(shù)的高階非線性SMC系統(tǒng)輸出基本上無抖振,表明基于脈沖函數(shù)的高階非線性SMC可有效抑制系統(tǒng)的抖振.在穩(wěn)定狀態(tài)下,高階非線性SMC平均壓差為16 MPa,而一階SMC壓差穩(wěn)定在14 MPa,小于高階非線性SMC壓差.

圖2 SMC壓差變化Fig.2 Differential pressure changes of synovialmembrane controls

圖4 SMC位置變化Fig.4 Position changes of synovial membrane controls

由圖4可知:在穩(wěn)定狀態(tài)下,一階SMC位置輸出為162 mm,其位置輸出誤差超過15 mm,而基于符號函數(shù)的高階非線性SMC位置輸出在178～182 mm之間震蕩,最大位置輸出誤差控制在2 mm以內(nèi),證明了高階非線性SMC的有效性.為進一步降低系統(tǒng)抖振的影響,采用基于脈沖函數(shù)的高階非線性SMC,其位置輸出基本上無抖振,位置輸出為179.6 mm,對應(yīng)誤差為0.4 mm,表明脈沖函數(shù)的使用有助于在不匹配的不確定和微擾的情況下達(dá)到參考值,減少系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象.

4.2 滑膜觀測器仿真

取觀測器增益分別為L1=1 000,L2=100,L3=1.獲得滑膜觀測器下系統(tǒng)輸出響應(yīng)跟蹤結(jié)果如圖5～圖7所示.位移初始狀態(tài)不同,系統(tǒng)的初始位置為0 mm,觀測器的初始位置為5 mm位移.

滑膜觀測器作用下系統(tǒng)速度輸出結(jié)果與觀測結(jié)果基本重合,統(tǒng)計結(jié)果表明,兩者之間誤差為0.1,即z2=x2+d.

由圖7可知:在有限時間內(nèi),位置觀測狀態(tài)結(jié)果與系統(tǒng)輸出結(jié)果均趨向于參考位置輸入,觀測狀態(tài)位置波動比實際系統(tǒng)輸出結(jié)果大,但其均值與系統(tǒng)位置輸出均值相同.狀態(tài)觀測器的3個狀態(tài)輸出結(jié)果與證明結(jié)果一致,表明了滑膜狀態(tài)觀測器的有效性.

圖5 滑膜觀測器作用下系統(tǒng)壓差輸出結(jié)果與觀測結(jié)果Fig.5 System differential pressure output and observationresults with the synovial observer

圖6 滑膜觀測器作用下系統(tǒng)速度輸出結(jié)果與觀測結(jié)果Fig.6 System speed output and observation resultswith the synovial observer

圖7 滑膜觀測器作用下系統(tǒng)位置輸出結(jié)果與觀測結(jié)果Fig.7 System position output result and observation result with the synovial observer

5 結(jié)論

針對電液位置伺服系統(tǒng)中存在不匹配擾動和不確定性參數(shù)的特點,本文提出了基于觀測器的非匹配不確定魯棒非線性高階滑模位置控制方法，并進行了仿真研究.首先,設(shè)計了一階SMC和非線性高階SMC,對比分析了兩種控制器在不匹配擾動和不確定性參數(shù)下的跟蹤性能.其次,采用脈沖函數(shù)替換符號函數(shù),降低了系統(tǒng)的抖振.最后,設(shè)計了滑膜觀測器,用估計值來代替未測量的狀態(tài),進一步的證明表明,從估計狀態(tài)發(fā)出的控制器實現(xiàn)了電液伺服位置的精確跟蹤.