閆夢(mèng)宇，李金海+

1.昆明理工大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)研究中心，昆明 650500

2.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，昆明 650500

1 引言

形式概念分析是德國(guó)數(shù)學(xué)家Wille[1]于1982年提出的，它以形式背景為研究對(duì)象，研究對(duì)象、屬性及其層次關(guān)系的理論，提供了一種與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分析和知識(shí)表示完全不同的方法。目前，形式概念分析在數(shù)據(jù)挖掘[2-3]、信息處理[4]、軟件工程[5-6]、可視化[7-8]、在線分析[9]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

眾所周知，形式背景的屬性分析是形式概念分析理論中的基本問(wèn)題。截止目前，已有許多學(xué)者基于Wille概念格對(duì)屬性分析進(jìn)行了研究。如，張文修等[10]通過(guò)格同構(gòu)思想建立了概念格約簡(jiǎn)理論，利用屬性與約簡(jiǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系將其區(qū)分為三類(lèi)：絕對(duì)必要屬性、相對(duì)必要屬性和絕對(duì)不必要屬性。這種區(qū)分屬性類(lèi)型的思想隨后得到了其他學(xué)者的廣泛重視，原因是它有助于約簡(jiǎn)計(jì)算與數(shù)據(jù)分析。洪文學(xué)等[11]在構(gòu)建偏序結(jié)構(gòu)圖的過(guò)程中，引入了“最大共有屬性”“共有屬性”和“獨(dú)有屬性”等概念，在此基礎(chǔ)上嘗試實(shí)現(xiàn)大規(guī)模數(shù)據(jù)分析。張濤等[12-13]借助所謂的“頂層屬性”“過(guò)渡屬性”“底層屬性”和“伴生屬性”快速計(jì)算Wille概念格，其原理是從屬性視角出發(fā)挖掘數(shù)據(jù)之間的潛在有用結(jié)構(gòu)關(guān)系，并加以充分利用，以避免生成概念的過(guò)程中數(shù)據(jù)被反復(fù)低效訪問(wèn)。

在形式概念分析中，Wille概念格、面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡窬捎糜跀?shù)據(jù)分析。盡管人們對(duì)這些數(shù)據(jù)分析方法有了一定的了解，如Wille概念格是基于屬性和對(duì)象之間的共同擁有關(guān)系提出的，而面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡袷菍⒋植诩碚撝械纳?、下近似思想引入形式背景建立的[14-15]，且面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡裨诩s簡(jiǎn)方面存在密切聯(lián)系[16]。然而，這些數(shù)據(jù)分析方法之間的差異尚不完全清楚。考慮到現(xiàn)有的很多工作已表明屬性分析有助于認(rèn)識(shí)概念層次結(jié)構(gòu)[10-13]，因此從屬性分析角度探討概念格數(shù)據(jù)分析方法的異同是一種可行的做法。

鑒于上述討論，本文基于Wille概念格、面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡穸x了共有屬性（對(duì)象）與獨(dú)有屬性（對(duì)象），并指出Wille概念格可用于共有屬性（對(duì)象）的數(shù)據(jù)分析，而面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡窨捎糜讵?dú)有屬性（對(duì)象）的數(shù)據(jù)分析。在此基礎(chǔ)上，討論了共有屬性（對(duì)象）與獨(dú)有屬性（對(duì)象）的相互關(guān)系，有關(guān)結(jié)果有助于揭示概念格數(shù)據(jù)分析方法之間的異同。

2 共有、獨(dú)有屬性與對(duì)象的概念

一個(gè)形式背景可表示為三元組(U,A,I)，其中U是對(duì)象集，A是屬性集，I是笛卡爾積U×A上的二元關(guān)系。為了方便，記(x,a)∈I表示對(duì)象x擁有屬性a。

本文默認(rèn)所有討論的形式背景均是正則的[10]，即不存在空關(guān)系的行和列，也不存在滿關(guān)系的行和列。

Wille在形式背景(U,A,I)上定義了概念誘導(dǎo)算子：

定義1[1]給定形式背景(U,A,I),對(duì)于X?U，B?A，如果X↑=B且B↓=X，則稱(chēng)序?qū)?(X,B)為形式概念。其中X稱(chēng)為概念的外延，B稱(chēng)為概念的內(nèi)涵。

定義2（共有屬性） 給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，如果a∈A滿足：則稱(chēng)a是對(duì)象集X的共有屬性。為了方便，記對(duì)象集X的所有共有屬性組成的集合為Xg。

類(lèi)似地，可以在形式背景中引入一個(gè)屬性集的共有對(duì)象。不妨記屬性集B的所有共有對(duì)象組成的集合為Bg。

性質(zhì)1給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于對(duì)象集X?U，有Xg=X↑，Bg=B↓。

由性質(zhì)1可知，Wille概念可以理解為是基于共有屬性（對(duì)象）分析構(gòu)建的。

Yao[14]，Düntsch和Gediga[15]在形式背景 (U,A,I)上給出了另外兩種概念誘導(dǎo)算子：

其中，Ia表示與屬性a有關(guān)系的所有對(duì)象，xI表示與對(duì)象x有關(guān)系的所有屬性。由于本文討論的形式背景均是正則的，因此Ia和xI都是非空的。

更多有關(guān)以上三種概念誘導(dǎo)算子的討論可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]，在此不再贅述。

定義3[14]給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，B?A，如果X□=B且B◇=X，則稱(chēng)序?qū)?X,B)為面向?qū)ο蟾拍?。其中X稱(chēng)為面向?qū)ο蟾拍畹耐庋?，B稱(chēng)為面向?qū)ο蟾拍畹膬?nèi)涵。

定義4（獨(dú)有屬性）給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于對(duì)象集X?U，如果a∈A滿足：存在x∈X,(x,a)∈I，且不存在，則稱(chēng)a是對(duì)象集X的獨(dú)有屬性。為了方便，記對(duì)象集X的所有獨(dú)有屬性組成的集合為Xd。

類(lèi)似地，可以在形式背景中引入一個(gè)屬性集的獨(dú)有對(duì)象。不妨記屬性集B的所有獨(dú)有對(duì)象組成的集合為Bd。

性質(zhì)2給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，B?A，有。

證明對(duì)于任意a∈Xd，由定義4可知，存在x∈X使得 (x,a)∈I，且不存在使得 (y,a)∈I。因此，與屬性a有關(guān)系的對(duì)象都來(lái)自于對(duì)象集X，故有Ia?X，即a∈X□。

反之，對(duì)于任意a∈X□，有Ia?X成立，故不存在使得 (y,a)∈I。另一方面，由于Ia非空，且Ia?X，存在x∈X使得(x,a)∈I。因此，a∈Xd。

綜上可得，Xd=X□。

由性質(zhì)2可知，面向?qū)ο蟾拍羁梢岳斫鉃槭腔讵?dú)有屬性（對(duì)象）分析構(gòu)建的。

定義5[15]給定形式背景 (U,A,I)，對(duì)于X?U，B?A，如果X◇=B且B□=X，則稱(chēng)序?qū)?X,B)為面向?qū)傩愿拍睢Ｆ渲蠿稱(chēng)為面向?qū)傩愿拍畹耐庋?，B稱(chēng)為面向?qū)傩愿拍畹膬?nèi)涵。

性質(zhì)3給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，B?A，有。

性質(zhì)3可類(lèi)似于性質(zhì)2進(jìn)行證明，在此省略。

由性質(zhì)3可知，面向?qū)傩愿拍钜部梢岳斫鉃槭腔讵?dú)有屬性（對(duì)象）分析構(gòu)建的。

3 共有、獨(dú)有屬性與對(duì)象的性質(zhì)

性質(zhì)4設(shè)(U,A,I)為形式背景，任意X,X1,X2?U，B,B1,B2?A，則共有屬性與對(duì)象有以下性質(zhì)：

證明由性質(zhì)1，再結(jié)合Wille概念格的性質(zhì)，即可得證。

性質(zhì)5設(shè)(U,A,I)為形式背景，任意X,X1,X2?U，B,B1,B2?A，則獨(dú)有屬性與對(duì)象有以下性質(zhì)：

證明只證（1）、（2）、（3）、（4），其余性質(zhì)可類(lèi)似得到。

（1）由性質(zhì)2可知：

又因?yàn)椋?/p>

因此，Ia?X2。從而，。

（2）由性質(zhì)2可得：

又因?yàn)椋?/p>

（3）由性質(zhì)2和性質(zhì)3可知：

（4）由性質(zhì)2可知：

則對(duì)任意b∈B，Ib中的對(duì)象一定擁有屬性b，故對(duì)任意x∈Ib有：

3.3.2 其他個(gè)體因素 除性別外，有研究發(fā)現(xiàn)年齡、職業(yè)和文化程度等對(duì)配偶間HIV傳播也會(huì)產(chǎn)生影響［20，27］。

4 概念格共有與獨(dú)有屬性（對(duì)象）的關(guān)系

本章針對(duì)命題：共有屬性（對(duì)象）是獨(dú)有屬性（對(duì)象），討論其充分性、必要性以及充分必要性是否成立。

4.1 命題充分條件不成立

性質(zhì)6給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，如果a∈Xg，則a∈Xd不成立。

證明注意到a∈Xg，只是下列條件成立：

而a∈Xd則要求滿足：

存在x∈X,(x,a)∈I,且不存在顯然不存在使得(x,a)∈I這個(gè)條件未必成立，命題得證。 □

性質(zhì)7給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于B?A，如果a∈Bg，則a∈Bd不成立。

性質(zhì)7可類(lèi)似于性質(zhì)6證得，在此省略。

下面，通過(guò)一個(gè)實(shí)例表明性質(zhì)6和性質(zhì)7的存在性，以方便理解。

例1表1是一個(gè)形式背景，其中對(duì)象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8分別代表學(xué)生甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，屬性是有關(guān)研究生考試面試環(huán)節(jié)的各項(xiàng)要求，其中a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8分別代表四級(jí)通過(guò)、六級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀、愿意繼續(xù)讀博、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)。對(duì)象xi(i=1,2,…,8)擁有屬性aj(j=1,2,…,8)在表中對(duì)應(yīng)交叉位置標(biāo)記為1，對(duì)象不擁有屬性在表中對(duì)應(yīng)交叉位置標(biāo)記為0。

Table 1 Formal context(U,A,I)表1 形式背景(U,A,I)

由表1，易計(jì)算得到：

設(shè)X={x3,x4,x5}，Xg={a3,a6,a7,a8}表示學(xué)生丙丁戊的共有屬性為計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)；但Xd={a4,a6}表示學(xué)生丙丁戊的獨(dú)有屬性為本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀和心態(tài)平和。屬性計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)雖然是學(xué)生丙丁戊共同擁有，但是從表1中可以看出學(xué)生乙己庚辛也擁有屬性計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)；學(xué)生甲庚辛也擁有屬性有特長(zhǎng)；學(xué)生甲己庚辛也擁有屬性適應(yīng)能力強(qiáng)；因此計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)不是學(xué)生丙丁戊的獨(dú)有屬性。綜上可知共有屬性未必是獨(dú)有屬性。

設(shè)B={a1,a3,a6,a7,a8}，Bg={x3,x4}表示屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的共有對(duì)象為學(xué)生丙??；但是Bd={x3,x8}表示屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的獨(dú)有對(duì)象為學(xué)生丙辛。學(xué)生丁雖然擁有屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)，但其還擁有屬性本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀，因此學(xué)生丁并不是屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的獨(dú)有對(duì)象。綜上可知，共有對(duì)象也未必是獨(dú)有對(duì)象。

4.2 命題必要條件不成立

性質(zhì)8給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于X?U，如果a∈Xd，則a∈Xg不成立。

證明注意到a∈Xd，只是下列條件成立：

存在x∈X,(x,a)∈I，且不存在而a∈Xg則要求滿足：

比較上述條件，易知獨(dú)有屬性不一定就是共有屬性，因?yàn)楠?dú)有屬性是X擁有而不擁有的屬性，而共有屬性是X擁有同時(shí)也可以擁有的屬性。

性質(zhì)9給定形式背景(U,A,I)，對(duì)于B?A，如果a∈Bd，則a∈Bg不成立。

性質(zhì)9可類(lèi)似于性質(zhì)8證得，在此省略。

下面，通過(guò)一個(gè)實(shí)例表明性質(zhì)8和性質(zhì)9的存在性，以方便理解。

例2繼續(xù)以表1為分析對(duì)象進(jìn)行討論。設(shè)X={x3,x4,x5}，那么Xd={a4,a6}表示學(xué)生丙丁戊的獨(dú)有屬性為本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀和心態(tài)平和；但Xg={a3,a6,a7,a8}表示學(xué)生丙丁戊的共有屬性為計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)。屬性本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀因?yàn)橹槐粚W(xué)生丁擁有，學(xué)生丙戊并不擁有此屬性，因此屬性本科學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀不是學(xué)生丙丁戊的共有屬性。綜上可知，獨(dú)有屬性未必是共有屬性。

設(shè)B={a1,a3,a6,a7,a8}，Bd={x3,x8}表示屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的獨(dú)有對(duì)象為學(xué)生丙辛；但Bg={x3,x4}表示屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的共有對(duì)象為丙丁。學(xué)生辛是屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的獨(dú)有對(duì)象，但其并不擁有屬性集B中的心態(tài)平和屬性，因此學(xué)生辛不是屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)、心態(tài)平和、有特長(zhǎng)和適應(yīng)能力強(qiáng)的共有對(duì)象。綜上可知，獨(dú)有對(duì)象也未必是共有對(duì)象。

4.3 命題充要條件成立的附加條件

通過(guò)上述討論可知，命題“共有屬性（對(duì)象）是獨(dú)有屬性（對(duì)象）”的充分條件和必要條件均不成立。因此，給出該命題充要條件成立的附加條件，是非常有意義的。

定理1（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，且滿足：

則Xg=Xd=B。

證明已知：

故：

另一方面，對(duì)于任意a∈B，由于(U,A,I)是正則的，因此存在x0∈X使得(x0,a)∈I，再結(jié)合：

反之，對(duì)于任意的a∈Xd，如果a?B，那么，根據(jù)：

可得 ?x∈X,(x,a)?I，這與存在x∈X使得 (x,a)∈I矛盾，因此假設(shè)不成立，原命題a∈B正確，故：

綜上可得，Xd=B，因此Xg=Xd=B。 □

定理2（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，且滿足：

則Bg=Bd=X。

定理2可類(lèi)似于定理1證得，在此省略。

下面，通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明上述兩個(gè)定理，以方便理解。

例3表2是一個(gè)形式背景(U,A,I1)，其中對(duì)象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8與例1相同，屬性a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8也與例1相同，但是對(duì)象和屬性之間的關(guān)系I1與例1不同，具體見(jiàn)表2。

由表2，易計(jì)算得到：

根據(jù)定理1，令X={x1,x3,x4,x5}，由表2可以看出X滿足定理1，那么Xg={a1,a3,a6}表示學(xué)生甲丙丁戊共有屬性為四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和，可以看出屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和只有學(xué)生甲丙丁戊擁有，而其他學(xué)生不擁有；Xd={a1,a3,a6}表示只有甲丙丁戊擁有屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和，滿足Xg=Xd，即共有屬性是獨(dú)有屬性；同樣可以得到獨(dú)有屬性是共有屬性?？傊?，此處共有屬性即獨(dú)有屬性，獨(dú)有屬性也是共有屬性。同理，對(duì)于Xg=B={a1,a3,a6}，Bg=Bd={x1,x3,x4,x5}也滿足定理2，因此可得共有對(duì)象即獨(dú)有對(duì)象，獨(dú)有對(duì)象也是共有對(duì)象。綜上所述，滿足定理1可以得到命題的充要條件成立。

Table 2 Formal context(U,A,I1)表2 形式背景(U,A,I1)

根據(jù)定理2，令B={a1,a3,a6}，由表2可以看出B滿足定理2，那么Bg={x1,x3,x4,x5}表示共同擁有屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和的學(xué)生是甲丙丁戊，可以看出學(xué)生甲丙丁戊只擁有屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和，而不擁有其他屬性；Bd={x1,x3,x4,x5}表示只擁有屬性四級(jí)通過(guò)、計(jì)算機(jī)二級(jí)通過(guò)和心態(tài)平和的學(xué)生為甲丙丁戊，滿足Bg=Bd，即共有對(duì)象即獨(dú)有對(duì)象；同樣的，也可以得到獨(dú)有對(duì)象是共有對(duì)象。總之，這里共有對(duì)象即獨(dú)有對(duì)象，獨(dú)有對(duì)象也是共有對(duì)象。同理，對(duì)于X={x1,x3,x4,x5},Xg=Xd={a1,a3,a6}，也滿足定理1，因此可以得到共有屬性即獨(dú)有屬性，獨(dú)有屬性也是共有屬性。綜上所述，滿足定理2可以得到命題的充要條件成立。

由上述討論可得：共有屬性是獨(dú)有屬性的充要條件，與共有對(duì)象是獨(dú)有對(duì)象的充要條件是完全相同的，即下列定理成立。

定理3（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，則共有屬性是獨(dú)有屬性的充要條件，以及共有對(duì)象是獨(dú)有對(duì)象的充要條件均為：

實(shí)際上，上述三個(gè)約束條件的直觀意義非常明確。具體地，第一個(gè)表示X×B區(qū)域均是數(shù)字“1”填充，第二個(gè)表示X×B區(qū)域之外不再增加列方向的數(shù)字“1”，第三個(gè)表示X×B區(qū)域之外不再增加行方向的數(shù)字“1”。換言之，X×B區(qū)域相對(duì)于數(shù)字“1”填充問(wèn)題是不可擴(kuò)充的。

4.4 命題充要條件下的性質(zhì)

性質(zhì)10給定形式背景(U,A,I)，若存在X?U滿足Xg=Xd，則不存在X1?X（或X1?X）使得；類(lèi)似地，若存在B?A滿足Bg=Bd，則不存在B1?B（或B1?B）使得。

證明如果Xg=Xd=B，下證不存在X1?X（或X1?X）使得：

（1）假設(shè)存在X1?X，滿足，則：

（2）假設(shè)存在X1?X，滿足，則：

由定理1條件可知，此時(shí)不滿足Xg=Xd=B，與假設(shè)矛盾，所以原命題正確。

同理可證：若存在B?A滿足Bg=Bd，則不存在B1?B（或B1?B）使得。 □

由性質(zhì)10可知，在一個(gè)形式背景中若存在對(duì)象集X和屬性集B滿足Xg=Xd或Bg=Bd，那么在概念序關(guān)系意義下，此對(duì)象集X和屬性集B是唯一的。換言之，在形式背景中若存在對(duì)象集X和屬性集B滿足Xg=Xd或Bg=Bd，那么不可能存在其真子集或者覆蓋集也滿足共有即獨(dú)有。

下面，通過(guò)一個(gè)實(shí)例說(shuō)明性質(zhì)10，以方便理解。

例4表3是一個(gè)形式背景(U,A,I2)，其中對(duì)象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8與例1相同，屬性a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8也與例1相同，但是對(duì)象和屬性之間的關(guān)系I2與例1不同，具體見(jiàn)表3。

Table 3 Formal context(U,A,I2)表3 形式背景(U,A,I2)

由表3，易計(jì)算得到：

通過(guò)表3以及定理3可得：

（1）當(dāng)X={x1,x2,x3}時(shí)，Xg=Xd={a1,a2,a3}；當(dāng)X={x4,x5,x6}時(shí) ，Xg=Xd={a4,a5,a6}；當(dāng)X={x7,x8}時(shí) ，Xg=Xd={a7,a8}。顯然三個(gè)對(duì)象集之間無(wú)序關(guān)系。

（2）當(dāng)B={a1,a2,a3}時(shí)，Bg=Bd={x1,x2,x3}；當(dāng)B={a4,a5,a6}時(shí)，Bg=Bd={x4,x5,x6}；當(dāng)B={a7,a8}，Bg=Bd={x7,x8}。顯然這三個(gè)屬性集之間也無(wú)序關(guān)系。

對(duì)于上述三個(gè)對(duì)象集，以其中一個(gè)X={x1,x2,x3}為例，需要分兩種情況進(jìn)行分析；第一種情況是對(duì)其真子集逐一分析；第二種情況是對(duì)其覆蓋集逐一分析。這里只分析每種情況下的一個(gè)集合，其余可類(lèi)似得出。當(dāng)X1={x1,x2}，顯然X1?X，此時(shí)，但，因此；當(dāng)X1={x1,x2,x3,x4}時(shí)，顯然X1?X，此時(shí)，但，因此。

對(duì)于上述三個(gè)屬性集，以B={a1,a2,a3}為例，同理需要分兩種情況考慮，這里只分析每種情況下的一個(gè)集合。當(dāng)B1={a1,a2}時(shí)，顯然B1?B，此時(shí)，但，因此；當(dāng)B1={a1,a2,a3,a4}時(shí)，此時(shí)，但，因此。

此外，可以繼續(xù)討論表3中的形式概念、面向?qū)ο蟾拍钜约懊嫦驅(qū)傩愿拍睢８鶕?jù)定義1、定義3和定義 5可知，形式概念為 (x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。面向?qū)ο蟾拍顬?(x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。面向?qū)傩愿拍顬?(x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。因此可以得出形式概念、面向?qū)ο蟾拍詈兔嫦驅(qū)傩愿拍钍峭耆嗤摹?/p>

最后，需要指出的是，從概念認(rèn)知角度而言，當(dāng)充要條件成立時(shí)，共有屬性（對(duì)象）與獨(dú)有屬性（對(duì)象）的概念認(rèn)知趨同，即既是共有屬性（對(duì)象）又是獨(dú)有屬性（對(duì)象）的概念會(huì)產(chǎn)生完全相同的認(rèn)知結(jié)果。而且，例4進(jìn)一步表明，在特定的數(shù)據(jù)環(huán)境下，這兩種概念認(rèn)知層次結(jié)構(gòu)也完全相同（不考慮空概念和滿概念）。該結(jié)論對(duì)于基于共有屬性（對(duì)象）和獨(dú)有屬性（對(duì)象）的概念認(rèn)知研究是有參考意義的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了概念格共有屬性（對(duì)象）和獨(dú)有屬性（對(duì)象）之間的關(guān)系。具體地，在Wille概念格、面向?qū)ο蟾拍罡褚约懊嫦驅(qū)傩愿拍罡竦幕A(chǔ)上，引入了共有屬性、共有對(duì)象、獨(dú)有屬性、獨(dú)有對(duì)象等概念，并圍繞共有屬性（對(duì)象）是否是獨(dú)有屬性（對(duì)象）展開(kāi)了詳細(xì)討論，得到了一些有用的性質(zhì)。

從屬性類(lèi)型的角度而言，面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡駭?shù)據(jù)分析方法事實(shí)上是等價(jià)的。因此，Wille概念格、面向?qū)ο蟾拍罡窈兔嫦驅(qū)傩愿拍罡袷莾煞N類(lèi)型的數(shù)據(jù)分析方法。同時(shí)，本文的性質(zhì)表明，這兩種數(shù)據(jù)分析方法雖然是迥異的，但是在某些特定條件時(shí)，它們也可以是等價(jià)的。

今后，可以繼續(xù)探討基于共有屬性（對(duì)象）和獨(dú)有屬性（對(duì)象）建立更加一般的概念格數(shù)據(jù)分析方法，即基于概念誘導(dǎo)算子Bg、Xg、Bd、Xd，直接構(gòu)建對(duì)象冪集與屬性冪集之間的伽羅瓦連接，得到廣義的概念格數(shù)據(jù)分析方法。這將是一個(gè)非常有前景的研究方向，因?yàn)檫@些概念誘導(dǎo)算子的認(rèn)知語(yǔ)義是非常明確的，有助于概念認(rèn)知學(xué)習(xí)的研究與發(fā)展[18]。