吳玲芳

一、反比例函數(shù)圖像的增減性

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，分布在兩個(gè)不同的象限。當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。它的增減性與一次函數(shù)不同，反比例函數(shù)的增減性必須強(qiáng)調(diào)“在哪個(gè)象限內(nèi)”。

例1 在函數(shù)y=[-a2-1x]（a為常數(shù)）的圖像上有三點(diǎn)（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），則函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系是。

【解析】因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=[-a2-1x]的比例系數(shù)含有字母，不能直接求縱坐標(biāo)，所以只能利用函數(shù)的增減性。

解：由-a2-1<0（a為常數(shù)），可知函數(shù)y=[-a2-1x]的圖像分布在第二、四象限。畫(huà)出簡(jiǎn)圖，如圖1，由圖像可知y3<0，y2>y1>0，所以y3

【點(diǎn)評(píng)】本題不能用代數(shù)方法計(jì)算求出y1、y2、y3的準(zhǔn)確值，只能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)的增減性來(lái)求解。通過(guò)觀察圖像，比較縱坐標(biāo)的大小即可。

二、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義

反比例函數(shù)的比例系數(shù)k決定函數(shù)圖像分布的象限。過(guò)反比例函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，向坐標(biāo)軸引垂線，垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是[k]。過(guò)反比例函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是[k2]。已知圖形的面積，求k的值時(shí)，由于面積非負(fù)，必須根據(jù)雙曲線所在的象限，確定k的符號(hào)。

例2 如圖2，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=[kx]圖像上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，連接OA，若△ABO的面積為4，則k=。

【解析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式和“設(shè)而不求”法。

解：（方法一）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則ab=k?！鰽BO的面積=[12]×AB×BO=4。

所以[12]（-a）·b=4，化簡(jiǎn)得ab=-8，即k=-8。

（方法二）直接利用k的幾何意義。由三角形的面積為4，得知[k2]=4，即[k]=8。由于圖像分布在第二、四象限，則k<0，所以k=-8。

【點(diǎn)評(píng)】本題是填空題，不需要寫(xiě)過(guò)程，可以直接利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答，再根據(jù)圖像所在的象限，確定k的符號(hào)，數(shù)形結(jié)合，快速便捷。如果是解答題，則按照方法一寫(xiě)過(guò)程。

三、反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性

反比例函數(shù)圖像是中心對(duì)稱圖形，正比例函數(shù)圖像也是中心對(duì)稱圖形，因此兩個(gè)圖像組成的整體也是中心對(duì)稱圖形。它們的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。利用這樣的特殊性質(zhì)可以幫助我們快速解決有關(guān)反比例函數(shù)的問(wèn)題。

例3 已知直線y=kx（k>0）與雙曲線y=[3x]交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則x1y2+x2y1的值為（）。

A.-6B.-9C.0D.9

【解析】運(yùn)用反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性與整體思想即可求解。

解：由點(diǎn)A（x1，y1）在雙曲線y=[3x]上，可知x1y1=3，易知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則x1=-x2，y1=-y2。因此x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=

-3-3=-6。故選：A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的對(duì)稱性。根據(jù)反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出x1=-x2，y1=-y2是解答此題的關(guān)鍵。把x1y1看成整體，利用整體思想求解。

四、反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)乘積是定值k。當(dāng)已知條件中給出了某不規(guī)則圖形的面積，通常設(shè)出某個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圖形特點(diǎn)和反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，表示出其他未知點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知圖形的面積建立方程，求出k。所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然也是未知字母，但并不真正參與最后的計(jì)算，只是“設(shè)而不求”。

例4 如圖3，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=[kx]（x>0）與AB相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)E，若BD=3AD，且△ODE的面積是12，則k=。

【解析】利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，“設(shè)而不求”。

解：由四邊形OCBA是矩形，可知AB=OC，OA=BC。設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），ab=k，根據(jù)BD=3AD，可知B（4a，b）。因?yàn)镋在反比例函數(shù)的圖像上，所以E的坐標(biāo)為（4a，[b4]）?！逽△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=4ab-[12k]-[12k]-[12]·3a·（b-[b4]）=12，∴4k-k-[3ab2]+[3ab8]=12，即4k-k-[3k2]+[3k8]=12，∴k=[325]。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)設(shè)圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系、圖形特點(diǎn)以及反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)乘積等于k，表示出B和E的坐標(biāo)，然后用長(zhǎng)方形面積減去3個(gè)直角三角形的面積來(lái)表示△ODE的面積。此時(shí)，△AOD和△OCE的面積可以利用k的幾何意義直接表示，得到有關(guān)k的方程，求出k。這里設(shè)的坐標(biāo)a和b，也是“設(shè)而不求”，它們的乘積可看作整體。

五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

例5 如圖4，一次函數(shù)y=k1x+b的圖像與反比例函數(shù)y=[k2x]的圖像相交于A（2，3），B（6，1）兩點(diǎn)，當(dāng)k1x+b<[k2x]時(shí)，x的取值范圍為（）。

A.x<2 B.2

C.x>6 D.06

【解析】本題要根據(jù)函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求不等式的解集。

求不等式k1x+b<[k2x]的解集，其實(shí)就是求當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時(shí)，自變量的取值范圍。從圖像上看，當(dāng)k1x+b<[k2x]時(shí)，即為一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方。由圖可知，在點(diǎn)A的左側(cè)、y軸右側(cè)這部分圖像以及B點(diǎn)的右側(cè)的圖像，都是滿足的。所以x的取值范圍為06。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】如果利用待定系數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，再代入不等式，化簡(jiǎn)后為一元二次不等式，超出了同學(xué)們目前的知識(shí)水平。而從圖像出發(fā)，根據(jù)圖像來(lái)求解，則問(wèn)題便迎刃而解。一般先找到交點(diǎn)，相交時(shí)屬于臨界狀態(tài)，兩個(gè)函數(shù)值相等。然后在交點(diǎn)的兩側(cè)觀察圖像，根據(jù)大小關(guān)系，觀察兩個(gè)圖像的上下相對(duì)位置，從而得出橫坐標(biāo)的范圍，即為x的范圍。注意雙曲線有兩支，必須考慮全面，不能漏解。本題看似是求不等式解集，實(shí)則求自變量的取值范圍，在圖像上即為求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，利用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省常州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）