陸詩敏，金朝永 *，羅俊玉

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

伴隨著科學(xué)技術(shù)和工業(yè)生產(chǎn)的進(jìn)步，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究得到迅速發(fā)展，與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)式控制系統(tǒng)相比，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有信息資源共享、遠(yuǎn)程操作和靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，如過程控制系統(tǒng)、遠(yuǎn)程醫(yī)療、建筑自動(dòng)化、高速列車控制、航空及航天、電機(jī)自動(dòng)控制、機(jī)器人系統(tǒng)等領(lǐng)域［1-4］，但同時(shí)也帶來新的問題和挑戰(zhàn)，比如網(wǎng)絡(luò)傳輸帶寬的有限性、數(shù)據(jù)丟包、網(wǎng)絡(luò)誘發(fā)的傳輸時(shí)滯、數(shù)據(jù)錯(cuò)序、誤碼等，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定，而由于對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的更高性能、更高安全性和可靠性標(biāo)準(zhǔn)的需求不斷增長，越來越多學(xué)者開始在控制領(lǐng)域中研究故障檢測(cè)與隔離技術(shù)問題［5-7］。

文獻(xiàn)［8-9］將兩個(gè)通道的數(shù)據(jù)丟包建模成相互獨(dú)立的伯努利白噪聲序列，研究離散網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基于觀測(cè)器的故障檢測(cè)問題。文獻(xiàn)［10-11］研究一類帶有時(shí)滯的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，協(xié)同設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器和控制器。上述文獻(xiàn)只研究了故障檢測(cè)濾波器的設(shè)計(jì)，這是一種開環(huán)設(shè)計(jì)問題。然而，在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，由于控制元件受環(huán)境或本身物理特性的影響，控制器參數(shù)的微小攝動(dòng)都有可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，這就要求把控制器的影響考慮進(jìn)去，協(xié)同設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器和控制器是不可缺少的。另一方面，現(xiàn)有的大多數(shù)文獻(xiàn)都是關(guān)于線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，而帶有一些約束條件且非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的故障檢測(cè)方法卻很少，常用方法有：1）采用T-S模糊模型將非線性系統(tǒng)通過一系列局部線性系統(tǒng)逼近［12］；2）利用魯棒H∞控制理論將非線性問題轉(zhuǎn)化為帶有約束的線性不等式優(yōu)化問題。

本文針對(duì)一類具有扇區(qū)非線性的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，協(xié)同設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器和控制器。通過將基于觀測(cè)器的故障檢測(cè)濾波器作為殘差生成器，基于李雅普諾夫方法，給出并證明誤差系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定且具有H∞性能的充分條件。將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的控制器和故障檢測(cè)濾波器的參數(shù)求解轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的凸優(yōu)化問題，以確保殘差和故障估計(jì)誤差盡可能小。

1 問題描述

考慮如下一類扇區(qū)非線性的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

其中，x（k）∈Rn為狀態(tài)向量；u（k）∈Rm為控制輸入向量；d1（k）∈l2［0，∞）為擾動(dòng)輸入；f（k）∈Rl為待檢測(cè)的故障；φ（k）為給定的初始條件；g（x（k））為關(guān)于狀態(tài)變量的非線性函數(shù)；A，B，N1，D1，F(xiàn)為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；非線性向量函數(shù)g（·）滿足初始條件g（0）=0且滿足扇區(qū)有界條件

其中，S1，S2∈Rn×n是已知實(shí)數(shù)常值矩陣，S=S1-S2是對(duì)稱正定矩陣。

注1 式（2）給出的扇形非線性是文獻(xiàn)［7］研究的Lipschitz非線性的一般形式。

網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中測(cè)量隨機(jī)丟包的過程可描述為

其中，y（k）∈RP為測(cè)量輸出向量；d2（k）∈l2［0，∞）為測(cè)量噪聲；C和D2為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；α（k）為傳感器到控制器通道上的隨機(jī)丟包情況，當(dāng)α（k）=1時(shí)，無數(shù)據(jù)丟失，當(dāng)α（k）=0時(shí)，數(shù)據(jù)全部丟失，隨機(jī)變量α（k）∈R為滿足Bernoulli 0-1序列分布的白噪聲系列，有

對(duì)于離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下基于觀測(cè)器的故障濾波器

定義如下的狀態(tài)估計(jì)誤差和殘差誤差信號(hào)

將式（1）、（3）、（7）、（8）代入式（12），得閉環(huán)控制系統(tǒng)的表達(dá)式為

其中

為推導(dǎo)出主要結(jié)論，引入如下定義和引理：

定義 1 對(duì)于系統(tǒng)（13），當(dāng) ω（k）=0時(shí)，存在 ρ＞0和 τ∈（0，1）使得

則稱系統(tǒng)為均方意義下指數(shù)穩(wěn)定。

本文通過以下規(guī)則來判斷系統(tǒng)是否有故障

引理 1［14］假設(shè) g（·）是一個(gè)向量值非線性函數(shù)，S1，S2∈Rn×n是已知實(shí)數(shù)常值矩陣，若

則

2 故障檢測(cè)濾波器和控制器協(xié)同設(shè)計(jì)

2.1 H∞性能分析

證明 定義如下形式的Lyapunov函數(shù)

由式（2）及引理1得

根據(jù)引理2，如果存在正定對(duì)稱矩陣P＞0和Q＞0，存在非負(fù)的標(biāo)量τ1，τ2，使得

由于式（19）中同時(shí)存在 P，P-1，Q，Q-1，因此式（18）不是線性矩陣不等式。定義

對(duì)式（19）分別左乘矩陣ΛT和右乘矩陣Λ，得到線性矩陣不等式（14），則

因此當(dāng)w（k）=0時(shí)，系統(tǒng)（13）是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

現(xiàn)在分析閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞性能指標(biāo)。

當(dāng) w（k）≠0時(shí)，有

由式（2）及引理1得

根據(jù)引理2，如果存在正定對(duì)稱矩陣P＞0和Q＞0，存在非負(fù)的標(biāo)量τ1，τ2，使得

由于式（23）中同時(shí)存在 P，P-1，Q，Q-1，因此式（22）不是線性矩陣不等式。定義

對(duì)式（23）分別左乘矩陣ΞT和右乘矩陣Ξ，得到線性矩陣不等式（15），則

從0到∞累加后，即可得到

由閉環(huán)系統(tǒng)（13）是均方指數(shù)穩(wěn)定的及θ（0）=0時(shí)，可得到

這說明系統(tǒng)（13）具有H∞性能指標(biāo)。

假設(shè) 1［16］B 是滿列秩矩陣，rank（B）=m 存在兩個(gè)正交矩陣 U∈Rn×n和 W∈Rn×n，使得

其中，U1∈Rm×n，U2∈R(n-m)×n和Σ=diag｛σ1，σ2，…，σm｝，σi（i=1，2，…，m）是B的非零奇異值。

引理3 B∈Rn×m是滿列秩矩陣,如果矩陣P滿足

其中，P11∈Rm×n＞0，P22∈R(n-m)×(n-m)＞0。U1，U2與假設(shè) 1 的 U1，U2相同，則存在一個(gè)非奇異矩陣 P1∈Rm×n，s.t.BP1=PB。

則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（14）是均方指數(shù)穩(wěn)定的，且當(dāng)w（k）≠0時(shí)，系統(tǒng)（14）具有H∞性能指標(biāo)。

注2在閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（14）滿足性能指標(biāo)下，建立如下最優(yōu)化問題

3 實(shí)例仿真

在本節(jié)中，將給出一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證故障檢測(cè)與控制器協(xié)同設(shè)計(jì)方法的有效性。

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 x（0）=［0 0］T，采樣周期 T=1 s。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)

圖2 狀態(tài)估計(jì)誤差

圖3 殘差信號(hào)

圖4 殘差評(píng)價(jià)函數(shù)

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類扇區(qū)非線性的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，協(xié)同設(shè)計(jì)了基于觀測(cè)器的故障檢測(cè)濾波器和控制器參數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用過程中考慮了控制器的影響，并證明了該系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定，且達(dá)到魯棒干擾抑制水平。仿真算例說明了在有外部干擾的情況下，設(shè)計(jì)的魯棒故障檢測(cè)濾波器具有優(yōu)異的性能。