邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

最速降線問(wèn)題[1-6]是變分法起源的一個(gè)古典問(wèn)題.在解決最速降線問(wèn)題的過(guò)程中，人們只關(guān)注最速降線問(wèn)題的必要條件，而沒(méi)有考慮其充分條件.文獻(xiàn)[2-4]研究了一般變分泛函臨界點(diǎn)為泛函最小值點(diǎn)的充分條件，雖然給出了相當(dāng)復(fù)雜的理論方法，但是都沒(méi)有直接證明最速降線問(wèn)題的充分條件.筆者擬在文獻(xiàn)[7-12]的基礎(chǔ)上，給出泛函臨界點(diǎn)為泛函最小值點(diǎn)的簡(jiǎn)潔證明和泛函臨界點(diǎn)的唯一性的證明，對(duì)最速降線問(wèn)題作出完善的解答.

1 最速降線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函的最小值問(wèn)題

最速降線問(wèn)題描述如下：在一鉛直平面上，給定不在同一鉛直直線上的兩點(diǎn)A,B.在重力作用下，一質(zhì)點(diǎn)沿著過(guò)A,B兩點(diǎn)的光滑軌道L下滑，下滑的軌道L不同，質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)所需的滑動(dòng)時(shí)間T也就不同.問(wèn)當(dāng)L是什么曲線時(shí)，所需的滑動(dòng)時(shí)間T最短？具體到坐標(biāo)系中，最速降線問(wèn)題的描述如下：建立xoy坐標(biāo)系，ox軸正向水平向右，oy軸正向豎直向下，將o點(diǎn)設(shè)在A點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)，a,b>0.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿某曲線y=y(x)由點(diǎn)o(0,0)無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)(a,b)，問(wèn)當(dāng)y=y(x)是什么曲線時(shí)，所需的滑動(dòng)時(shí)間T最短？

質(zhì)點(diǎn)沿曲線y=y(x)由點(diǎn)o(0,0)無(wú)摩擦地滑動(dòng)到點(diǎn)(a,b)，所需的時(shí)間是

2 泛函在某函數(shù)處有最小值的必要條件

從而

(1)

經(jīng)過(guò)分部積分，得到

(2)

(1)式就是泛函T(u)在y處有最小值的必要條件，顯然(1)式與(2)式是等價(jià)的.

(3)

(3)式可化簡(jiǎn)成y(1+(y′)2)=c2(c為常數(shù))，由此得到

其中常數(shù)k可由另一條件“當(dāng)x=a時(shí)y=b”來(lái)確定.

顯然，最速降線為擺線的一部分[1-6].至此，泛函臨界點(diǎn)的存在性得證，但這只是泛函有最小值的必要條件.

3 泛函臨界點(diǎn)為泛函最小值點(diǎn)的充分條件的證明

對(duì)于y+εv∈M，有

4 泛函臨界點(diǎn)方程解的唯一性的證明

注意到

從而

特別地，取v=y2-y1，則