王 攀，臧朝平

（南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，南京210016）

0 引言

螺栓連接結(jié)構(gòu)憑借構(gòu)造簡單、實用性強(qiáng)等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機(jī)機(jī)匣和轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的連接。在工程應(yīng)用中，螺栓連接件在承受工作載荷之前，需要對螺栓施加一定的預(yù)緊力，使螺栓和被連接件之間產(chǎn)生相互作用力，從而產(chǎn)生不同的接觸面連接剛度，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)。因此，螺栓連接結(jié)構(gòu)建模方法的研究成為結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究領(lǐng)域的熱點問題[1]。螺栓連接的有限元模擬方法主要分為2類:非線性接觸算法和界面單元法。前者需要迭代計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，計算量較大。隨著有限元法的發(fā)展，Liu等[2-3]建立了螺栓連接部件的精細(xì)有限元模型，但由于其自由度數(shù)目龐大，不適用于復(fù)雜的連接結(jié)構(gòu)；Ahmadian等[4-6]運(yùn)用薄層單元法將連接結(jié)構(gòu)接觸面等效為厚度很薄的實體單元，進(jìn)行動力學(xué)建模，并運(yùn)用優(yōu)化算法修正薄層單元材料參數(shù)；馬雙超等[7]將薄層單元法運(yùn)用到航空發(fā)動機(jī)領(lǐng)域；姚星宇等[8-9]給出薄層單元法在航空發(fā)動機(jī)機(jī)匣螺栓連接結(jié)構(gòu)的建模原理，并研究了薄層單元材料參數(shù)對螺栓連接剛度的影響規(guī)律，但文獻(xiàn)中并未考慮由于施加不同的預(yù)載荷使螺栓法蘭連接結(jié)構(gòu)實際接觸面積變化，以及接觸微凸體變形帶來的剛度改變影響整個裝配體的動力學(xué)響應(yīng)。

本文基于螺栓連接結(jié)構(gòu)的超模型連接剛度計算公式[10-12]，運(yùn)用赫茲接觸理論以及M-B分形模型[13-16]，推導(dǎo)了不同預(yù)緊力螺栓連接簡化模型連接參數(shù)的計算公式，并以1個螺栓連接試驗機(jī)匣為例，對該簡化模型的仿真頻率與模態(tài)試驗測試頻率進(jìn)行對比。

1 分區(qū)域薄層單元建模方法

1.1 分區(qū)域薄層單元

采用分區(qū)域薄層單元對螺栓連接部分進(jìn)行簡化建模，如圖1所示。圖中綠色部分代表預(yù)緊力影響較弱的法蘭區(qū)域；紅色部分代表預(yù)緊力主要影響的螺栓區(qū)域。

圖1 分區(qū)域薄層單元簡化模型

把上安裝法蘭1、薄層單元2和下安裝法蘭3視為串聯(lián)的彈簧結(jié)構(gòu)，可得薄層單元連接結(jié)構(gòu)的軸向總剛度

式中:k1、k21+k22和k3分別為上安裝法蘭、薄層單元和下安裝法蘭的軸向剛度；k21和k22分別為圖1中紅色部分薄層和綠色部分薄層的軸向剛度。

分區(qū)域薄層單元部分的軸向總剛度為

式中:E21和E22分別為圖中紅色區(qū)域和綠色區(qū)域的彈性模量；A21和A22分別為圖中紅色部分和綠色部分的面積；L2為薄層的厚度。

1.2 薄層單元軸向總剛度

對螺栓連接結(jié)構(gòu)件進(jìn)行靜力學(xué)分析，連接區(qū)域的應(yīng)力分布集中在螺栓桿、螺母與被連接件接觸的區(qū)域，如圖2所示。其中螺栓連接結(jié)構(gòu)的軸向連接剛度主要由螺桿連接的區(qū)域與預(yù)緊力作用的區(qū)域決定[8-9]。

圖2 螺栓連接結(jié)構(gòu)區(qū)域

螺桿連接區(qū)域的軸向剛度為

式中:Ab為螺栓桿的截面面積；db為螺栓桿的直徑；Eb為螺桿彈性模量；Leq為螺栓桿的當(dāng)量長度。

對于螺栓預(yù)緊力作用區(qū)域，將被連接件的預(yù)緊力分布區(qū)域等效為切去頂端的錐形區(qū)域?？傻迷搮^(qū)域的連接剛度為

式中:E0i為被連接件的彈性模量；t為法蘭邊厚度；α為半錐形角，與螺栓預(yù)緊力F大小有關(guān)。

由于整個螺栓預(yù)緊力作用區(qū)域中，上下2個被連接件為串聯(lián)關(guān)系，則可知該區(qū)域的軸向連接剛度為

由此可得整個螺栓連接區(qū)域的連接總剛度ks

1.3 法蘭區(qū)域剛度

1.3.1 赫茲接觸理論

法蘭接觸面實質(zhì)上由2個粗糙表面組成，粗糙表面的微凸體在外載荷作用下發(fā)生變形，如圖3所示。根據(jù)赫茲公式[13-14]可得微凸體法向載荷和彈性變形的關(guān)系

式中:E為2個接觸面的等效彈性模量；R為2個微凸體的等效接觸半徑；w為接觸點的法向變形量。微凸體接觸區(qū)域的接觸面積可以表示為a'=2πRw。

軸向載荷P對法向位移w求導(dǎo)，求解出微小接觸點的剛度為

具有截面積的微凸體的變形[13-14]為

將式（11）帶入 a′=2πRw，可得微接觸點頂端的曲率半徑

通過對大量試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合[15]，可得金屬表面機(jī)械加工后的分形維數(shù)D、特征尺寸系數(shù)G與加工表面粗糙度Ra之間的關(guān)系式分別為

圖3 法向外載荷作用下的微凸體變形

1.3.2 M-B分形模型

粗糙表面中微凸體的近似分布形式如圖4所示。根據(jù)M-B分形模型[13-14]，微凸體截面積為a′的接觸點大小分布函數(shù) n（a′）為

式中:ψ為加權(quán)系數(shù)

圖4 接觸表面微凸體分布

在接觸面處，區(qū)分彈塑性變形臨界面積a'c為

式中:κ=H/σs；Φ=σs/E；H 為較軟材料的硬度；σs為較軟材料的屈服強(qiáng)度。

微凸體的法向塑性形變載荷與接觸面積關(guān)系為

綜上所述，赫茲公式描述的單個微凸體的接觸剛度、M-B分形接觸模型以及結(jié)合面的法向接觸剛度，可由單個接觸點的剛度式（10）根據(jù)尺寸分布n（a'）積分得到

將式（11）（12）、帶入式（7），加上塑性形變載荷（18），根據(jù)尺寸分布積分，得到結(jié)合面的法向彈塑性總載荷

1.4 分區(qū)域薄層單元彈性模量

根據(jù)工程經(jīng)驗，對于螺桿直徑為d的螺栓，擰緊力矩M和預(yù)緊力F之間相互換算的經(jīng)驗公式為

法蘭的法向總載荷P即為所有螺栓的總預(yù)緊力，從而確定法蘭法向接觸剛度K作為分區(qū)域薄層單元中的法蘭區(qū)域剛度。再由螺栓連接部分的總剛度ks確定出螺栓區(qū)域剛度。之后，結(jié)合式（23）和式（24）可以求解出分區(qū)域薄層單元的彈性模量

2 螺栓連接機(jī)匣試驗

2.1 機(jī)匣靜力學(xué)分析

對于如圖5（a）所示的螺栓連接機(jī)匣，由36個M6螺栓連接。根據(jù)超模型的建模方法，采用實體螺栓結(jié)構(gòu)建立機(jī)匣連接件的超模型。為了后續(xù)的靜力學(xué)分析，確定半錐形角。設(shè)定超模型網(wǎng)格尺寸為3 mm，采用2階4面體單元劃分網(wǎng)格，如圖5（b）所示。該連接模型共有148萬個節(jié)點，444萬個自由度。

圖5 連接機(jī)匣

在連接螺栓上分別施加 3、5、7、9、11 N·m 的預(yù)緊力，確定半錐形角，根據(jù)式（6）計算總剛度ks，見表1。

表1 不同預(yù)緊力下機(jī)匣連接件軸向總剛度

不同擰緊力矩下機(jī)匣連接件總剛度的變化如圖6所示。從圖中可見，軸向連接剛度曲線的斜率隨著擰緊力矩的增大逐漸減小，說明隨著擰緊力矩的增大，機(jī)匣螺栓法蘭連接部分逐漸趨于剛性。

2.2 螺栓連接機(jī)匣簡化

根據(jù)分區(qū)域薄層單元建模方法，去除機(jī)匣連接件法蘭邊上的螺栓孔，把螺栓等效為如圖7所示的分區(qū)域薄層單元。

圖6 軸向剛度隨擰緊力矩的變化

最終建立的機(jī)匣連接件簡化模型如圖8所示。采用2階4面體單元，設(shè)定網(wǎng)格尺寸為10 mm。該簡化模型共有14萬個節(jié)點，42萬個自由度，與超模型相比，連接機(jī)匣模型規(guī)模降低到原來的1/10。

根據(jù)式（23）和式（24）確定不同預(yù)緊力下的分區(qū)域薄層單元的彈性模量，見表2。

圖7 薄層單元建模

圖8 螺栓連接機(jī)匣簡化模型

表2 薄層單元的彈性模量

圖9 連接試驗機(jī)匣模態(tài)試驗

2.3 螺栓機(jī)匣試驗測試

在連接螺栓上施加3～11N·m的擰緊力矩時，測試連接機(jī)匣的模態(tài)頻率如圖9所示。采用力錘激勵，加速度傳感器測量；采集激勵信號和響應(yīng)信號，通過頻響分析軟件對測得的頻響函數(shù)進(jìn)行分析，并提取連接機(jī)匣前8階頻率。

2.4 結(jié)果對比

在螺栓擰緊力矩分別為3、7、11 N·m時，分區(qū)域薄層單元模型仿真頻率與機(jī)匣試驗頻率見表3。從表中可見，連接機(jī)匣試驗頻率隨著擰緊力矩增大而加快，第3、4階頻率變化最為明顯，說明螺栓預(yù)緊力大小對連接機(jī)匣的動力學(xué)響應(yīng)有較大影響。簡化模型仿真頻率與機(jī)匣試驗頻率相比，最大誤差僅為2.83%，滿足工程設(shè)計要求。由此可見，分區(qū)域的薄層單元建模方法能準(zhǔn)確地模擬在不同預(yù)緊力下螺栓連接結(jié)構(gòu)的剛度變化，建立有效的連接結(jié)構(gòu)有限元模型。

表3 在擰緊力矩為3、7、11 N·m時分區(qū)域薄層單元簡化模型的模態(tài)頻率

3 結(jié)論

本文基于螺栓連接超模型的剛度理論、赫茲接觸理論以及M-B分形模型，考慮螺栓的數(shù)量和法蘭邊的接觸，建立了分區(qū)域薄層單元的螺栓連接簡化建模方法，推導(dǎo)了不同預(yù)緊力下分區(qū)域薄層單元彈性模量的計算公式。通過模態(tài)試驗驗證了不同螺栓預(yù)緊力簡化建模方法的正確性，得到如下結(jié)論:

螺栓預(yù)緊力對機(jī)匣連接部分的法向接觸剛度影響較大，隨預(yù)緊力的增大，法向接觸剛度增加，之后逐漸趨于平穩(wěn)；連接機(jī)匣的各階固有頻率也逐步加快，之后也趨于平穩(wěn)。

本文連接接觸的建模，沒有考慮連接接觸非線性阻尼的影響，但為進(jìn)一步在此方面深入探索螺栓連接動力學(xué)的問題奠定了基礎(chǔ)。