程仕然 蔣智東

[摘? 要] 古典概型的課堂教學要抓住數學建模的契機，幫助學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界，從而達到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目的;抓住建模過程中通過數學抽象把實際問題數學化、符號化、模型化的典型探究過程，提升學生數學能力.

[關鍵詞] 課堂教學;重構研究

引言

古典概型是高中數學概率與統(tǒng)計模塊的核心概念，是繼小學、初中相關內容的深入學習，對后繼的幾何概型、隨機變量概率分布的學習有著深遠的影響. 本節(jié)內容的教學是提升學生數學核心素養(yǎng)的良好契機，也是培養(yǎng)學生解決生活中的數學問題，提升學生數學能力，進行數學抽象、數學建模、數學化、符號化的最典型內容.

基于核心素養(yǎng)的古典概型課堂教學現狀反思與重構研究

站在新課標的高度，從數學核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，筆者對當下古典概型的課堂教學進行梳理和研究，發(fā)現存在如下問題需要我們進行反思和重構.

1. 情境引入追求形式，不顧實效，忽視教師的主觀意識對教學的影響

案例一：“狄青百錢定軍心”的情境引入.

案例研究：這是一個使用很多的情境引入. 故事很精彩，也和數學文化沾邊，但是跟古典概型關系不大. 情境創(chuàng)設要有利于引發(fā)學生思考和交流，應結合教學任務進行設計.

案例二：“拋一枚硬幣實驗”的情境引入.

案例研究：這個實驗在小學、初中都反復研究過了. 讓學生“假裝不知道”，再次研究，有炒冷飯之嫌，激發(fā)不起學生探究新知的興趣，沒有達到情境引入的目的.

案例反思：課堂教學是豐富多變的，情境引入是多樣的，但是肯定要圍繞課堂，服務于課堂. 問題情境是數學課堂教學的起點，是數學知識產生的源頭，由數學知識本性決定，要建立在學生的“數學現實”基礎上，將客觀現實和數學知識融為一體. 有效的問題情境教學的特征是能夠內隱數學問題，引導學生提出問題，重視情境內容、經驗內容與數學內容的高度融合. 新的教學模式和手段已經不拘泥于課堂45分鐘的學習了，微課、微視頻、翻轉課堂、數學實驗、計算機模擬數學實驗、互聯網大數據時代已經使現在的課堂教學可以拓展延伸到課堂之外了.

案例三：“投一枚骰子實驗（質地均勻）”的基本事件.

（1）當考察向上點數時，基本事件是六個.

（2）當考察向上點數是奇數還是偶數時，基本事件可以是兩個，也可以是六個.

（3）當骰子一面涂黃色，五面涂紅色，考察正面向上顏色時，基本事件只能是六個.

案例研究：由于基本事件（一次試驗中可能出現的每個基本結果）是人為設定的，有限性和等可能性是衡量的標準. 這就要講清楚概念的界定，很多人在講（1）時就很草率地一帶而過，碰到（2）時說不清基本事件是兩個（奇數向上和偶數向上是等可能的，兩類分別三個情況）的來歷，對于（3）中不能從等可能的角度及時給學生合理解釋“為什么不是黃色和紅色兩個基本事件”.

案例四：解答概率問題時，學生能給出概率問題的結果，不能寫出完整的解題過程.

案例研究：概率問題在小學、初中階段都有所涉及. 小學階段由于學生的認知水平限制，為了避免學習過多艱深的術語，采用“可能性”來代替“概率”. 初中階段學習事件的可能性及簡單事件的概率問題，這一塊內容也是初中數學的薄弱環(huán)節(jié). 高中之前零碎的、非正規(guī)的概率內容學習使得一些學生在學習高中概率問題時，產生一些錯覺：這個問題結果我知道，這個問題我會了. 忽視對古典概型這一全新概念的學習，對模型建立不夠重視，導致后期解決稍難問題時，又后繼乏力. 由于學生學習的假象，也使得部分老師在講授概念時一帶而過，把大量的時間花在例題的講解上. 這無疑是本末倒置的，造成的結果是學生在解題時，跟著感覺走，而不是通過模型識別，進行理性分析解題.

案例反思：數學解題“對要概念清，快要定理明”，這也說明概念的重要性. 教師應該全面把握學情，重視學生的前攝負影響，重視學生在學習過程中的主體體驗，引導學生在體驗中感悟，讓學生通過自我嘗試去理解概念、運用概念，從而達到概念內化的目的，促使其能運用數學概念靈活處理相關的數學問題，進而培養(yǎng)學生用數學的眼光觀察現實世界的習慣，用數學的語言表達實際問題的能力.

案例重構：數學建構（課堂實錄）.

（1）回顧自主試驗成果：我們把上述一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件.

若在一次試驗中，每一個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件. （表1）

例題1：從字母a，b，c，d任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？

師：我們要用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表述世界. 數學化、符號化也是我們解決數學問題的基本要求.

所以，所求的基本事件共有6個：

A={a，b}? B={a，c}? C={a，d}

D={b，c}? E={b，d}? F={d，d}

師：從這兩個試驗和例題1中的基本事件的個數和概率兩個角度總結歸納出這類試驗具有的共同特點. （表2）

（2）通過以上例子進行歸納：①所有的基本事件只有有限個;②每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.

我們將滿足①和②兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型.

辨析：①向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？

②某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán). 你認為這是古典概型嗎？為什么？

生4：①不是古典概型，雖然每個基本事件都是等可能的，但是基本事件不是有限個;②不是古典概型，雖然基本事件是有限個，但是每個基本事件不是等可能的.

師：能自己舉一個古典概型的例子嗎？

生5：甲、乙、丙三人選出一人作代表，甲被選中的概率. 基本事件有三個，是等可能的.

接下來看下面的問題：

（1）試驗2中，拋擲一枚骰子：

①它落地時向上的點數為3的概率是多少？

②它落地時向上的點數為奇數的概率是多少？

2. 建模過程簡單直接，缺少過程，忽視模型研究中的數學化、符號化功能，錯失提高數學抽象能力的良機

案例五：拋一枚硬幣多次和一次拋多枚硬幣實驗的基本事件講解.

（1）拋一枚硬幣兩次實驗;

（2）一次拋兩枚硬幣實驗.

案例研究：對（1）的基本事件講解時止步于“正，正”“正，反”“反，正”“反，反”，這也造成不少學生對（2）的基本事件錯誤理解成只有“正，正”“正，反”“反，反”三種情況. 如果能夠更進一步對（1）的問題進行數學化、符號化處理：記硬幣的正面為F，背面為B，則（1）中基本事件可表述為“F1，F1”“F1，B2”“B1，F2”“B1，B2”，這樣在處理（2）的時候學生就不會認為“F1，B2”和“B1，F2”是“正，反”的一種情況了. 同樣案例三（3）的基本事件就可以處理為Y1，R1，R2，R3，R4，R5這六個等可能基本事件，就能減少認為只有黃色向上和紅色向上兩個基本事件的誤解.

案例六：（蘇教版《必修3》3.2節(jié)例1）一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.

（1）共有多少個基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

案例研究：教師在講評時，或者只是用自然語言來概述了一下情況，或者只是簡單說成“白1，白2，白3，黑1，黑2”，或者一下子就推出“記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球有如下基本事件‘摸到1，2號球用（1，2）表示”. 前者導致學生看到摸球問題時只能想到摸球情境，看到投骰子問題只能想到投骰子情境，而不能看出這二者本質的相同;后者跳躍性太大，一下子抽象到數學符號，學生雖然能夠勉強接受，但是體會不到符號化的好處，體會不到符號化后帶來的（模型）統(tǒng)一和（解題）便利.

案例反思：數學是數與形的科學，上述問題不正是由形到數的典型演繹嗎？抓不住這個契機，就錯過了數學核心素養(yǎng)提出的：在實際情境中，從數學的視角提出問題，用數學的思想分析問題，用數學的語言表達問題. 錯失了在具體問題處理時加強學生對問題的數學化、符號化的能力培養(yǎng).

案例重構：數學運用（案例六的講評實錄）.

一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只紅球，從中一次摸出2只球.

（1）共有多少個基本事件？

（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

師：該同學對這個問題分析得很好！但是，我們數學講究簡練，所以上述問題能否通過數學化、符號化處理一下，用數學的語言來描述一下？

師：同學8比同學7的解答簡練、抽象了很多，數學味濃了. 聯想到高一學的映射問題、數對問題，這個模型還能更簡練、抽象一點嗎？

師：他說得很好！大家有沒有覺得：這樣一修改，對本類問題的解決起到了舉一反三的效果？原來（白1，白2）的類似表述只能解決具體的問題，但是后來符號化后（W1，W2）的表述對問題的解決進行了優(yōu)化，抽象為（1，2）的表述能夠解決這一類古典概型問題. 比如前面同學5舉出的例子可以抽象為1，2，3中選出一個數，1被選中的概率. 拋一枚硬幣實驗中可記“正面向上”為0，“反面向上”為1. 這些問題，我們在小學、初中都有所接觸，以前只需給出結果. 現在，我們通過今天的學習，對這類問題進行了理論研究，建構了數學模型——古典概型，并對問題進行了深入處理——數學化、符號化. 這樣，我們對概率問題的研究又向前邁出了一大步，從感性認識上升為了理性認識.

基于核心素養(yǎng)的古典概型課堂教學重構建議

1. 學法方面：引入數學實驗，在時空上對課堂進行拓展. 改變學生只聽（課）不做（試驗）的模式，讓學生通過參與小組試驗，對試驗現象進行觀察記錄，對試驗數據進行記載和處理，對試驗結果進行理論檢驗和驗證，對試驗模型進行數學建模及推廣.

2. 教法方面：改變以往輕概念（學習）重解題（教學）的教學習慣，改變課上教概念講例題，課后練習鞏固的教學模式. 重視古典概型的建模過程，概念生成過程，重視學生本節(jié)內容學習的前攝影響，引導學生從新的高度和要求出發(fā)，對研究內容的嚴謹性、完備性、科學性、一般性進行深入探討，從而提升學生的數學素養(yǎng)和能力.

總之，古典概型的課堂教學要抓住數學建模的契機，幫助學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界，從而達到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目的;抓住建模過程中通過數學抽象把實際問題數學化、符號化、模型化的典型探究過程，提升學生的數學能力.