于濤

[摘? 要] 文章簡述了對結(jié)構觀下解題教學的認識;以解析幾何的面積最值問題為例，展示了課堂教學中構建知識聯(lián)系結(jié)構、方法模型結(jié)構、解題程序結(jié)構的過程，進而抽象概括出解題結(jié)構;闡述了結(jié)構觀下解題教學的積極作用.

[關鍵詞] 結(jié)構觀;解題結(jié)構;解析幾何;面積問題

解題教學是教學中最為頻繁的數(shù)學活動，常見的解題教學模式以“一題多變”和“一題多解”為主. “一題多變”能幫助學生開闊視野，通過對題目條件、設問的改變實現(xiàn)變式教學，但萬變不離其宗，題目的結(jié)構是穩(wěn)定的;“一題多解”能幫助學生發(fā)散思維，根據(jù)題目的條件、設問從不同角度聯(lián)系知識、應用知識，實現(xiàn)解法的多樣性，其核心是知識的聯(lián)系與模型的識別. 解題教學若能將二者結(jié)合，就能以結(jié)構觀展開教學. 這里所指的結(jié)構是為實現(xiàn)數(shù)學教育功能的結(jié)構，強調(diào)數(shù)學知識間的廣泛聯(lián)系，方法模型的準確識別，特別指屬性顯然、特征明顯、易于識別聯(lián)系的結(jié)構[1]. 如向量可以根據(jù)其屬性聯(lián)系幾何、坐標向量和抽象向量，形成知識聯(lián)系結(jié)構;數(shù)列求和可以根據(jù)通項公式的結(jié)構聯(lián)系不同求和的方法模型，形成方法模型結(jié)構;綜合問題往往由多個知識、模型串聯(lián)，需要逐個識別依次求解，形成解題程序結(jié)構等.

縱觀全國卷高考真題，有關解析幾何的面積最值問題頻繁出現(xiàn)，推陳出新，看似熟悉的問題，卻總是不易得分. 因此，有必要從結(jié)構觀出發(fā)，把握題目“變化”背后的“不變”. 下面筆者就以“解析幾何的面積最值問題”為例，談談結(jié)構觀下的解題教學.

教學片段

1. 構建知識聯(lián)系結(jié)構

例1：（2017年南昌月考改編）已知圓C：x2+y2=2，過點P（2，0）的直線l與圓C交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值.

題目是與圓有關的三角形面積問題，求解過程包含兩個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一是三角形面積函數(shù)的推導，環(huán)節(jié)二是面積函數(shù)最大值的求解. 在環(huán)節(jié)一的教學中，面積函數(shù)的推導與主元（自變量）的選取緊密聯(lián)系，不少學生只想到用解析幾何的通性通法，用斜率k作主元（見解法一），忽略了代數(shù)角度主元選擇的多樣性，也忽略了解析幾何的幾何性，以及圓的特殊性.要打破解題思維的僵化，就需要在教學中引導學生根據(jù)題目條件進行知識的廣泛聯(lián)系.

環(huán)節(jié)一的教學，通過廣泛的聯(lián)系知識進行主元的選擇，幫助學生構建知識聯(lián)系結(jié)構. 解析幾何集幾何、代數(shù)于一身，解題時可以從幾何、代數(shù)兩個方向進行知識的聯(lián)系，從代數(shù)角度可以聯(lián)系普通方程、參數(shù)方程等知識，以斜率k、傾斜角θ等為主元;從幾何角度可以聯(lián)系圓、三角形等相關知識（平面幾何、解三角形等），以相關幾何量為主元. 這樣多角度聯(lián)系知識的結(jié)構，能幫助學生厘清解題方向，開拓思維視野.

2. 強化方法模型結(jié)構

上述最值求解方法，緊扣分式函數(shù)的結(jié)構特性，從齊次分式、非齊次分式、分子、分母、積與和等結(jié)構特征出發(fā)，利用轉(zhuǎn)化、換元將分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、基本不等式模型，或直接應用基本不等式，強化方法模型結(jié)構，并將應用導數(shù)求函數(shù)最值并入方法模型結(jié)構，推動學生實現(xiàn)思維不同層次的發(fā)展.

3. 完善解題程序結(jié)構

通過例2求面積函數(shù)的教學，學生明確了知識聯(lián)系結(jié)構中幾何、代數(shù)兩個方向，在幾何方向中，除了圓，還需注意解三角形、幾何結(jié)論等與幾何有關的知識;在代數(shù)方向中，學生并不習慣參數(shù)方程的應用，可以建議學生先以k為主元計算，必要時代入k=tanθ. 縱觀例1、例2的知識聯(lián)系結(jié)構，可以建議學生先幾何后代數(shù)，先k后θ，以尋求最簡潔的解題邏輯、最小的運算量、最熟悉的思路，細化解題邏輯，完善解題程序結(jié)構. 需要說明的是，主元的選擇是解析幾何重要的思維意識，不局限于斜率k和傾斜角θ.

例2求解最值的教學與例1類似，方法模型結(jié)構雖保持一致，但可以建議學生先思考直接應用基本不等式，再思考換元或轉(zhuǎn)化，最后考慮應用導數(shù)，推動學生發(fā)展思維，優(yōu)化解題程序結(jié)構.至此，解題結(jié)構構建完成，如圖1.

練習的目的是應用解題結(jié)構. 例1、例2、練習由模擬題和真題拆分改編而來，形成有機的整體，幫助學生體會題目背景、條件雖然在發(fā)展變化，但萬變不離其宗，解題結(jié)構保持不變.

整節(jié)課圍繞解題結(jié)構（如圖1）展開，從解題思路的探尋，到解題方向的實踐、比較;從面積函數(shù)的得到，到函數(shù)最值的求解策略，構建解題結(jié)構，突破解題難點;從圓到橢圓，從橢圓到橢圓與圓，從三角形到四邊形，螺旋上升，強化解題結(jié)構，幫助學生提高應用知識的能力，發(fā)展邏輯推理能力和運算求解能力.

教學思考

高三復習是知識綜合應用的學習，結(jié)構觀下的解題教學，是知識結(jié)構、方法結(jié)構的重組，通過把一類題目相關的知識、方法整合起來，組織成賦予某種意義的結(jié)構，幫助學生進行解題梳理和反思，推動學生應用結(jié)構進行解題.

結(jié)構觀下的解題教學能促進學生拓寬解題視角. 結(jié)構觀下的解題教學以明確知識屬性、溝通知識聯(lián)系、識別模型特征等為核心，構建解題結(jié)構的同時，幫助學生建立不同解題視角的生長點，推動學生進行有理有據(jù)的思維發(fā)散，形成脈絡清晰的知識、方法結(jié)構，看似設置了結(jié)構的條條框框，實則激活了學生的思維視角.

結(jié)構觀下的解題教學能促進學生提高思維能力. 一個數(shù)學問題的解題結(jié)構是外在形式與內(nèi)在邏輯的統(tǒng)一，根據(jù)結(jié)構的內(nèi)在邏輯，對外在形式（具體題目）進行改編，就能形成變式教學，幫助學生提高形式、特征的識別能力，深刻理解結(jié)構、完善結(jié)構，形成若干解題邏輯，促進題目最優(yōu)解法的探尋，實現(xiàn)知識方法的靈活運用. 比如文中通過例1、例2、練習的設計，凸顯解題結(jié)構穩(wěn)定的同時，讓學生體會思維的發(fā)散與優(yōu)化，讓不同層次的學生實現(xiàn)不同層次的思維發(fā)展，做到看似無結(jié)構，卻處處在結(jié)構之中.

結(jié)構觀下的解題教學能促進學生發(fā)展認知結(jié)構. 奧蘇泊爾認為，就學習方面，認知結(jié)構指學生在某一特定的知識領域內(nèi)的各種觀念的內(nèi)容和組織[2]，它是一種經(jīng)過學習者主觀改造的知識結(jié)構，它是數(shù)學知識結(jié)構與學生的心理結(jié)構高度融合、內(nèi)化的結(jié)果. 解題結(jié)構的構建正是根據(jù)知識結(jié)構，積極構建的具有主觀性的結(jié)構，該結(jié)構能給學生解題方向進行指導，提供知識應用的固著點;能幫助學生提高對知識與模型的聯(lián)系與識別能力;能通過反復應用結(jié)構，推動學生有關數(shù)學的簡約性與單純性、遷移性與發(fā)展性、廣泛性與嚴密性等認知的發(fā)展，形成自動自覺的思維過程，達到結(jié)構的內(nèi)化，實現(xiàn)認知結(jié)構的發(fā)展.

總之，結(jié)構觀下的解題教學倡導積極構建解題結(jié)構，讓學生從結(jié)構觀的角度進行解題、反思等學習活動，優(yōu)化學生思維，實現(xiàn)高效學習.

參考文獻：

[1]? 沈良. 略談數(shù)學結(jié)構觀下的解題與教學[J]. 數(shù)學通訊，2012（24）：1-3.

[2]? 喻平. 數(shù)學教學心理學[M]. 北京：北京師范大學出版社，2010.