張妙安

(福建省漳州市第二中學(xué) 363000)

圓錐曲線中的最值問題是近年高考中的熱點(diǎn)問題，對考生分析、解決問題的能力要求較高，具有一定的難度和區(qū)分度.基于此，本文擬通過歸類解析的形式，著重幫助同學(xué)們理清處理此類問題的常用解題策略，逐步提升解題能力.

一、充分利用圓錐曲線的“定義”

涉及與焦點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線中的最值問題，具體求解時(shí)往往需要充分利用圓錐曲線的“定義”探求解題思路，有利于將最值問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，以便結(jié)合圖形或者利用基本不等式順利分析最值問題.

例1 已知點(diǎn)P是拋物線y2=16x上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到定點(diǎn)M(3,4)的距離為d1，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為d2，則當(dāng)d1+d2取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

解析如圖，設(shè)點(diǎn)P在拋物線準(zhǔn)線上的射影是點(diǎn)N，則由拋物線的定義可知，d1+d2=|PM|+|PN|．

又由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)M,P,N三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值．

于是，當(dāng)d1+d2取最小值時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相同，從而可設(shè)所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,4)，將之代入拋物線方程y2=16x即得m=1.

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)．

評注本題求解的關(guān)鍵是，先明確d1+d2取最小值的具體情景是什么，然后再借助圖形加以具體分析.

解析由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4，所以|PF1|=4+|PF2|.

二、緊扣“二次函數(shù)”知識加以分析

動點(diǎn)在圓錐曲線上，求解與圓錐曲線的中心、焦點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量積的最值問題時(shí)，通過消元，可轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題；然后再利用“配方法”或“數(shù)形結(jié)合法”即可順利獲解.

A．2 B．3 C．6 D．8

評注本題側(cè)重考查橢圓與向量知識的交匯，解題關(guān)鍵是通過消元，轉(zhuǎn)化為求解二次函在閉區(qū)間上的最大值，體現(xiàn)了對所學(xué)知識、方法的綜合考查.

三、巧妙利用“設(shè)而不求”思想

處理圓錐曲線中的有關(guān)最值問題時(shí)，往往需要設(shè)出相關(guān)直線的方程以及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再將直線方程中y=kx+m代入圓錐曲線方程，整理得到關(guān)于“x”的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式或函數(shù)觀點(diǎn)(構(gòu)造函數(shù)，并利用其單調(diào)性)巧求最值.這就是所謂的“設(shè)而不求”思想.活用“設(shè)而不求”思想，有利于降低運(yùn)算量，提高解題技能.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．

評注本題求解思路是先得到關(guān)于“x”的一元二次方程，再考慮最基本的三角形面積公式寫出△OPQ的面積的表達(dá)式，然后借助換元、基本不等式巧解最大值問題.

總之，關(guān)注處理圓錐曲線中有關(guān)最值問題的常用解題策略，有利于積累解題經(jīng)驗(yàn)，拓寬解題思路，逐步提高求解此類問題的技能技巧.