彭 英 楊 平 柯葉君

(武漢理工大學(xué)交通學(xué)院1) 武漢 430063) (高性能船舶技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2) 武漢 430063) (華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院3) 武漢 430074)

0 引 言

在極端惡劣海況，以及碰撞、地震等突發(fā)事件中，船舶與海洋結(jié)構(gòu)物所承受的環(huán)境載荷必須按動態(tài)載荷處理.當(dāng)含裂紋的結(jié)構(gòu)受到動態(tài)載荷作用時(shí)，由于材料的慣性，載荷以應(yīng)力波的形式傳播，而應(yīng)力波與裂紋的相互作用使得動態(tài)比準(zhǔn)靜態(tài)斷裂問題復(fù)雜得多，因此，研究裂紋在動態(tài)載荷下的起裂、擴(kuò)展和止裂是一項(xiàng)極具意義及挑戰(zhàn)性的工作.

目前用于模擬裂紋擴(kuò)展的方法主要有傳統(tǒng)有限元法+自適應(yīng)網(wǎng)格[1]、虛擬裂紋閉合技術(shù)(VCCT)[2]、節(jié)點(diǎn)力釋放方法[3]、單元間內(nèi)聚力模型[4]等.而這些方法都具有一定的局限性，比如，伴隨裂紋擴(kuò)展必須不斷進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)、裂紋擴(kuò)展路徑必須預(yù)先給定、裂紋只能沿著單元邊界擴(kuò)展、計(jì)算成本偏高等.為了更好的解決這些問題，Belytschko等[5]提出單位分解擴(kuò)充法， Moёs等[6]隨后引入階躍函數(shù)和裂尖函數(shù)兩種擴(kuò)充形函數(shù)分別對裂紋面和裂尖進(jìn)行描述，并稱之為“擴(kuò)展有限單元法”(XFEM)，繼而Sukumar等[7]又將其延伸至三維裂紋問題.由于XFEM在計(jì)算過程中對不連續(xù)場的描述可以完全獨(dú)立于網(wǎng)格邊界，因此，應(yīng)用XFEM模擬裂紋擴(kuò)展時(shí)，無需進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，并可模擬裂紋沿任意路徑擴(kuò)展.但是，以往有關(guān)裂紋擴(kuò)展方面的研究大多局限于準(zhǔn)靜態(tài)問題[8-9]，而對于沖擊載荷下裂紋動態(tài)擴(kuò)展的研究，由于問題的復(fù)雜性，相關(guān)文獻(xiàn)還十分少見.

文中基于XFEM，采用有限元軟件ABAQUS對含斜裂紋矩形板的沖擊破壞過程進(jìn)行了系列數(shù)值模擬研究，并討論了裂紋初始角度、裂紋長度和沖擊載荷形式等參數(shù)對裂紋擴(kuò)展路徑的影響，得到平板斜裂紋動態(tài)擴(kuò)展的一些規(guī)律.

1 基本理論

擴(kuò)展有限元法(XFEM)的基礎(chǔ)是單位分解，通過對標(biāo)準(zhǔn)近似場添加階躍函數(shù)和裂尖函數(shù)兩種擴(kuò)充形函數(shù)以對未知場進(jìn)行更精確的描述，見圖1a).由于這種混合增強(qiáng)不易并入瞬態(tài)解法中，因此，在動態(tài)應(yīng)用中為避免裂尖增強(qiáng)，使裂尖只在單元邊界之間移動，即每次裂紋擴(kuò)展都會貫穿整個(gè)單元，從而可以只采用階躍增強(qiáng)函數(shù)描述不連續(xù)場，見圖1b)，其位移場uh(x)為[10]

圖1 二維裂紋中節(jié)點(diǎn)擴(kuò)充方案

2 計(jì)算模型

計(jì)算模型見圖2，在左邊緣中心位置有一條初始斜裂紋，矩形板寬度2W=100 mm、長度2H=160 mm、厚tp=3 mm，初始裂紋長度a=20 mm，裂紋傾角θ=45°.矩形板材料均勻、各向同性、線彈性，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，最大主應(yīng)力為100 MPa.矩形板底端固定，頂端受到拉伸階躍載荷p(t)作用，載荷峰值p(0)=80 MPa，持續(xù)時(shí)間t=50 μs.

圖2 斜裂紋矩形板幾何模型

在ABAQUS軟件中，XFEM計(jì)算動態(tài)裂紋擴(kuò)展時(shí)并未引入裂尖增強(qiáng)函數(shù)，每次裂紋擴(kuò)展都會貫穿整個(gè)單元，為避免因單個(gè)時(shí)間增量步裂紋擴(kuò)展距離過大而導(dǎo)致計(jì)算誤差，對裂紋可能的擴(kuò)展區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，網(wǎng)格尺寸取為1 mm，見圖3.本文采用四節(jié)點(diǎn)四邊形平面應(yīng)力單元(CPS4)，裂紋面間的接觸行為采用切向無摩擦、法向“硬接觸”，采用牽引分離損傷法(damage for traction separation laws)的最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則(maxps damage)，并且采取自動時(shí)間步長求解，最大時(shí)間步長取為0.5 μs.由于裂紋擴(kuò)展問題屬于強(qiáng)間斷、強(qiáng)非線性問題，為了提高求解過程的收斂性，取黏性系數(shù)為5×10-5，并且增大迭代計(jì)算中允許的嘗試步數(shù)和每步允許的迭代次數(shù).此外，在模型輸出定義中需要選定裂紋面水平集函數(shù)(PHILSM)及裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)參量(STATUSXFEM)，以在后處理中可以顯示裂紋位置和擴(kuò)展情況.

圖3 有限元網(wǎng)格模型圖

圖4給出了平板內(nèi)斜裂紋的擴(kuò)展過程，圖中的應(yīng)力云圖為Von Mises應(yīng)力. 由圖4可見，當(dāng)矩形板頂端受沖擊載荷作用后，應(yīng)力波從頂端逐漸向下端傳播，當(dāng)時(shí)間t=14.247 μs時(shí)，裂紋開始擴(kuò)展，起初裂紋擴(kuò)展較慢，幾個(gè)時(shí)間步長裂紋才能向前擴(kuò)展一個(gè)單元，長度約為1 mm；當(dāng)時(shí)間t=32.770 μs時(shí)，應(yīng)力波到達(dá)底端并發(fā)生反射，此后，在應(yīng)力波與反射波的共同作用下，裂紋擴(kuò)展速度明顯加快；當(dāng)時(shí)間t=49.056 μs時(shí)，裂紋橫向貫穿整個(gè)矩形板.

圖4 平板內(nèi)斜裂紋的擴(kuò)展過程圖

3 不同影響參數(shù)下的裂紋擴(kuò)展路徑對比

3.1 裂紋初始角度的影響

針對圖2中的計(jì)算模型，分別取裂紋傾角θ=15°,45°,75°，其他參數(shù)保持不變，采用XFEM計(jì)算不同初始角度下的裂紋擴(kuò)展路徑，裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)見圖5.由圖5可知，裂紋擴(kuò)展過程中，路徑會發(fā)生微小波動，但基本是按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴(kuò)展，說明裂紋的初始角度影響不大，不能決定裂紋的擴(kuò)展路徑.表1為不同初始角度下，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間(t1)、橫向貫穿矩形板的時(shí)間(t2)和貫穿矩形板的時(shí)間間隔(Δt).由表1可知，裂紋初始角度越小，裂紋尖端距離矩形板頂部加載端越遠(yuǎn)，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間越晚，但是裂紋橫向貫穿的時(shí)間反而越短，這是由于裂紋傾角越小，越接近于Ⅰ型裂紋，在拉伸載荷作用下，裂紋尖端應(yīng)力集中越大，更加利于裂紋擴(kuò)展.

圖5 不同初始角度下裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)

裂紋傾角θ/(°)t1/μst2/μsΔt/μs1515.22147.41432.1934514.24749.05634.8097513.76648.74334.977

3.2 裂紋長度的影響

分別取裂紋長度a=20，15，10 mm，采用XFEM計(jì)算各裂紋長度下的裂紋擴(kuò)展路徑，裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)見圖6.由圖6可知，隨著裂紋長度變短，裂紋擴(kuò)展路徑的波動性減小，但是仍然基本按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴(kuò)展，說明改變裂紋長度不會使裂紋的擴(kuò)展路徑發(fā)生顯著變化.表2為不同裂紋長度下，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間、橫向貫穿矩形板的時(shí)間和貫穿矩形板的時(shí)間間隔.從表中可以看出，裂紋長度越短，裂紋尖端距離矩形板頂部加載端越遠(yuǎn)，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間越晚，但是裂紋橫向貫穿的時(shí)間反而越早，說明隨著裂紋長度變短，裂紋擴(kuò)展的速度變快.從裂紋張開吸收能量的角度考慮，這是由于裂紋越短，其所能吸收的能量越小，當(dāng)受同樣的沖擊載荷作用時(shí)，裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展.

圖6 不同長度下裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)

裂紋長度a/mm t1/μst2/μsΔt/μs2014.24749.05634.8091514.54147.99733.4561015.54146.46330.922

3.3 載荷形式的影響

為了進(jìn)一步研究裂紋的動態(tài)擴(kuò)展特征，將載荷形式由階躍載荷改為三角形載荷，但總沖量保持不變，見圖7.針對圖2中的計(jì)算模型，圖8為三角形載荷下裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)圖.

圖7 三角形沖擊載荷

圖8 三角形載荷下裂紋擴(kuò)展過程中的單元狀態(tài)

由圖8可知，三角形沖擊載荷作用下，裂紋相比階躍載荷更穩(wěn)定、更趨于按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴(kuò)展，說明載荷總沖量如果保持不變，改變載荷形式不會使裂紋的擴(kuò)展路徑發(fā)生顯著變化.表3為不同載荷形式下，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間、橫向貫穿矩形板的時(shí)間和貫穿矩形板的時(shí)間間隔.從表中可以看出，三角形沖擊載荷下，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間比階躍載荷晚，但是裂紋擴(kuò)展的速度遠(yuǎn)比階躍載荷快，裂紋起裂后不久將橫向貫穿矩形板.

表3 不同載荷形式下裂紋開始擴(kuò)展和貫穿的時(shí)間

4 結(jié) 論

1) XFEM用擴(kuò)充的帶有不連續(xù)性質(zhì)的形函數(shù)基來代表單元內(nèi)部的間斷，在計(jì)算過程中，不連續(xù)場的描述完全獨(dú)立于網(wǎng)格邊界，可以在規(guī)則網(wǎng)格上模擬裂紋沿任意路徑擴(kuò)展而無需對模型進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，處理斷裂問題具有極大優(yōu)勢.

2) 平板斜裂紋基本是按Ⅰ型裂紋形式沿直線擴(kuò)展，改變裂紋初始角度、裂紋長度和沖擊載荷形式不會對裂紋擴(kuò)展路徑產(chǎn)生顯著影響，但是對裂紋擴(kuò)展速度會有明顯影響.裂紋傾角越小，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間越晚，擴(kuò)展速度越快；裂紋越長，裂紋開始擴(kuò)展的時(shí)間越早，擴(kuò)展速度反而越慢；在載荷總沖量保持不變的情況下，三角形載荷比階躍載荷起裂晚，裂紋擴(kuò)展速度更快.