導(dǎo)體棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)問題往往涉及變化的安培力導(dǎo)致的連續(xù)變化過程，如果在回路中還含有電容器，那么同學(xué)們?cè)诜治鎏幚頃r(shí)就容易受思維定式的影響，認(rèn)為含有電容器的電路是不閉合回路，沒有電流。下面通過例題分析，幫助同學(xué)們厘清處理含容電磁感應(yīng)問題的思路。

例1 如圖1所示，足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ傾斜放置，其所在平面與水平面間的夾角θ=30度，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌下端分別連著電容為C的電容器和阻值為R的定值電阻。一根質(zhì)量為m的金屬棒放在導(dǎo)軌上，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=√3/2。一根不可伸長(zhǎng)的絕緣輕繩一端拴在金屬棒中間，另一端跨過定滑輪與質(zhì)量為4m的重物相連，金屬棒與定滑輪間的輕繩始終在兩導(dǎo)軌所在平面內(nèi)且與兩導(dǎo)軌平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在平面向上。初始狀態(tài)用手托住重物使輕繩恰處于伸直狀態(tài)，重力加速度為g，不計(jì)滑輪阻力，以及金屬棒和導(dǎo)軌的電阻。

（l）若開關(guān)Sl閉合、S2斷開，由靜止釋放重物，求重物的最大速度。

（2）若開關(guān)Sl斷開、S2閉合，請(qǐng)推導(dǎo)出重物的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：部分同學(xué)會(huì)因?yàn)橹恢离娙萜鲗?duì)電流的作用是“通交流、隔直流”，忽略了電容器可以充電、放電的物理規(guī)律而誤認(rèn)為電路中沒有電流，從而根據(jù)牛頓第二定律4mgmgsinθ- μmgcosθ=5ma和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式w=at，解得a=5.5 m/s2和v=5.5t（ m/s）。

例2 如圖2所示，水平面內(nèi)有兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌L1、L2，其間距d=0.5 m，左端接有電容C=2 000 μF的電容器，質(zhì)量m=20g的導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動(dòng)，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌的電阻不計(jì)。整個(gè)空間存在垂直于導(dǎo)軌所在平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（垂直于紙面向里），磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T?，F(xiàn)用一沿導(dǎo)軌向右的恒力F1 =0. 44 N作用于導(dǎo)體棒，使導(dǎo)體棒從靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t后到達(dá)虛線N處，速度v=5 m/s。此時(shí)，突然將拉力方向變?yōu)檠貙?dǎo)軌向左，大小變?yōu)镕2，又經(jīng)時(shí)間2t后導(dǎo)體棒返回到初始位置M處，整個(gè)過程中電容器未被擊穿。求：

（1）導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到N處時(shí)，電容器積累的電荷量。

（2）時(shí)間t的大小。

（3）拉力F2的大小。

解析：（1）導(dǎo)體棒到達(dá)虛線N處時(shí)，電容器兩端的電壓等于導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即U= E感=Bdv=5 V，電容器積累的電荷量Q=CU=l×l0^-2 C。

點(diǎn)評(píng)：本題以電磁感應(yīng)為背景，以“單棒十電容器”的串聯(lián)電路為情景，在電容器被充電的過程中，考查導(dǎo)體棒的動(dòng)力學(xué)問題。解決本題的突破口是結(jié)合電路知道E感=Bdv等于電容器兩端的電壓U，再利用微元法推導(dǎo)出充電電流i與電荷量△Q、電容C、電壓△U的關(guān)系i=CBda，從而判斷出導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

變式1：如圖3所示，間距為L(zhǎng)的兩豎直光滑導(dǎo)軌上端接有電容為C的電容器，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)。導(dǎo)軌間有沿水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（垂直于紙面向里），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。分析導(dǎo)體棒由靜止釋放后的加速度是否變化。如果變化，請(qǐng)說明原因;如果不變，請(qǐng)求出加速度的表達(dá)式。

變式2：如圖4所示，間距為L(zhǎng)的兩傾斜導(dǎo)軌與水平面間的夾角為a，頂端接有電容為C的電容器。導(dǎo)體桿的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)體桿與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)軌間有垂直于導(dǎo)軌所在平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。求導(dǎo)體桿由靜止釋放后下滑的加速度。

備考建議

在解決含電容器的電磁感應(yīng)問題時(shí)，電容器可以被充電，也可以放電，這取決于與電容器相連的“電源”電動(dòng)勢(shì)的變化情況。 在“單棒十電容器”的電磁感應(yīng)電路中，當(dāng)導(dǎo)體棒切割磁感線的速度蠻六時(shí)，導(dǎo)體棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變六，電容器被充電;當(dāng)導(dǎo)體棒切割磁感線的速度變小時(shí)，導(dǎo)體棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變小，電容器放電。 解決含電容器的電磁感應(yīng)問題的思路：確定導(dǎo)體棒做加速運(yùn)動(dòng)還是減速運(yùn)動(dòng)，分析感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的變化情況，從而確定電容器是被充電還是放電;選其中很短的一段時(shí)間△t，認(rèn)為電流不變，用微元法推導(dǎo)出充（放）電電流i與電荷量、電容、電壓（等于導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)BL△v）的關(guān)系i=CBLa;代入牛頓第二定律，確定導(dǎo)體棒的受力情況及加速度的變化情況。

跟蹤訓(xùn)練

在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平畫內(nèi)，相距為L(zhǎng)。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒cd垂直于兩導(dǎo)軌放置，與導(dǎo)軌接觸良好。導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)。

（1）如圖5所示，若在導(dǎo)軌左端M、P間接一阻值為R的電阻，導(dǎo)體棒在水平拉力F的作用下以速度v沿導(dǎo)軌做勻速運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)通過公式推導(dǎo)證明：在任意一段時(shí)間內(nèi)，拉力F做的功與電路獲得的電能相等。

（2）如圖6所示，若在導(dǎo)軌左端M、P間接一電容為C的電容器，導(dǎo)體棒在水平拉力作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)。電容器兩極板間電勢(shì)差U隨時(shí)間t變化的圖像如圖7所示，已知t1時(shí)刻電容器兩極板間的電勢(shì)差為Ul。求導(dǎo)體棒受到的水平拉力的大小。