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        弱下集算子與弱上集算子

        2019-04-29 05:51:34鯤,盧
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2019年4期
        關(guān)鍵詞:半格偏序定向

        汪 鯤,盧 濤

        (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽淮北 235000)

        連續(xù)格理論與Domain理論來源于兩個不同的背景:一是理論計算機(jī)中函數(shù)式語言的語義研究;一是偏序結(jié)構(gòu)與內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞募償?shù)學(xué)研究.經(jīng)過多年的發(fā)展,連續(xù)格的大部分成果被推廣到了Domain理論中,并與邏輯學(xué)、范疇論、(格上)拓?fù)鋵W(xué)和Locale理論等眾多領(lǐng)域和分支發(fā)生了關(guān)聯(lián).鄭崇友[1]系統(tǒng)地論述了連續(xù)格理論的基本內(nèi)容,其中也包含了我國學(xué)者近年來在該領(lǐng)域的一些研究成果.潘美林[2]引入了下集算子和上集算子的定義,并在此基礎(chǔ)上研究了偏序集的一些性質(zhì),將下集算子作用在集合上,得到集合下確界的下集.自然而然會產(chǎn)生以下問題:有沒有算子可以得到集合全體元素下集構(gòu)成的集合?若存在,它有何性質(zhì)?本文對上述問題進(jìn)行研究,給出與這些問題有關(guān)的若干結(jié)果.

        1 預(yù)備知識

        定義1.3[1]設(shè)(P,≤)是偏序集,S?P.(1)若S≠?,并且S中的任意二個元在S中都有上界,即?a,b∈S,有c∈S,使得a≤c,b≤c,則稱S是定向的或?yàn)镻的定向子集;(2)若S≠?,并且S中的任意二個元在S中都有下界,即?a,b∈S,有c∈S,使得c≤a,c≤b,則稱S是余定向的或?yàn)镻的余定向子集.

        定義1.4[1]設(shè)(P,≤)是偏序集,I與F都是P的非空子集.(1)若I是定向的下集,則稱I是偏序集(P,≤)的理想;(2)若F是余定向的上集,則稱I是偏序集(P,≤)的濾子.

        定義1.5[1]設(shè)L是格,I與F分別是L的理想與濾子.(1)對于L的理想I,若1?I,稱I是真理想.對于L的濾子F,若0?F,稱F是真濾子;(2)若I是L的真理想,并且?a,b∈L,a∧b∈I?a∈I或b∈I,則稱I是素理想;(3)若F是L的真濾子,并且?a,b∈L,a∨b∈F?a∈F或b∈F,則稱F素濾子.

        2 主要結(jié)論

        定義2.1 設(shè)P為偏序集,F(xiàn):P→P為算子,若?x∈P,有F(x)=↓x或?qū)的任意非空集合S,?x∈S,有↓x?F(S),則稱F為P的弱下集算子.

        易知弱下集算子與下集算子等價?S有下確界.

        定義2.2 設(shè)P為偏序集,G:P→P為算子,若?x∈P,有G(x)=↑x或?qū)的任意非空集合S,?x∈S,有↑x?G(S),則稱G為P的弱上集算子.

        同理,弱上集算子與上集算子等價?S有上確界.

        例2.1 設(shè)L為二元格,L=[0,1],?a∈L,F:L→L,G:L→L為平凡映射,若0∈F(a),1∈G(a),則F為L的弱下集算子,G為L的弱上集算子.

        例2.2 設(shè)P為偏序集,F(xiàn):P→P為恒等映射,則F為P的弱下集算子與弱上集算子.

        命題2.1 設(shè)P為偏序集,F(xiàn):P→P為弱下集算子,則以下命題成立:(1)S?F(S),若supS∈S,則F(supS)=F(S);(2)F(F(a))=F(a)(冪等性);(3)設(shè)P為∧-半格,對于?a,b∈P有F(a)∧F(b)=↓a∧↓b=↓(a∧b)=F(a∧b);(4)設(shè)P為偏序集,?A,B?P,有A≤B?A?B≤F(A)?F(B).

        命題2.2 設(shè)P為偏序集,G:P→P為弱上集算子,則以下命題成立:(1)S?G(S),若infS∈S,則G(infS)=G(S);(2)G(G(a))=G(a)(冪等性);(3)設(shè)P為偏序集,?A,B?P,有A≤B?A?B?G(A)?G(B).

        命題2.3 設(shè)P為偏序集,F(xiàn):P→P為保序映射,對任意的S?P,若F(S)為P的下集且S?F(S),則F為P的弱下集算子.

        注1 在命題2.3中,若S為定向集,則F(S)為理想,即x=supS?↓x=F(S).

        命題2.4 設(shè)P為偏序集,G:P→P為保序映射,對任意的S?P,若G(S)為P的上集且S?G(S),則F為P的弱上集算子.

        命題2.5 設(shè)P為∨-半格,F(xiàn):P→P為保序映射,S?P,若?a,b∈P,a∨b∈S?a∈F(S),b∈F(S),則F為P的弱下集算子.

        證明 因a,b≤a∨b,故a,b∈↓(a∨b),且a∨b∈↓(a∨b).對?x≤a∨b(x∈P),由a,b,x的任意性,x∨(a∨b)=a∨b∈S.從而x,a∨b∈F(S),因x≤a∨b,F(xiàn)為保序映射,由x的任意性可知↓(a∨b)?F(S),所以對?a,b∈P,若a∨b∈S,↓(a∨b)?F(S),即F為P的弱下集算子.

        命題2.6 設(shè)P為∧-半格,G:P→P為保序映射,S?P,若?a,b∈P,a∧b∈S?a∈G(S),b∈G(S),則F為P的弱上集算子.

        定理2.1 設(shè)L為格,F(xiàn):L→L為保序映射,S?L,S為定向集且1?S.則以下命題等價:(1)?a,b∈L,a∧b∈S蘊(yùn)含著a∈S或b∈S;(2)S中存在素元a;(3)F(S)為素理想?F為P的弱下集算子.

        證明 (1)?(2),設(shè)supS=s,因a∧b∈S蘊(yùn)含著a∈S或b∈S,即a∧b≤s時,有a≤s或b≤s,則s為L的素元.

        定理2.2 設(shè)L為格,G:L→L為保序映射,S?L,S為余定向集且1?S.則以下命題等價:(1)?a,b∈L,a∨b∈S蘊(yùn)含著a∈S或b∈S;(2)S中存在余素元a;(3)F(S)為素濾子?F為P的弱上集算子.

        證明 類似定理2.1的證明可證結(jié)論成立.

        設(shè)L為Boole代數(shù),┐:L→L為補(bǔ)運(yùn)算(?a∈L,a∧┐a=0,a∨┐a=1),可得┐:L→L為逆合對應(yīng),故?a,b∈L,a≤b?┐a≥┐b(證明過程可以參考文獻(xiàn)[3]).

        記I(L)為L上全體弱下集算子構(gòu)成的集合,Γ(L)為L上全體弱上集算子構(gòu)成的集合.

        定理2.3 設(shè)L為Boole代數(shù),┐:L→L為補(bǔ)運(yùn)算,若F∈Ι(L),G∈Γ(L),則┐F┐∈Γ(L),┐G┐∈Ι(L).

        證明 對?a∈L,?┐a∈L,s.t.a∧┐a=0,a∨┐a=1.又F(a)=↓a,故對?x∈↓a,有x≤a,進(jìn)而x∧┐a≤a∧┐a=0,x∨┐a≤a∨┐a=1,因L為Boole代數(shù),從而x∧┐a≤0,x∨┐a<1,故?┐a<┐x,s.t.x∧┐x=0,x∨┐a

        命題2.7 設(shè)L為Boole代數(shù),┐:L→L為補(bǔ)運(yùn)算,F(xiàn),G分別為L的弱下集算子與弱上集算子,有x∈F(a)?┐x∈G(┐a).

        證明 由定理2.3即可證明命題2.7成立.

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