胡 楓

(安徽理工大學數學與大數據學院，安徽淮南232001)

自然科學與工程計算中經常需要處理帶有極點的奇異值函數，而避免極點的出現和控制極點的位置一直都是有理插值與逼近理論中的熱點問題。通過選擇特殊的權函數，Berrut提出了一種無極點的重心有理插值[1]；Schneider等在文獻[2]中給出了重心有理插值無極點時，相鄰權系數異號這一必要條件，進而研究了相鄰權系數同號時，插值函數在每個子區(qū)間擁有奇數個極點的情形；Foater等通過局部混合，建立了一族沒有極點且能達到任意逼近效果的重心插值函數[3-4]。但在實際工程計算中，常常要利用極點來解決實際應用。因此，朱功勤等在已知極點信息的情形下對預給極點的連分式插值和向量值插值進行了深入的研究[5]。關于二元有理插值函數的研究，前人已做出了大量的貢獻[6-10]，本文研究預給極點的二元連分式插值，將原有節(jié)點的函數值乘以一個確定的數，使其變成一個無預給極點的二元有理插值問題。通過計算具有繼承性的系數來構造一種二元連分式插值新算法，再除以帶有極點信息的函數，從而得到預給極點的二元有理插值函數。本文使用的方法在保持原有每個極點的重數不變的同時又能更好地區(qū)分預給極點的位置，并通過數值例子驗證了該方法的有效性和合理性。

1 二元連分式插值

Michalik為了求解非線性方程提出了一種新的連分式形式[11]，本文對其進行二元推廣，設點集Dn={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}? [ a ,b ] ×[ c ,d ]，函數z=f(x,y)對應的函數值為zi=f(xi,yi)，i=0,1,…,n。當且僅當i=j時，xi=xj，yi=yj，i=0,1,…,n，Dn上的二元連分式插值形式為

其中ck=ck(x0,x1,…,xk;y0,y1,…,yk) ，k=0,1,…,n是具有繼承性的系數，計算過程如下所示：

從插值函數的最后一項開始計算，容易驗證(1)式滿足所有插值條件，即插值函數通過所有的插值節(jié)點(xi,yi)(0≤i≤n)，為了更好地描述上述系數的計算過程，現歸納為如表1所示。

表1 二元連分式系數的計算過程

下面討論該二元連分式插值的一些重要性質。

性質1二元連分式插值的三項遞推公式。對二元連分式插值函數，設P-1=1，P0=b0=0，Q-1=0，Q0=1，則對于n ≥ 1有

性質2特征定理。由于二元多項式C(x,y)=cijxiyj的次數有兩種不同的定義，下面從兩個角度分別給出二元連分式插值的特征定理。

(1) 分別定義變量x和y的次數，即?Cx={i}，?Cy={j}，則當n=k，k=0,1,…，

性質3二元連分式插值不可達點的修正處理方法。定義在數據點集Dn上的二元連分式插值，若Pn(xi,yi)-Qn(xi,yi)fi=0，≠ fi，i=0,1,…,n，則稱(xi,yi)是插值函數Rn(x,y)的不可達點。

在文獻[12]中提出了一種對不可達點的修正處理方法，現設Rn(x,y)有l(wèi)個不可達點，通過調整節(jié)點的順序使這些不可達點位于插值節(jié)點的后l位，構成新的插值點集

令

2 預給極點的二元連分式插值

通過計算具有繼承性的系數ck(0≤k≤n)，構造滿足條件(7)式的二元連分式插值Gn(x,y)，從而得到預給極點的二元連分式插值函數。顯然當Gn(x,y)的分子和分母中各項多項式在預給極點處都不等于零時，二元插值函數rn(x,y)具有預給的極點且極點的重數不發(fā)生變化，進一步在第二種情形下考慮二元多項式的次數，當n是偶數，rn(x,y)是[ n ] [n +2p ]型，當n是奇數，rn(x,y)是[ n -1 ] [ n +1+2p]型的有理插值函數。

3 數值例子

(7)式得到相應的無預給極點的插值函數，對應數據如表3所示。

表2 插值數據

表3 無預給極點的插值數據

根據表3和上文中系數ck的遞推算法，得到無預給極點的二元連分式插值函數Gi(x,y)及相應的ri(x,y)，i=3，4，5。

下面使用Matlab2014a分別繪出各個預給極點插值函數ri(x,y)和誤差函數ei(x,y)=f(x,y)-ri(x,y)，i=3,4,5的部分圖像，如圖1～6所示。

圖1 r3(x,y)在[0.1,0.3]×[0.15,0.35]上的部分圖像

圖2 e3(x,y)在[0.1,0.3]×[0.15,0.35]上的部分圖像

圖3 r4(x,y)在[0.3,0.5]×[0.35,0.55]上的部分圖像

圖4 e4(x,y)在[0.3,0.5]×[0.35,0.55]上的部分圖像

圖5 r5(x,y)在[0.45,0.6]×[0.46,0.65]上的部分圖像

圖6 e5(x,y)在[0.45,0.6]×[0.46,0.65]上的部分圖像

4 結論

本文研究預給極點的二元連分式插值，由預給極點的信息，使每個原函數值乘上一個確定的數，通過文中提及的新的二元連分式插值算法來構造一個無預給極點的插值函數，再除以一個帶有預給極點信息的函數，從而得到預給極點的二元連分式插值。該方法獲得的插值函數在保持原有每個極點的重數不變的同時，又能更好地區(qū)分預給極點的位置。給出的數值實例很好地驗證了文中理論的有效性和合理性。