張先劍

(國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

武器目標(biāo)分配是現(xiàn)代大規(guī)模攻防作戰(zhàn)的核心問題，它的最終目的是期望通過最優(yōu)的武器目標(biāo)分配方案，充分發(fā)揮武器系統(tǒng)的整體效能，以實(shí)現(xiàn)攻防作戰(zhàn)的最佳結(jié)局。傳統(tǒng)研究主要利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法、粒子群優(yōu)化、蟻群優(yōu)化、類電磁算法等方法解決靜態(tài)或動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配問題，但大部分研究[1-8]均把目標(biāo)設(shè)想為無智慧、無對(duì)抗能力的被動(dòng)防御對(duì)象，單一從己方角度考慮武器目標(biāo)分配問題，忽略對(duì)手的策略和利益，沒有充分考慮實(shí)戰(zhàn)中的動(dòng)態(tài)博弈特征——作戰(zhàn)雙方行動(dòng)和策略的關(guān)聯(lián)性。攻擊與防御是互相對(duì)立的雙方，共存于博弈的統(tǒng)一體中，相互制約、相互激勵(lì)，沒有考慮對(duì)抗雙方動(dòng)態(tài)博弈特性的攻防決策難以應(yīng)用于實(shí)戰(zhàn)。具體到武器目標(biāo)分配問題研究，必須同時(shí)兼顧作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)術(shù)策略[9-10]、效能指標(biāo)等重要因素，這正是使用博弈論方法的優(yōu)勢(shì)之處。

針對(duì)動(dòng)態(tài)武器目標(biāo)分配問題，本研究將重點(diǎn)聚焦對(duì)抗建模，構(gòu)建了基于雙方動(dòng)態(tài)博弈的綜合數(shù)學(xué)模型，并利用納什均衡和帕累托最優(yōu)算法進(jìn)行求解。

1 基于納什均衡的武器目標(biāo)分配

1.1 雙方博弈

博弈中競技者(決策主體)都是理性的，在選擇決策的時(shí)候都有著明確的“使自己的利益最大化”的目標(biāo)。博弈論就是專門研究博弈現(xiàn)象中各方是否存在最合理的行動(dòng)方案，以及如何找到合理的行動(dòng)方案即均衡解的數(shù)學(xué)理論和方法。而這里的均衡解，就是一個(gè)能夠得以維持的結(jié)果，或者說是所有競技者不得不接受而又不可能更好的結(jié)果[11]。

定義1博弈可以描述為式(1)所示數(shù)學(xué)形式[12]。

Γ=[N,P,{SK},J,{J(xK)}]

(1)

式中：N為任意的競技者集合；P為聯(lián)合組織(機(jī)構(gòu))的集合；K表示具有共同行動(dòng)和利益的競技者小組；SK為聯(lián)合K∈P的任意策略集合；J為在P上的所有博弈結(jié)果的任意集合；J(xK)為如果聯(lián)合K采取策略xK，那么在P上可能的結(jié)果集合。

一般情況下，博弈可以簡化為包含競技者、策略和盈利(損失)函數(shù)的表達(dá)形式。

Γ=[N,S,J]

(2)

式中，N=[1,2,…,n]，S=[S1,S2,…,Sn]，J=[J1,J2,…,Jn]。

定義2策略qr=(qr,1,…,qr,mk)是指標(biāo)函數(shù)J的納什均衡解，如果對(duì)于任意的qi∈Si,有

(3)

1.2 武器目標(biāo)分配模型

并且有

考慮距離因素，如

(4)

那么，被擊中的第j類目標(biāo)平均數(shù)量為：

(5)

(6)

式中，tk-1→tk為多個(gè)導(dǎo)彈發(fā)射裝置單次齊射周期。

那么目標(biāo)損失函數(shù)可以表示為：

Je(ν)=∑aesJes

其中，索引i，j分別代表主動(dòng)武器和被動(dòng)目標(biāo)。

損失函數(shù)有這樣的思想，即每一方都期望敵方主、被動(dòng)目標(biāo)最終數(shù)量最小，而使己方主、被動(dòng)目標(biāo)數(shù)量最大化，并且通過權(quán)重系數(shù)控制敵方主動(dòng)武器數(shù)量的衰減速度。那么有J甲→min，J乙→min。

1.3 武器目標(biāo)動(dòng)態(tài)分配算法

使用納什均衡的武器目標(biāo)分配算法共分四個(gè)階段：在第一階段獲取作戰(zhàn)雙方的目標(biāo)信息，如數(shù)量、速度、距離、飛近時(shí)間、方位等；在第二階段根據(jù)目標(biāo)信息和命中率函數(shù)計(jì)算命中率；在第三階段構(gòu)建策略空間和策略收益；在第四階段尋找最優(yōu)策略。

1.3.1 獲取作戰(zhàn)雙方武器目標(biāo)信息

在作戰(zhàn)期間，偵察預(yù)警探測(cè)系統(tǒng)全天候?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)各種飛行目標(biāo)，并獲得如出發(fā)位置、數(shù)量、速度、距離、實(shí)時(shí)空間位置、方位等信息，對(duì)獲取的敵方信息進(jìn)行鑒別，如判斷是否佯攻、使用欺騙手段和制造假象等。分析敵方作戰(zhàn)行動(dòng)意圖、策略和可能攻擊目標(biāo)區(qū)域。

在獲取目標(biāo)信息后，可以利用層次分析法(Analytic Hierarchy Process, AHP)等方法根據(jù)目標(biāo)速度、高度、距離和方位角等因素進(jìn)行多因素綜合威脅排序。

1.3.2 計(jì)算命中率

基于1.2節(jié)中獲得的距離、方位等信息，根據(jù)式(4)計(jì)算命中率。在計(jì)算命中率時(shí)，還應(yīng)綜合考慮電子對(duì)抗環(huán)境對(duì)于導(dǎo)彈命中率的影響，比如地面防御系統(tǒng)電子干擾裝置會(huì)對(duì)空襲目標(biāo)的命中率產(chǎn)生直接積極影響，也可能會(huì)對(duì)己方攔截導(dǎo)彈產(chǎn)生微弱消極影響。電子對(duì)抗影響因素主要跟電子干擾裝置的功率有關(guān)。

Pij=Pijmax·e-μi·λd·e-μj·λk

(7)

1.3.3 構(gòu)建策略空間和策略收益

策略空間與控制參數(shù)的數(shù)量和取值步長有關(guān)，設(shè)步長為l，控制參數(shù)νij數(shù)量為q，則單次齊射目標(biāo)分配策略空間數(shù)為(1/l)q。

1.3.4 尋找最優(yōu)策略

首先獲得所有符合策略收益的策略解集合，然后根據(jù)納什均衡解定義，在有效解的集合中選取符合作戰(zhàn)雙方目標(biāo)損失函數(shù)的均衡解。在均衡解的選取過程中應(yīng)注意，納什均衡解可能有一個(gè)或多個(gè)，此時(shí)應(yīng)根據(jù)極大極小原理進(jìn)行篩選(基于最壞情況考慮，爭取最好的結(jié)果)。

2 實(shí)例分析

2.1 基本想定

作戰(zhàn)想定：攻擊方首先使用陸、海、空平臺(tái)發(fā)射若干戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈打擊防御方地面防御系統(tǒng)，企圖癱瘓或消滅防御方防空力量，然后指派戰(zhàn)斗機(jī)編隊(duì)護(hù)航轟炸機(jī)編隊(duì)對(duì)防御方重要目標(biāo)實(shí)施打擊。防御方實(shí)施分層分段攔截，轟炸機(jī)的威脅指數(shù)最高，戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈其次。

所研究的目標(biāo)動(dòng)態(tài)分配是指在連續(xù)動(dòng)態(tài)作戰(zhàn)中不同階段的目標(biāo)分配，階段劃分是由地面攔截導(dǎo)彈的射程決定的，比如首先是遠(yuǎn)程攔截，而后進(jìn)行中近程攔截(如圖1所示)。

圖1 階段劃分示意圖Fig.1 Illustration of stage division

2.2 模型構(gòu)建

設(shè)甲乙兩方參與攻防作戰(zhàn)，甲方為空襲系統(tǒng)，組成包括轟炸機(jī)、導(dǎo)彈、戰(zhàn)斗機(jī)和電子戰(zhàn)飛機(jī)；乙方為地面防御系統(tǒng)，組成包括導(dǎo)彈發(fā)射裝置、雷達(dá)站、電子對(duì)抗裝置和指令站等。

圖2 甲乙雙方對(duì)抗關(guān)系示意圖Fig.2 Illustration of A-B counters relationship

首輪(遠(yuǎn)程攔截防御階段)雙方對(duì)抗過程如圖3所示，空襲系統(tǒng)首先發(fā)射導(dǎo)彈打擊地面防御系統(tǒng)，防御系統(tǒng)遠(yuǎn)程導(dǎo)彈實(shí)施攔截打擊。

圖3 首輪甲乙雙方對(duì)抗關(guān)系示意圖Fig.3 Illustration of A-B counters relationship in the first round

綜合數(shù)學(xué)模型有:

(8)

(9)

次輪(中程攔截防御階段)雙方對(duì)抗過程如圖4所示，首輪攔截打擊之后，由中近程導(dǎo)彈負(fù)責(zé)對(duì)成功突防的導(dǎo)彈和轟炸機(jī)進(jìn)行攔截。

圖4 次輪甲乙雙方對(duì)抗關(guān)系示意圖Fig.4 Illustration of A-B counters relationship in the second round

綜合數(shù)學(xué)模型有：

(10)

(11)

2.3 實(shí)驗(yàn)分析

假設(shè)初始條件如下：X1=14,X2=14,X3=12，X4=14,X5=8,X51=24,X52=32,X6=2,X7=4,X8=2；a11=0.25,a12=0.25,a13=0.45,a14=0.05,a21=0.35,a22=0.35,a23=0.25,a24=0.05,Р521=0.5,P522=0.5,P524=0.5,P3521=0.5,P3522=0.5,P3524=0.5。

首輪對(duì)抗結(jié)果如表1～3所示。

表1 首輪對(duì)抗后數(shù)量變化

表2 首輪打擊配額

表3 首次對(duì)抗損失和收益

次輪對(duì)抗結(jié)果如表4～6所示。

表4 次輪對(duì)抗后數(shù)量變化

表5 次輪打擊配額

表6 次輪對(duì)抗損失和收益

3 結(jié)論

本文指出了國內(nèi)現(xiàn)有針對(duì)武器目標(biāo)分配問題研究的優(yōu)勢(shì)和不足之處，重點(diǎn)闡述使用基于雙方動(dòng)態(tài)博弈的思想解決大規(guī)模作戰(zhàn)武器目標(biāo)分配問題的科學(xué)性和合理性，構(gòu)建了基于雙方博弈的攻防對(duì)抗綜合數(shù)學(xué)模型，并以實(shí)例證明使用納什均衡、帕累托最優(yōu)方法可以有效解決動(dòng)態(tài)武器-目標(biāo)分配問題。

1)基于博弈論方法綜合考慮作戰(zhàn)雙方的策略和行動(dòng)方案，保證了決策方案在實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用中的科學(xué)有效性。

2)提出新穎的建模思維，通過引入狀態(tài)變量、控制參數(shù)和權(quán)重系數(shù)來構(gòu)建策略空間和策略收益，對(duì)武器目標(biāo)分配問題進(jìn)行了求解，獲得了作戰(zhàn)雙方各自最優(yōu)戰(zhàn)術(shù)策略。