魯 相，汪亞順，陳 循，譚源源

(1. 國防科技大學 智能科學學院， 湖南 長沙 410073; 2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 設備設計及測試技術研究所， 四川 綿陽 621000)

隨著產(chǎn)品質(zhì)量水平的不斷提高，近代研制出的產(chǎn)品普遍具有高可靠、長壽命的特點，例如發(fā)光二極管及橡膠密封件等元器件中位壽命可以超過10年[1]。對于這類高可靠性產(chǎn)品，現(xiàn)代工業(yè)廣泛利用加速退化試驗預測其使用壽命和貯存壽命。在加速退化試驗中，將產(chǎn)品置于加速應力水平下并記錄產(chǎn)品樣本的性能退化數(shù)據(jù)，利用加速模型建立應力與退化速率之間的關系。當各試驗應力水平下的失效機理相同時，就可以將加速應力下的試驗結果外推，進而估計在正常應力狀況下的產(chǎn)品壽命。各試驗應力水平下失效機理具有一致性是加速退化試驗結論具備有效性的首要前提，因此需要研究加速退化試驗機理一致性判別方法。

利用試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法或物理分析測試手段，判斷失效機理在試驗各加速應力水平下是否發(fā)生變化，這個過程被定義為失效機理的一致性判別。目前失效機理一致性判別方法可分為3類：概率圖檢驗法[2-4]、基于模型參數(shù)一致性檢驗法[5-9]、基于灰色預測模型檢驗法[10-11]。這些一致性判別方法各有優(yōu)劣，但存在共同的缺點：通常只對壽命服從某一特定分布的產(chǎn)品有效，應用場合受限，因而難以推廣到其他統(tǒng)計分布，并且這些方法對判別結果的誤判風險沒有開展定量分析。因此，提出基于似然比檢驗的失效機理一致性判別方法，該方法適用于多個統(tǒng)計分布，可以定量分析誤判風險，并且模型參數(shù)估計精度較高。

1 機理一致性判別的數(shù)學模型及參數(shù)估計

1.1 兩類加速模型

通常利用混合效應模型[12-13]對高可靠產(chǎn)品退化建模，并認為性能退化量初始值B及退化軌跡形狀參數(shù)α是固定不變的，不同個體間的退化速率存在差異。產(chǎn)品的退化速率Kij在各應力水平Si下一般服從對數(shù)正態(tài)分布LN(μi,σ2),其中σ為對數(shù)標準差，μi為對數(shù)均值(與應力水平有關)。選擇如式(1)所示的混合效應模型。

(1)

在混合效應模型下，當失效機理不變時，提高載荷或溫度的試驗產(chǎn)品統(tǒng)一加速模型為：

μi=a+b·φ(Si)

(2)

式中，φ(Si)為轉換應力水平，溫度為加速應力時φ(Si)=1/Si，載荷為加速應力時φ(Si)=lnSi。

當加速應力范圍較大導致失效機理變化時，式(2)中的參數(shù)a和b不再為常數(shù)，式(2)在較高應力水平下無效。比式(2)更適用的模型可以表述為：

μi=ai+bi·φ(Si)

(3)

可得到如下原假設H0:μi=a+b·φ(Si)和備擇假設H1:μi=ai+bi·φ(Si)。

從上述定義可以看出，在原假設中假定退化速率-應力關系為對數(shù)線性，將原假設對應模型稱為對數(shù)線性加速模型。相比之下，在備擇假設中模型參數(shù)與應力水平有關，將備擇假設對應模型稱為非對數(shù)線性加速模型。式(2)與式(3)的表達式表明原假設對應模型是備擇假設對應模型的一種特例。在對數(shù)線性加速模型中參數(shù)a和b被限定為常數(shù)，導致其獨立參數(shù)少于非對數(shù)線性加速模型。如果兩種假設模型中一種模型是另一模型的特例，則可用似然比檢驗比較兩種模型的擬合優(yōu)度[14-15]，因此似然比檢驗可用于檢驗上述原假設。

1.2 似然比檢驗的基本準則

假定有來自于分布T的隨機樣本t1,t2,…,tn，令θ表示該分布未知參數(shù)向量，則該樣本的似然函數(shù)為：

(4)

令L0(θ)為對數(shù)線性加速模型參數(shù)的似然函數(shù)，L1(θ)為非對數(shù)線性加速模型參數(shù)的似然函數(shù)。對數(shù)線性加速模型參數(shù)的極大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)為：

(5)

非對數(shù)線性加速模型參數(shù)的極大似然估計為：

(6)

似然比統(tǒng)計量可表示為：

(7)

由于包含更多獨立參數(shù)，通常非對數(shù)線性模型對樣本觀測值的擬合效果比對數(shù)線性模型好，但兩類模型也可能都有較好的擬合效果。非對數(shù)線性模型參數(shù)的似然函數(shù)值不小于對數(shù)線性模型的似然函數(shù)值，似然比統(tǒng)計量滿足：

(8)

如果對數(shù)線性模型與非對數(shù)線性模型一樣適用，則似然比較大，反之較小。當似然比統(tǒng)計量數(shù)值過小時似然比檢驗法會拒絕原假設(對數(shù)線性加速模型)，似然比檢驗法的臨界域或拒絕域為：

W={λ≤c} 0

(9)

式中，臨界值c與參數(shù)λ、β有關。β是似然比檢驗中規(guī)定的顯著性水平,β表示將失效機理相同誤判為失效機理變化的風險大小。

1.3 數(shù)學模型及參數(shù)估計

根據(jù)上述分析，首次應用似然比檢驗法辨識加速退化試驗中加速模型的變化，并計算兩種假設模型下對數(shù)似然函數(shù)的極大值。設恒定應力加速退化試驗(Constant Stress Accelerated Degradation Testing, CSADT)采用q個應力水平,在每個加速應力水平Si(i=1,2,…,q)下測試ni個試驗樣本的性能退化量，測試mi次，測試的時間節(jié)點為tik(k=1,2,…,mi)，在每個應力水平下的試驗截止時間為ti，測得退化量數(shù)據(jù)為yijk(j=1,2,…,ni)。建模時取樣本的性能退化量對數(shù)值lnyijk統(tǒng)計分析，混合效應模型下其條件累積分布及條件概率密度函數(shù)可以表示為：

(10)

(11)

其中，Φ(·)和φ(·)表示標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。由式(10)及式(11)可得恒定應力加速退化試驗數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為：

(12)

式中，f(Kij)代表退化速率Kij的概率密度函數(shù)。

(13)

假定采用溫度作為加速應力，在對數(shù)線性加速模型中ai=a,bi=b，取向量δ=(lnB,α,a,b)，Kij=exp(a+b/Si+cij)，yijk=(yij1,…,yijmi)T，tik=(ti1,…,timi)T，協(xié)方差矩陣D=σ2，cij服從正態(tài)分布N(0,σ2)。采用近似極大似然估計法求解模型參數(shù)。

步驟1：在固定協(xié)方差矩陣的情況下，用非線性最小二乘法獲得加速模型參數(shù)a、b、cij和形狀參數(shù)α及退化量初始值B的估計值，估計值是使式(14)最小化的解。

(14)

步驟2：首先將模型函數(shù)在第一步獲得的各參數(shù)估計值處作Taylor展開，根據(jù)模型函數(shù)表達式，有

其中， *代表哈達馬積。

然后利用第一步獲得的估計值求取協(xié)方差矩陣D及其他參數(shù)的極大似然函數(shù)表達式，取

可得對數(shù)線性加速模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

(15)

設定好數(shù)值迭代算法的初始解，利用Newton-Raphson算法[16-19]求解未知參數(shù)估計值，按式(15)計算對數(shù)似然函數(shù)的極大值。

在非對數(shù)線性加速模型中，取向量κ=(lnB,α,μ1,…,μq)，Kij=exp(μi+cij)，yijk=(yij1,…,yijmi)T，tik=(ti1,…,timi)T，協(xié)方差矩陣D=[σ2]。

按以下步驟進行參數(shù)估計。

步驟1：在固定協(xié)方差矩陣的情況下，用非線性最小二乘法獲得加速模型參數(shù)μi、cij和形狀參數(shù)α及退化量初始值B的估計值，估計值是使式(16)最小化的解。

(16)

步驟2：首先將模型函數(shù)在第一步獲得的各參數(shù)估計值處作Taylor展開，根據(jù)模型函數(shù)表達式，有

同樣求取協(xié)方差矩陣D及其他參數(shù)的極大似然函數(shù)表達式，取

可得非對數(shù)線性加速模型的對數(shù)似然函數(shù)為：

(17)

利用Newton-Raphson算法類似得到對數(shù)似然函數(shù)的極大值。

2 失效機理一致性判別準則及方法流程

算出兩種假設下似然函數(shù)極大值后，需要確定似然比統(tǒng)計量的分布，以構建判別準則。多數(shù)情況下難以確定似然比統(tǒng)計量λ的精確抽樣分布，但可以確定大樣本場合下對數(shù)似然比統(tǒng)計量的漸進分布，令

(18)

根據(jù)Wilks提出的廣義似然比統(tǒng)計量的極限分布定理[20]，在原假設成立的情況下，統(tǒng)計量Λ漸進服從自由度為v的卡方分布χ2(v)。自由度v等于在假設H0和H1下的獨立參數(shù)數(shù)目之差，有v=q-2。由式(9)可知，當λ≤c時原假設H0被拒絕，因此當Λ≥-2lnc時對數(shù)線性加速模型無效。利用顯著性水平β及統(tǒng)計量Λ的分布，可以得出

(19)

式中，等式右端表示卡方分布χ2(q-2)的1-β分位數(shù)。

利用式(15)和式(17)計算恒定應力加速退化試驗中兩類模型的極大對數(shù)似然函數(shù)的差值，得到：

ΛCSM=-2[lnL0(δ,D,σε)-lnL1(κ,D,σε)]

(20)

失效機理一致性的判別準則是：

1)如果0<ΛCSM<-2lnc，失效機理在所有應力水平下相同；

2)如果ΛCSM≥-2lnc，失效機理在某一高應力水平下變化。

根據(jù)上述分析，基于似然比檢驗的失效機理一致性判別方法流程如圖1所示。

3 仿真算例

在發(fā)光二極管(Light Emitting Diode, LED)加速試驗中，最高溫度下激活能可能發(fā)生變化。本例中設定退化失效機理發(fā)生變化，在378 K激活能從16.1 kJ/mol轉變?yōu)?2.2 kJ/mol。

圖1 失效機理一致性判別方法流程Fig.1 Flow chart of identification method of failure mechanism consistency

仿真試驗溫度應力水平為298 K、338 K、378 K，試驗樣本量為6，測量間隔為336 h，每個水平下測量次數(shù)為11。設定退化模型參數(shù)分別為a1=-0.546 6，b1=-1933.25(298～338 K)，a2=5.173 1，b2=-3866.49(338～378 K)，B=1.051 6，α=0.65，σ=0.185，σε=0.014。利用式(1)生成仿真退化軌跡。

利用近似極大似然估計法分析仿真數(shù)據(jù)，得出對數(shù)線性模型中未知參數(shù)的極大似然估計，將極大似然估計值與未知參數(shù)真值進行比較，結果如表1所示。

表1結果表明，采用指定的加速模型進行建模及統(tǒng)計分析時，加速模型參數(shù)估計值a、b與真值的偏差較大，估計值近似于兩真值的均值，導致在298 K以下的預測壽命偏大。

表1 對數(shù)線性模型參數(shù)估計值

非對數(shù)線性模型中未知參數(shù)極大似然估計值與真值的比較如表2所示，可以看出，模型各參數(shù)的估計值與真值相差較小，非對數(shù)線性模型擬合效果明顯優(yōu)于對數(shù)線性模型。

進一步可以算得溫度水平在298～378 K下檢驗統(tǒng)計量為：

ΛCSM=-2lnλ=-2(lnL0-lnL1)

=-2×(510.254 7-518.963 2)=17.417

(21)

在298～378 K溫度范圍內(nèi)的試驗應力水平數(shù)為3，給定顯著性水平β=5%，臨界值滿足-2lnc=3.84<ΛCSM。因此在298～378 K范圍內(nèi)失效機理發(fā)生變化，這一判別結果與失效機理發(fā)生變化的原始設定相符，驗證了方法的正確性。

表2 非對數(shù)線性模型參數(shù)估計值

4 應用實例

丁腈橡膠密封件是典型的高可靠性產(chǎn)品，但易于發(fā)生熱氧老化。受熱氧老化的影響，丁腈橡膠密封件在貯存或使用期密封性能會不斷退化。隨著密封性能的退化，橡膠密封性能的高彈性復原力不斷減小，壓縮永久變形不斷增大。因此可以通過觀測壓縮永久變形cs的變化來監(jiān)測退化趨勢，當壓縮永久變形上升到某一臨界值時，認為橡膠密封件密封失效。試驗采用安裝于系統(tǒng)中的橡膠密封件的壓縮率，樣本可以代表在空氣介質(zhì)存儲下系統(tǒng)內(nèi)受壓丁腈橡膠密封件的退化。試驗總樣本量為20，選擇在5個溫度應力水平(333 K、343 K、353 K、373 K、393 K)下進行加速退化試驗，每個應力水平下樣本量為4。密封件在333 K及393 K應力水平下測得的壓縮永久變形量如圖2所示，其他應力水平下曲線形狀類似，不再給出。根據(jù)圖1所示流程對數(shù)據(jù)進行失效機理一致性判別。建立退化模型，將測得的壓縮永久變形cs(無量綱)轉換為性能退化數(shù)據(jù)y，轉換關系式為y=1-cs，采用混合效應模型(1)對試樣退化規(guī)律進行描述。

(a) 333 K丁腈密封圈加速退化試驗數(shù)據(jù) (a) CSADT data of nitrile seal rings at 333 K

(b) 393 K丁腈密封圈加速退化試驗數(shù)據(jù) (b) CSADT data of nitrile seal rings at 393 K圖2 丁腈密封圈恒定應力加速退化試驗數(shù)據(jù)Fig.2 CSADT data of nitrile seal rings

利用近似極大似然估計方法，令ni=4(i=1,2,3)，可求解333～353 K、333～373 K及333～393 K下模型的未知參數(shù)，設定顯著性水平β=10%，進一步算得密封圈試樣在三個不同溫度范圍的假設檢驗結果，如表3所示。

表3 密封圈失效機理一致性判別

根據(jù)失效機理一致性判別方法，結合表3計算結果可知，試驗所用丁腈橡膠密封圈在373 K以上時溫度失效機理發(fā)生變化。Wise等[21]、Le等[22]對類似產(chǎn)品開展失效物理分析，得到368 K溫度以上丁腈橡膠失效機理變化的結果，與本文所得結論基本一致，驗證了本文方法的有效性。

5 結論

高可靠性產(chǎn)品在進行加速退化試驗時，失效機理在高應力水平下可能發(fā)生變化，導致錯誤的壽命預測結果?；谒迫槐葯z驗的加速退化試驗機理一致性判別方法，適用范圍廣，能夠定量分析誤判風險，并給出機理一致性判別結論，得到準確的壽命預測結果。建立非線性加速模型與高可靠長壽命產(chǎn)品失效機理變化間的聯(lián)系，并將似然比檢驗應用于加速退化試驗中對加速模型的辨識，建立了有效的失效機理一致性判別準則及方法。

通過仿真案例及應用實例，進一步驗證了所提方法的有效性。多應力加速退化試驗下產(chǎn)品失效機理的一致性判別較為復雜，相關方法還需要進一步研究。