陸天虹

（上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院，上海 201209）

導(dǎo)數(shù)理論的應(yīng)用非常廣泛，作為函數(shù)基礎(chǔ)理論的深化和應(yīng)用，產(chǎn)生了新的導(dǎo)數(shù)定義，如方向?qū)?shù)、列導(dǎo)數(shù)和對(duì)稱導(dǎo)數(shù)等。國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)金融實(shí)證分析表明，需要將絕對(duì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相對(duì)數(shù)據(jù)，特別需要考慮數(shù)據(jù)的可用性，諸如數(shù)據(jù)應(yīng)用的穩(wěn)定性、數(shù)據(jù)的厚尾現(xiàn)象以及消除數(shù)據(jù)的異方差等，至于大數(shù)據(jù)時(shí)代尤為重要。作為導(dǎo)數(shù)理論的推廣，我們首次提出雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，利用單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)和雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義彈性和成長(zhǎng)等相關(guān)概念，從而揭示對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)理論和相關(guān)彈性理論以及統(tǒng)計(jì)模型理論等的聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律。

一、對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)有許多定義，列導(dǎo)數(shù)、對(duì)稱導(dǎo)數(shù)以及方向?qū)?shù)等，本項(xiàng)目中我們所稱的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)含單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)和雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。

一階單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)就是一般的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。設(shè)正函數(shù)f(x)定義在

[a，b]上，f(x)∈C1，定義L(x)=L1(x)=f'(x)/f(x)為f(x)的一階單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)；

若f(x)∈C2，則稱L2(x)=f''(x)/f'(x)為f(x)的二階單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)；類似可定義其各高階單對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)（注：定義中各階導(dǎo)函數(shù)不含零點(diǎn)，正函數(shù)可通過(guò)絕對(duì)值運(yùn)算推廣為非零函數(shù)，以下同）。

雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)正函數(shù)f(x)定義在[a,b](a＞0)上的C1類函數(shù)，對(duì)x∈[a,b]，定義下列極限

為f(x)的一階雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)（假設(shè)極限存在，注：雙對(duì)數(shù)非重對(duì)數(shù)），記為E(x)(E1(x)=E(x))；同樣也可定義f(x)的各高階雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)En(x)=xLn(x)（注：定義中區(qū)間[a,b]可通過(guò)絕對(duì)值運(yùn)算推廣為任意區(qū)間，如含原點(diǎn)則需要分子區(qū)間討論）。對(duì)多元函數(shù)可類似定義相關(guān)偏導(dǎo)數(shù)。

二、彈性和成長(zhǎng)

（一）彈性函數(shù)和成長(zhǎng)函數(shù)的定義

在經(jīng)濟(jì)金融理論以及實(shí)證分析中，經(jīng)?？紤]到變量之間的彈性關(guān)系。變量之間的彈性關(guān)系揭示了一種變量對(duì)于另一種變量的微小百分比變動(dòng)關(guān)系。

定義2.1 稱函數(shù)L(x)=f'(x)/f(x)為f(x)在[a,b]上的絕對(duì)彈性函數(shù)（或系數(shù)），并記EA(x)=L(x)；稱函數(shù)為f(x)在[a,b]上的（相對(duì)）彈性函數(shù)（或系數(shù)），并記ER(x)=L(x)。

定義2.2 稱函數(shù)L2(x)=f''(x)/f'(x)為f(x)在[a,b]上的絕對(duì)成長(zhǎng)型投資函數(shù)（或系數(shù)），并記GA(x)=L2(x)；稱函數(shù)為f(x)在[a,b]上的（相對(duì)）成長(zhǎng)型投資，簡(jiǎn)稱成長(zhǎng)函數(shù)（或系數(shù)），并記GR(x)=E2(x)。

（二）線性化

定理1.函數(shù)f(x)的彈性可線性化的充要條件是函數(shù)可表示為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積型。

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，當(dāng)且僅當(dāng)變量服從指數(shù)型或冪率分布或兩者乘積型分布時(shí)，建議采用雙對(duì)數(shù)變換模型。

定理2.個(gè)體效用函數(shù)揭示二基金資產(chǎn)分離成長(zhǎng)型的充要條件是該效用函數(shù)的成長(zhǎng)系數(shù)的倒數(shù)可線性化。

投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間投資組合配置時(shí)，如果個(gè)體效用函數(shù)滿足其成長(zhǎng)系數(shù)的倒數(shù)呈現(xiàn)線性化，那么可考慮二基金資產(chǎn)分離成長(zhǎng)型投資決策。

負(fù)指數(shù)效用函數(shù)

冪效用函數(shù)

（0.5）f(x)Yx=x0處可導(dǎo)C記為f(x)∈Dx=x0

f(x)∈Dx=x0?f(x)在x0處左、右導(dǎo)數(shù)存在并相等，即f(x)∈Dx=x0?f(x)∈Cx=x0,反之不成立，如

反例：f(x)=|x|,f(x)∈Cx=0,但f(x)?Dx=0.

若?x∈I(?D),有f(x)∈Dx，則稱函數(shù)f(x)在I上 可導(dǎo)（或在I上存在一階導(dǎo)函數(shù)f'(x))，同時(shí)記f(x)∈D，且有I

f(x)∈DI?f(x)∈CI.

注：f(x)在端點(diǎn)處的可導(dǎo)定義為f(x)在該端點(diǎn)的一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在

(1)f(x)在I上一階連續(xù)可導(dǎo)，記為f'(x)∈CI

若f(x)在I上存在一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，我們就稱f(x)為第一類

光滑函數(shù)，記為f(x)∈C1(或C1I).

（1.5）f(x)Yx=x0處二階可導(dǎo)C記為f(x)∈D(2)x=x0（或D''x=x0）

f(x)∈D(2)x=x0?f'(x)在x0處可導(dǎo)，即

若?x∈I(?D),有f'(x)∈D，則稱函數(shù)f(x)在I上 二階可導(dǎo)（或x

在I上存在二階導(dǎo)函數(shù)f''(x))，同時(shí)記f(x)∈D(2)，且有I

f(x)∈D(2)I?f'(x)∈CI.

(2)f(x)在I上二階連續(xù)可導(dǎo)，記為f''(x)∈CI

若f(x)在I上存在二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，我們稱f(x)為第二類

光滑函數(shù)，記為f(x)∈C2(或C2I).

三、對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義

（一）一階對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義

（二）二階對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義

研究表明，個(gè)體投資者其效用函數(shù)揭示二基金資產(chǎn)分離成長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)其效用函數(shù)的近似曲率半徑呈現(xiàn)線性化。個(gè)體效用函數(shù)類屬二次函數(shù)、負(fù)指數(shù)函數(shù)、狹義冪函數(shù)以及廣義冪函數(shù)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的近似曲率半徑是線性函數(shù)，因此相應(yīng)的個(gè)體投資者資產(chǎn)配置呈現(xiàn)二基金資產(chǎn)分離成長(zhǎng)型。進(jìn)一步研究表明，隨著近似曲率的定義逐步趨向曲率（復(fù)雜化），研究個(gè)體投資者效用函數(shù)的范圍越來(lái)越廣泛，投資者的資產(chǎn)配置將更加工程化精細(xì)化。

表1 內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律

表1續(xù)：

設(shè)解釋變量x由觀察得到，記x0=E為真值，被解釋變量y由擬合函數(shù)y=f(x)給出。若已知觀察樣本x的 誤差限為δx，即|Δx|=|x-x0|≤δx，則當(dāng)δx很小時(shí)，|Δy|=|f(x)-f(x0)|≈|(x0)Δx|≤|(x0)|δx=δy,δy稱為被解釋變量y的誤差限，而y的 相對(duì)誤差限則定義為

誤差估計(jì)

該式表明被解釋變量的相對(duì)誤差限在解釋變量的誤差限基礎(chǔ)上被擴(kuò)大了|L(x0)|倍（以對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)或絕對(duì)彈性系數(shù)為杠桿系數(shù)），同時(shí)兩個(gè)變量各自的相對(duì)誤差限之比正好是（相對(duì)）彈性系數(shù)。

進(jìn)一步我們也可以得到（考慮二階展開）：

四、對(duì)數(shù)變換

我們?cè)谘芯勘唤忉屪兞亢徒忉屪兞康年P(guān)系時(shí)，經(jīng)常要考慮到變量之間蘊(yùn)含的相互關(guān)系，絕對(duì)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相對(duì)數(shù)據(jù)（如環(huán)比數(shù)據(jù)等），消除數(shù)據(jù)之間的異方差性，以及將變量的指數(shù)趨勢(shì)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性趨勢(shì)等，因此有必要對(duì)變量引入對(duì)數(shù)變換。統(tǒng)計(jì)研究中，對(duì)數(shù)變換處理數(shù)據(jù)主要分單對(duì)數(shù)變換法和雙對(duì)數(shù)變換法。（1）單對(duì)數(shù)變換法。該對(duì)數(shù)變換法主要是單獨(dú)對(duì)解釋變量或被解釋變量采取對(duì)數(shù)變換，是數(shù)據(jù)擬合中常用的方法。經(jīng)典情形如：我們發(fā)現(xiàn)解釋變量呈現(xiàn)偏態(tài)分布，如果對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后服從正態(tài)分布，這就是經(jīng)典的具有再生性的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。如果考慮對(duì)縱坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，則預(yù)期獲得較好的效果。（2）雙對(duì)數(shù)變換法。該對(duì)數(shù)變換法是對(duì)解釋變量和被解釋變量均進(jìn)行對(duì)數(shù)變換處理。對(duì)數(shù)變換應(yīng)用比較廣泛，在前述對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，關(guān)于對(duì)數(shù)變換我們得到了新的認(rèn)識(shí)，以下對(duì)雙對(duì)數(shù)變換給出一個(gè)簡(jiǎn)單模型。

如果各解釋變量和被解釋變量之間存在著可線性化的彈性關(guān)系，那么根據(jù)前述定理，我們采用雙對(duì)數(shù)線性回歸模型進(jìn)行分析?？紤]冪函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)或兩者乘積型）關(guān)系型：

于是，經(jīng)過(guò)雙對(duì)數(shù)變換，建立總體模型如下：

lny=lna0+a1lnx1+a2lnx2+…+anlnxn+lnε0

lny=lna0+a1lnx1+a2lnx2+…+anlnxn+ln[1+ε0/E(y)].

我們知道，許多經(jīng)濟(jì)變量之間相互表現(xiàn)為可線性化（或擬線性化）的彈性關(guān)系。著名的Box-Cox變換可看作單對(duì)數(shù)變換和冪效用函數(shù)類型。經(jīng)濟(jì)金融以及統(tǒng)計(jì)分析中，效用函數(shù)常表現(xiàn)為冪函數(shù)或（負(fù)）指數(shù)函數(shù)型。從統(tǒng)計(jì)角度而言，多數(shù)變量采樣數(shù)據(jù)相對(duì)而言更接近對(duì)數(shù)正態(tài)分布。因此，我們?cè)谘芯孔兞恐g相互關(guān)系時(shí)，如果解釋變量和被解釋變量之間蘊(yùn)含可線性化的彈性關(guān)系，那么根據(jù)雙對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念以及前述定理，可以考慮對(duì)變量采用雙對(duì)數(shù)變換進(jìn)行處理，建立雙對(duì)數(shù)變換模型。