李 斌，趙榮珍

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

燈泡貫流式水電機(jī)組中軸系各部件由于制造和裝配不精確會(huì)產(chǎn)生不平衡質(zhì)量，其產(chǎn)生的離心力會(huì)以一定的頻率作用在軸系上，使軸系做強(qiáng)迫振動(dòng)。嚴(yán)重影響機(jī)組的振動(dòng)。如果不平衡量的存在導(dǎo)致機(jī)組軸系的振動(dòng)幅度過(guò)大，會(huì)引起軸系碰摩，裂紋等故障的發(fā)生，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸斷裂。因此，進(jìn)行軸系的不平衡響應(yīng)分析，準(zhǔn)確把握其動(dòng)力學(xué)特性，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)機(jī)組軸系優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究。張歡，陳予恕[1]等基于有限元法建立了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)，給出了雙轉(zhuǎn)子-機(jī)匣系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；胡絢等[2]應(yīng)用傳遞矩陣法分析了一種具有中介軸承的反向旋轉(zhuǎn)雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)不平衡響應(yīng)的變化規(guī)律，研究了內(nèi)外轉(zhuǎn)子盤軸心軌跡和質(zhì)心的變化特點(diǎn)，并進(jìn)行了相應(yīng)的試驗(yàn)研究；M Tiwari等[3]采用了高階Poincare映射和插值技術(shù)的概念，對(duì)具有不平衡并支撐在滾珠軸承上的水平剛性轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行分析，找出了系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定性；Gagnol等[4]在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上建立了高速主軸-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同速度范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)性能變化，提出了新的穩(wěn)定性葉圖;陳小安等[5]基于電磁學(xué)和機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本理論，建立了各種偏心狀態(tài)下高速電主軸的廣義不平衡力表達(dá)式，根據(jù)所建動(dòng)力學(xué)模型獲得高速電主軸在不同預(yù)加載荷、軸承配置下的固有頻率和不平衡響應(yīng)等動(dòng)態(tài)特性；Xul J等[6]通過(guò)理論解和數(shù)值模擬兩種方法研究不平衡引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，揭示了主軸系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞特性和不同類型不平衡作用下的變化規(guī)律；繆紅燕等[7]推導(dǎo)了簡(jiǎn)單Jeffcott轉(zhuǎn)子幾何中心運(yùn)動(dòng)的解析表達(dá)式及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)的幅值，詳細(xì)討論了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)初始條件引起的瞬態(tài)振動(dòng)、同頻振動(dòng)和伴隨自由振動(dòng)的特性以及阻尼和啟動(dòng)加速度對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，此外建立了彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型,通過(guò)直接積分法求得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),得到系統(tǒng)過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的共振幅值，并與試驗(yàn)取得一致的結(jié)果。

以上研究對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)組，汽輪機(jī)組，高速數(shù)控機(jī)床等高速轉(zhuǎn)子在不平衡激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)行為分析提供了借鑒與參考。但國(guó)內(nèi)外針對(duì)燈泡貫流式水電機(jī)組軸系這種低速轉(zhuǎn)子的研究較少。然而，隨著低水頭水電站的興建趨勢(shì)，燈泡貫流式水電機(jī)組作為低水頭水電站最經(jīng)濟(jì)有利的機(jī)型，必將得到更為廣泛的應(yīng)用。因此，本文以某型號(hào)燈泡貫流式水電機(jī)組為研究對(duì)象，充分考慮電磁拉力、推力軸承、水導(dǎo)軸承、附加水質(zhì)量的影響，基于Riccati傳遞矩陣法[8]，建立機(jī)組軸系動(dòng)力學(xué)分析模型，對(duì)同一轉(zhuǎn)速和不同轉(zhuǎn)速下軸系的不平衡響應(yīng)特性進(jìn)行分析，得到了一些有意義的結(jié)論。

1 理論簡(jiǎn)介

設(shè)N個(gè)盤和N-1段軸組成N個(gè)盤軸單元(第N段軸長(zhǎng)ln=

0)，如圖1所示。每一個(gè)單元的狀態(tài)Z可由4個(gè)參數(shù)表示：剪力Q、彎矩M、撓度y、轉(zhuǎn)角θ，用向量的形式表示為：Z=[yθMQ]T。

圖1 第i單元受力圖Fig.1 Force diagram of unit i

剛性薄圓盤兩側(cè)狀態(tài)量關(guān)系為：

(1)

式中：Ω為轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度；ω為轉(zhuǎn)子渦動(dòng)角速度。

對(duì)于燈泡貫流式機(jī)組，組合軸承部分由徑向軸承和推力軸承兩部分構(gòu)成。當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生彎曲振動(dòng)時(shí)，推力軸承的鏡板會(huì)隨著軸的彎曲振動(dòng)而傾斜，此時(shí)，推力軸承會(huì)因轉(zhuǎn)子振動(dòng)而產(chǎn)生一恢復(fù)力矩，相當(dāng)于轉(zhuǎn)角彈簧作用的結(jié)果，這一力矩應(yīng)加入到狀態(tài)量的傳遞關(guān)系中，求臨界轉(zhuǎn)速時(shí)Ω/ω=1，故傳遞關(guān)系可表示為：

(2)

因此，相鄰兩單元狀態(tài)向量間的傳遞關(guān)系為：

Zi+1=TiZi

(3)

其中，Ti為第i個(gè)單元的傳遞矩陣，其表達(dá)式為：

(4)

式中：l為單元軸段長(zhǎng)度；m為單元的總質(zhì)量；Jp為轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jd為轉(zhuǎn)子的直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；EI為軸段截面的抗彎剛度；Kj為單元處的支持剛度；Kθ為推力軸承的角剛度作用。

(5)

式中：G為剪切彈性模量；A為軸段橫截面積；Ks為截面形狀系數(shù)，對(duì)于圓截面取10/9，空心圓截面取3/2。

1.1 臨界轉(zhuǎn)速

(6)

(7)

引入Riccati變換：{f}i=[s]i{e}i，代入式(7)推導(dǎo)可得Riccati傳遞矩陣遞推公式為：

(8)

1.2 不平衡響應(yīng)

軸系單元存在不平衡質(zhì)量時(shí)，第i個(gè)單元的傳遞關(guān)系為：

(9)

(10)

將Riccati變換式代入式(10)可得遞推公式：

fi+1=Si+1ei+1+Pi+1

(11)

(12)

Pi+1={u11P+Ff}i-Si+1{u21P+Fe}i

(13)

2 分析模型的建立

2.1 軸系離散化模型的建立

根據(jù)傳遞矩陣法將機(jī)組軸系各部分離散化為一個(gè)由若干集總質(zhì)量組成的多自由度系統(tǒng)。即沿軸線把軸系的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等集總到若干結(jié)點(diǎn)(圓盤)上，這些結(jié)點(diǎn)一般選擇在軸截面、端面和支承中心等位置。若軸系中有等直徑長(zhǎng)軸段，也要對(duì)其進(jìn)行集總化處理。結(jié)點(diǎn)選取越多，對(duì)軸系計(jì)算的精度越高，但計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng)。

對(duì)于主軸自身，依據(jù)其直徑尺寸簡(jiǎn)化成空心階梯軸的形式。對(duì)于電機(jī)轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)輪等不規(guī)則的幾何體根據(jù)等效前后質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變的原則將其轉(zhuǎn)化成階梯軸的形式，成為軸系的一部分，如圖2所示，然后對(duì)軸系整體進(jìn)行離散化。在水輪機(jī)負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，充填在轉(zhuǎn)輪葉片間的水對(duì)軸系的運(yùn)行也有很大影響，其中水體附加質(zhì)量是相應(yīng)結(jié)點(diǎn)質(zhì)量的20%[9]，可直接與轉(zhuǎn)輪質(zhì)量合為一體作用于轉(zhuǎn)輪中。

圖2 軸系等效圖Fig.2 Equivalent diagram of shaft system

為使集中化帶來(lái)的臨界轉(zhuǎn)速誤差小于1%，那么結(jié)點(diǎn)數(shù)N應(yīng)滿足：N≥1+5.34r。其中r為要求計(jì)算的臨界轉(zhuǎn)速的最高階數(shù)。在等直徑的長(zhǎng)軸段，極易出現(xiàn)因軸段長(zhǎng)度選取不當(dāng)出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量數(shù)值為負(fù)值的情況，這會(huì)對(duì)軸系動(dòng)力特性的計(jì)算有很大影響。為避免此種情況，應(yīng)對(duì)其軸段長(zhǎng)度的選取作一定約束。根據(jù)計(jì)算，軸段長(zhǎng)度與其內(nèi)外徑關(guān)系為：2l2

2.2 邊界條件的確定

機(jī)組在運(yùn)行過(guò)程中，都會(huì)存在轉(zhuǎn)子與定子間間隙不相等的情況，這會(huì)引起定子、轉(zhuǎn)子間氣隙不均勻，從而產(chǎn)生不平衡磁拉力。根據(jù)不平衡磁拉力的特點(diǎn)，在計(jì)算中處理為一個(gè)具有負(fù)剛度系數(shù)的彈性支承，其線性表達(dá)式為[10]:

(14)

(15)

式中：D為定子鐵芯內(nèi)徑；L為定子鐵芯長(zhǎng)度；δ為氣隙長(zhǎng)度；B為氣隙磁通密度；e為轉(zhuǎn)子偏心；K為單位長(zhǎng)度的轉(zhuǎn)子單位偏心時(shí)所受的磁拉力。

結(jié)合相關(guān)參數(shù)，根據(jù)式(15)可求得轉(zhuǎn)子處不平衡磁拉力等效的負(fù)剛度值K1=-3.34×108(N/m)。

2.3 軸承剛度的確定

燈泡貫流式水電機(jī)組軸系支撐由轉(zhuǎn)子處的組合軸承和轉(zhuǎn)輪處的水導(dǎo)軸承組成。對(duì)于水導(dǎo)軸承剛度和組合軸承中徑向剛度?？梢酝ㄟ^(guò)求解油膜動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算方法獲得[11]。油膜動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算方法采用在靜平衡位置加小擾動(dòng)而計(jì)算油膜力增量的辦法。

設(shè)軸頸靜平衡位置為ε0，ψ0，此時(shí)油膜厚度為h0=C+ecos (ζ-ψ)=C[1+εcos (ζ-ψ)],油膜壓力為p0，由Reynolds方程求得：

(16)

給軸頸以小位移Δx、Δy和小速度Δx、Δy油膜厚度變?yōu)椋?/p>

h=h0+Δh=h0+Δxsinζ-Δycosζ

(17)

相應(yīng)的油膜壓力變?yōu)閜：

(18)

將式(17)和式(18)帶入Reynolds方程，以擾動(dòng)微量加以歸并，并考慮式(16)，可得到下式：

(19)

由于在本研究中考慮軸承支承各向同性，忽略交叉剛度的影響。在軸系自振特性的分析中，阻尼的影響很小，可忽略不計(jì)[12]。根據(jù)本節(jié)理論求得徑向軸承處剛度K2=1.76×109(N/m)，水導(dǎo)軸承處剛度K3=1.82×109(N/m)。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

根據(jù)節(jié)2中軸系動(dòng)力學(xué)模型的建立方法，將本機(jī)組軸系集總為27個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算，如圖3所示，并給出軸系等效參數(shù)值見表1。由圖3可知，K1為不平衡磁拉力的作用，K2、K3分別為徑向軸承和水導(dǎo)軸承處的作用。

圖3 軸系傳遞矩陣模型Fig.3 Transfer matrix model of shaft system

表1 軸系等效參數(shù)表Tab.1 Equivalent parameter table of shaft system

3.1 推力軸承作用對(duì)軸系臨界轉(zhuǎn)速的影響

通過(guò)加入推力軸承作用的角剛度值，研究軸系的臨界轉(zhuǎn)速變化情況。根據(jù)機(jī)組自身參數(shù)求得推力軸承角剛度系數(shù)約為Kθ=2×105(N·m/rad)，將其加入模型中，計(jì)算得出軸系的前兩階臨界轉(zhuǎn)速，與忽略推力軸承作用時(shí)軸系前兩階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)比如表2所示。

表2 軸系臨界轉(zhuǎn)速 r/min

由表2可知，計(jì)算模型中加入推力軸承的角剛度作用時(shí)，軸系的前兩階臨界轉(zhuǎn)速都會(huì)增大，因此，在計(jì)算時(shí)不能忽略。

3.2 額定轉(zhuǎn)速下軸系的位移響應(yīng)

機(jī)組以額定轉(zhuǎn)速69.2 r/min運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，假設(shè)軸系重要節(jié)點(diǎn)2(電機(jī)轉(zhuǎn)子處)、節(jié)點(diǎn)6(徑向軸承處)、節(jié)點(diǎn)18(水導(dǎo)軸承處)、節(jié)點(diǎn)25(轉(zhuǎn)輪處)分別存在不平衡量2 kg·m時(shí)，軸系各處的位移響應(yīng)如圖4所示。

圖4 額定轉(zhuǎn)速下各節(jié)點(diǎn)存在不平衡質(zhì)量時(shí)軸系的位移響應(yīng)Fig.4 Displacement response of shaft system with unbalanced mass at different nodes at rated speed

由圖4可知，同等情況下，節(jié)點(diǎn)2、6、18處存在不平衡量時(shí)，整個(gè)軸系位移響應(yīng)比較小，其中節(jié)點(diǎn)18處存在不平衡量時(shí)，軸系位移響應(yīng)最小，而節(jié)點(diǎn)25(轉(zhuǎn)輪)處存在不平衡量時(shí)，整個(gè)軸系位移響應(yīng)最大。由此可知，當(dāng)轉(zhuǎn)輪處存在不平衡量時(shí)，軸系各結(jié)點(diǎn)振動(dòng)的位移響應(yīng)最明顯。

3.3 不同轉(zhuǎn)速下軸系的位移響應(yīng)

由3.2分析可知，節(jié)點(diǎn)25(轉(zhuǎn)輪處)存在不平衡量時(shí)，整個(gè)軸系響應(yīng)最大；節(jié)點(diǎn)18(水導(dǎo)軸承處)存在不平衡量時(shí)，軸系響應(yīng)最小。本節(jié)以節(jié)點(diǎn)18，節(jié)點(diǎn)25為例，研究不同轉(zhuǎn)速下，兩處結(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)情況。假設(shè)軸系轉(zhuǎn)速在0～1 150 r/min變化，不平衡量為2 kg·m，分別存在于節(jié)點(diǎn)2、6時(shí)，節(jié)點(diǎn)18、25的位移響應(yīng)響應(yīng)如圖5所示。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下兩節(jié)點(diǎn)處的位移響應(yīng)Fig.5 Displacement response of two nodes at different speeds

由圖5可知，隨著轉(zhuǎn)速的增加，兩節(jié)點(diǎn)處位移響應(yīng)曲線都會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)峰值，第一個(gè)峰值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)速為463.6 r/min，第二個(gè)峰值出現(xiàn)在轉(zhuǎn)速為845.1 r/min時(shí)，此為軸系的前兩階臨界轉(zhuǎn)速，與3.1求解出的臨界轉(zhuǎn)速值基本一致，由此可知，除直接求解臨界轉(zhuǎn)速外，也可通過(guò)分析不同轉(zhuǎn)速下結(jié)點(diǎn)的不平衡響應(yīng)情況來(lái)求解軸系的臨界轉(zhuǎn)速。由圖中可知，軸系存在不平衡量時(shí)，當(dāng)軸系轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速附近，軸系位移響應(yīng)會(huì)急劇增大，造成機(jī)組運(yùn)轉(zhuǎn)不穩(wěn)定，影響機(jī)組的運(yùn)行安全。

3.4 不平衡量值對(duì)軸系位移響應(yīng)的影響

機(jī)組以額定轉(zhuǎn)速69.2 r/min運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，將不平衡質(zhì)量以1 kg·m為單位增加，施加在節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)6上，分別研究節(jié)點(diǎn)18、25處位移響應(yīng)的變化情況。由圖6可知，軸系在額定轉(zhuǎn)速下運(yùn)行，不平衡量從1 kg·m增加到6 kg·m時(shí)，節(jié)點(diǎn)18和節(jié)點(diǎn)25處的位移響應(yīng)值變化趨勢(shì)皆為逐漸增大。由此可得出，任一位置存在不平衡量時(shí)，軸系各處位移響應(yīng)值隨不平衡量的增加而增大。

圖6 不平衡量值對(duì)軸系位移響應(yīng)的影響情況Fig.6 Influence of unbalanced mass on shaft displacement response

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于Riccati傳遞矩陣法，以某型號(hào)燈泡貫流式水電機(jī)組軸系為研究對(duì)象，建立其主軸-軸承系統(tǒng)整體分析模型，求解其臨界轉(zhuǎn)速并研究了其不平衡響應(yīng)，得出以下結(jié)論：

(1)推力軸承的角剛度作用有增大機(jī)組臨界轉(zhuǎn)速的效果，在計(jì)算時(shí)應(yīng)充分考慮。

(2)同等情況下，軸系各處存在不平衡質(zhì)量時(shí)，對(duì)軸系振動(dòng)的影響程度不同；當(dāng)轉(zhuǎn)輪處存在不平衡質(zhì)量時(shí)，對(duì)整個(gè)軸系振動(dòng)的影響最大，軸系響應(yīng)最為敏感。因此，應(yīng)盡量保證轉(zhuǎn)輪設(shè)計(jì)精度，避免不平衡質(zhì)量的出現(xiàn)。

(3)軸系存在不平衡質(zhì)量時(shí)，軸系臨界轉(zhuǎn)速的存在，會(huì)急劇增大軸系的位移響應(yīng)值。因此在機(jī)組運(yùn)行時(shí)應(yīng)使軸系轉(zhuǎn)速極力避開其臨界轉(zhuǎn)速。

(4)軸系存在不平衡質(zhì)量時(shí)，軸系各處的位移響應(yīng)值與不平衡量的大小成正比關(guān)系，故在設(shè)計(jì)安裝時(shí)應(yīng)盡量減少不平衡量，此項(xiàng)結(jié)論也可作為軸系動(dòng)平衡測(cè)試的參考依據(jù)。