安徽 蔣玉芳 張道梅

在以往高考中，從平面向量的命題形式可以看出，整個命題過程緊扣課本，重點(diǎn)突出，有時考查單一知識點(diǎn)，有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查平面向量的有關(guān)概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容．試題難度多為容易題或中檔題，少數(shù)為選擇或填空的壓軸題，尤其是近幾年的高考和模擬考試中，平面向量難度有所提升，難點(diǎn)多為求解數(shù)量積的取值范圍、模的取值范圍等問題，與其關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)有函數(shù)、直線與圓、基本不等式等，題目綜合性比較強(qiáng)，大多數(shù)學(xué)生求解起來相對困難.那么對于這類問題有什么好的處理策略嗎？下面本文將呈現(xiàn)出針對該難點(diǎn)的幾種處理策略.

【策略一】基底法

此法所涉及的知識點(diǎn)是平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即將題目涉及的所有向量，通過線性運(yùn)算統(tǒng)一成兩個不共線的向量，即“多元”變“少元”.這樣處理的好處是使題干的條件所表達(dá)的含義更“透明”，思路更清晰，性質(zhì)運(yùn)用得更合理.具體的解題步驟是：①通過題干合理選取基底；②利用線性運(yùn)算，統(tǒng)一向量；③結(jié)合已知建立等量關(guān)系或函數(shù)關(guān)系等即可求解.

【策略二】構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系

平面向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，尤其是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入，使得向量與代數(shù)的互換運(yùn)算更是深入人心.一些基于考查向量和代數(shù)的互換運(yùn)算的好題應(yīng)運(yùn)而生，這些題目絕大多數(shù)都有一個很顯著的特征：已知某兩個向量所成角.通過這個已知即可建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.具體解題步驟是：①通過題干，合理建系；②將所有向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式和法則對原題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸；④在最后的計算時，往往需要借助函數(shù)、基本不等式、平面幾何等知識方可求解.

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A.13 B.15

C.19 D.21

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

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【答案】B．

【策略三】構(gòu)造圖形

在策略二中，談到平面向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，也已經(jīng)了解了向量與代數(shù)之間是如何轉(zhuǎn)換的，那么向量與幾何之間又是通過什么進(jìn)行轉(zhuǎn)化的呢？一種轉(zhuǎn)化方式是通過平面向量的幾何意義“構(gòu)造平面圖形”，使問題圖形化，此種轉(zhuǎn)化稱為“形化”.而對于平面向量中有關(guān)最值問題通過“形化”后， 問題更具有直觀性，即可借助于平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷.此法具體解題步驟是：①將題干向量用有向線段表示；②通過已知構(gòu)造圖形；③判斷動點(diǎn)軌跡；④利用動點(diǎn)軌跡的特征即可求解.

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【評注】通過此題可以發(fā)現(xiàn)，利用平面圖形解決向量問題更清晰、更簡潔.而此法需要學(xué)生對平面向量的幾何意義和一些特殊的平面圖形特征的熟練掌握，同時對學(xué)生空間想象能力也有一定的要求.

【變式3】(2017·浙江寧波2模)已知|a|=|b|=1，a與b夾角為90°，若c滿足(a-c)(b-c)=0，則|c|的最大值是________．

【策略四】極化恒等式

【策略五】利用等和線

【評注】此法和“極化恒等式”有異曲同工之處，都源于教材，又高于教材，其本質(zhì)是平面向量共線基本定理的推論和數(shù)乘向量.同時此法也考查了數(shù)形結(jié)合思想.

( )

A.1 B.2

【答案】C.

【答案】[-2,-1).

【策略六】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義

利用平面向量數(shù)量積的幾何意義求解平面向量數(shù)量積問題，具有直觀性和簡捷性的特點(diǎn),同時它具有的靈活性也使得它不易被掌握,但用好向量的數(shù)量積的幾何意義能使和數(shù)量積有關(guān)求值、求最值、求范圍等問題的解決變得更加簡單.

【解析】過M點(diǎn)作AN的垂線，垂足為D，如圖所示,

【評注】此題如果不用向量數(shù)量積的幾何意義同樣也可得到正解，但可能稍顯麻煩,用幾何意義來解則更加簡潔、更加直觀，在計算方面只需著力計算長度和夾角的余弦值,但要注意先判斷所求向量的夾角的情況，若夾角為鈍角,則數(shù)量積為負(fù)；若夾角為銳角,則數(shù)量積為正；若夾角為直角,則數(shù)量積為零.

【答案】[9,18].

【策略七】換元法

換元法在函數(shù)、多元變量最值、平面解析幾何初步中的應(yīng)用耳熟能詳，但在平面向量中，卻不能被熟知，而換元法更能有效地將平面向量、代數(shù)、幾何有機(jī)結(jié)合，完美地體現(xiàn)了向量這個重要的解題工具.在向量中換元法主要體現(xiàn)在兩種換元思想：①構(gòu)造新向量思想進(jìn)行換元；②利用代數(shù)思想進(jìn)行換元.在此筆者重點(diǎn)談“利用代數(shù)思想進(jìn)行換元”，此思想主要解決和向量模有關(guān)的問題.具體應(yīng)用如下：

【例7】(2017·浙江卷·15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是________．

【評注】此法先對|a+b|,|a-b|進(jìn)行換元，再對|a+b|=x，|a-b|=y兩邊平方，最終轉(zhuǎn)化為直線z=x+y與曲線x2+y2=10(x,y∈[1,3])的位置關(guān)系，完美地詮釋了向量是連接代數(shù)和幾何的橋梁.但利用此法，有一個易錯點(diǎn)，是換元變量的范圍問題，如本題中的x,y的范圍.

【變式8】(2018·浙江麗水一模)已知|m|=2,|m+2n|=2,則|2m+n|+|n|的最大值為________.