云南 馬孟華

課本是高考試題的“策源地”，從近幾年的高考數學試卷中，總是能找出許多與教材中的例題相似或來源于教材的例題、習題改編的試題，這些試題考查的都是現行教材中最基本、最重要的數學知識和技能，所有方法也往往具有普遍性和一般性，即我們所謂的通性通法，這既體現了高考的公平公正，也對中學數學的教學進行有效的建議，所以每年高考試題給大家的感受都是“年年歲歲題不同，歲歲年年均相似”，每一年的試題都給人以似曾相識的感受.

1.高考試題源于教材、回歸教材

縱觀近十年來的高考數學試題，總能在試題中找到課本習題、例題的影子，有些高考試題甚至直接來源于習題或例題，有些高考試題來源于例題、習題的改編，而有些高考試題的結論、方法來源于課本，所以，在吃透課本例題、習題的基礎上深入挖掘其潛能，舉一反三，靈活變題、解題，就能在高考中立于不敗之地.下面通過一些例子說明高考試題無論形式還是方法上很多都來源于課本，最終還可通過課本例題、習題引申推廣出相關結論直接解題，達到“意想不到”的效果.

(Ⅰ)求C和l的直角坐標方程；

(Ⅱ)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．

當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y=tanα·x+2-tanα，

當cosα=0時，l的直角坐標方程為x=1．

(Ⅱ)【解法一】設直線l與曲線C交于A,B兩點，將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，整理得關于t的方程為(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0． ①

因為曲線C截直線l所得弦AB的中點(1,2)在C內，所以①式有兩個解，設為t1，t2，不妨設參數t1，t2分別為點A,B在直線參數方程中的參數，

同時由于直線l恒過點(1,2)，故點(1,2)對應參數t=0，

即tanα=-2，

故直線l的斜率k=tanα=-2．

該題的源頭：人教版教材選修4—4:坐標系與參數方程第37頁的例題2.

整理得(3sin2α+1)t2+4(cosα+2sinα)t-8=0，

由t的幾何意義知|MA|=|t1|,|MB|=|t2|，

因為點M在橢圓內，這個方程必有兩個實根，

故直線l的方程為x+2y-4=0.

【評析】2018全國卷Ⅱ理科22題幾乎完全采用了教材習題的解法思路來呈現高考試題，所以從根本上說明了高考試題源于教材，同時由于要兼顧其選拔功能，又將高于教材的出題思路體現的淋漓盡致.但此題的解法確實復雜了一些.一線的教學經驗告訴我們，絕大多數學生對直線參數方程中的參數的幾何意義是理解不到位的，只會單純的解題，而忽略了參數方程的實際意義和應用價值，甚至如果出題時考慮將直線方程設置為非標準參數方程后，直線參數方程中參數的幾何意義發(fā)生了變化，那么學生就更難解決這些問題了.如果我們不執(zhí)著于此題的題型背景，在教材中尋找到更能被廣大學生所接受的解決此類問題的方案，豈不更有價值和意義.

上述例題第二問如果拋開極坐標系與參數方程的題型背景，從直角坐標方程的角度直接分析，會有令人耳目一新的解法產生，解法如下：

【解法二】 設直線l與曲線C交于A,B兩點，弦AB的中點為M(1,2)，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則有

因為點M(1,2)為弦AB的中點，故有x1+x2=2,y1+y2=4，從而

【評析】該解法完全拋開了直線參數方程中參數的幾何意義的用法，而是采用了解析幾何中處理圓錐曲線問題的常用手段——“點差法”.通過“點差法”建立了弦所在直線斜率和弦中點與坐標原點連線斜率之間的聯(lián)系，這個聯(lián)系就是解析幾何中常用到的“中點弦公式”，值得注意的是該公式在近年來的高考中屬于高頻考點，在全國卷和各自主命題省份的高考題中頻頻出現，而其本身又是以教材例題、習題的形式出現的.可以看到，一方面教材的內容特點決定了高考的命題依據和走向，另一方面，高考的命題特點和規(guī)律又提醒我們回歸教材，重新認知教材，二者相輔相成，相得益彰！教材就是高考試題的“根”，而高考試題就是在對教材的再認知、再探索中升華的產物.下面來看看此題中解法二的“根”在哪里.

人教版數學教材選修2—1第80頁復習參考題A組中的第9題：

【分析】拋開該習題的“位置背景”(由于該題是教材2-1中圓錐曲線與方程后的習題，顯然可以使用本章節(jié)的知識點解題，但這樣就會束縛學生的思維)，如果是這樣的習題作為“高考題”形式出現，那么考生在考場上就得各顯神通了！其實作為高三復習備考的對象來講，綜合數學各方面系統(tǒng)知識可以知道此題有三種解法 .思考如下：

【小結】從以上幾個教材例、習題與高考試題的對比分析中不難發(fā)現，高考試題源于教材又不局限于教材，它將數學中的系統(tǒng)知識融合起來，進行縱向聯(lián)系，從而尋求最佳的考查數學思維的思路，而此時如果掌握了相關的已知結論就可以達到事半功倍的效果，不僅提升解題效率，而且還能培養(yǎng)學生的數學學科素養(yǎng)，下面我們就來談談解析幾何中利用已知結論來提升解題效率的幾個案例.

1.1圓錐曲線中的中點弦結論及其直接應用

若直線l與對稱中心在坐標原點O的橢圓或雙曲線交于兩點A,B，且線段AB的中點為M，則直線l的斜率與直線OM的斜率存在以下關系：

中點弦公式的推導方法常用“點差法”，此法也可以用于推導拋物線中與弦的中點有關的結論，如：

如果我們拋開上述結論的推導過程，直接將上述結論作為已知結論來用，那么在高考中將會大大提升解題效率.下面我們來看看幾個源于教材又高于教材，同時利用已知結論快速解決問題的實例！

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【評析】顯然，如果使用通法求解，即聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理求解，則此題的難度就集中在了計算、化簡上，這樣將會浪費大量時間，是不值得的.

例3.(2010·全國卷Ⅰ理·12)已知雙曲線E的中心為原點，P(3,0)是E的焦點，過P的直線l與E相交于A,B兩點，且AB的中點為N(-12,-15),則E的方程式為

( )

【評析】該題為2010年高考選擇題的壓軸題，利用已知結論就可秒殺考題，如此輕松就解決問題，大大地提升了解題效率，為解決其他問題節(jié)約了時間.

而2013年高考全國卷Ⅱ理科的21題也考查了橢圓中點弦公式，原題如下：

(Ⅰ)求M的方程;

(Ⅱ)C,D為M上的兩點,若四邊形ABCD的對角線CD⊥AB,求四邊形ABCD面積的最大值.

2015年全國卷Ⅱ文科更是直接考查了中點弦公式的證明，原題如下：

(I)求C的方程；

(II)直線l不經過原點O,且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B，線段AB中點為M,

證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

這里我們就不再證明了，下面來看看拋物線.

1.2拋物線的幾個重要結論及其直接應用

設直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，弦AB的中點為M(x0,y0)，則有以下結論：

(5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；

事實上推導以上結論的必經過程是：

下面我們利用以上結論中的幾個直接結論來快速解決高考試題.

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【分析】此題若采用一般方法處理，則需要設出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，最后結合韋達定理進行求解，方法并不復雜，但是過程較多，計算量大.總體上看，其實就是用解答題的解題流程來解決選擇題，這是很“不劃算”的，而使用拋物線的相關結論直接解題，就可避免中間一系列的解題流程，找到快速解題的突破口，其實這里并沒有技巧，只是我們記下了“結論”，省略了“推導過程”，這樣就大大地提升了解題的效率.

由圖中的幾何關系可知y0=2，再由結論(6)得：

該解法使用了兩個拋物線的結論就“秒殺”了該題，規(guī)避了大量的化簡和計算，提升了解題的效率.

下面來看看2018年全國卷Ⅲ理科16題.

例7.(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1，1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB=90°，則k=________.

此題竟然與例6驚人的相似，幾乎是以原題的形式呈現出來，且處理方法一模一樣，當然這也再次強調了研究高考題的價值和必要性.同樣也說明了掌握現成結論解題能提升解題效率.其他結論的直接應用,讀者可以在高考試題中發(fā)現，這里就不詳細說明了.

2.高考試題是對教材例題、習題的再挖掘和再探索

高考試題源于教材、回歸教材的同時又高于教材，如果我們對教材中的典型例題進行深入的挖掘和探索，就會找到很多高考試題源于對教材例題、習題的再開發(fā)和再利用.

下面我們來看看圓錐曲線中源于對教材例題的深入研究和探索得到的直接結論在解決高考試題上的直接應用.

源于人教版選修2—1第41 頁的例題3：

如果對該例題進行逆向思考和探究可以猜想：橢圓上異于左右頂點的動點與左右頂點的斜率乘積應該為一定值，定值為多少？經過推導和推廣可以給出如下兩個結論.

2.1已知A,B為橢圓：的左右頂點，點P為橢圓上異于A,B的動點，則有：

對于雙曲線也有類似的結論.而教材也以探究的形式給出了其結論的一種形式.

2.2已知A,B為雙曲線的左右頂點，點P為雙曲線上異于A,B的動點，則有：

證明略.

事實上，以上兩個推廣的結論就是橢圓、雙曲線的第三定義.而通過對以上兩個結論與橢圓、雙曲線的中點弦公式進行比對發(fā)現，結果的定值結構是一致的，故可在學習時一并記住，而記住了這些結論就可以快速地解決一些使用常規(guī)方法比較復雜的題型，從而在解法上給試題“瘦身”，大大提升了解題效率.

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【點評】常規(guī)解法較容易想到和執(zhí)行，但其計算量較大，對于一個選擇題而言，用解決大題的方法和時間去處理是不太合理的，如果掌握了相關結論就可省去許多復雜的計算，直接利用結論來快速解題，這樣既節(jié)省了時間又提高了解題的正確率，何樂而不為！

例10.(2015·全國卷Ⅱ理·11)已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

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【快速解法】如圖，據已知條件可知∠MAB=30°,∠MBx=60°，故有：

這里要提醒讀者，利用現成結論快速解決高考試題時需要記清、搞懂現成結論的前提條件，如果忽略條件而一味只記住結論直接應用往往就會得不償失.當然，利用一些結論直接解題一方面提高了解題效率，但另一方面值得注意的是，不是所有的問題都可以直接用現成結論或技巧去解，掌握解決問題的通法才是拿下數學高分的利器，近年來高考試題的命題規(guī)律和方法已充分說明了這一點.高考試題強調解決問題的通性通法，淡化技巧，如果廣大考生能夠在掌握好這一原則的同時，在適合的題目、題型的背景下利用現成結論秒殺考題，就會錦上添花！

3.深入挖掘教材中的例題、習題的幾點思考

(1)要善于從課本的例題、習題中歸納總結出解決問題的基本思想、基本方法，做法是：可以將近幾年高考試題中利用通性、通法解決的問題匯編成題組(該項工作由教師完成)，再利用練習課的時間進行限時訓練，及時進行講評.講評過程中建議將高考題涉及的課本原型題進行對比分析，并歸納總結出解決問題的思想、方法，這樣學生更能感受到教材的重要性；

(2)重視對教材典型例題、習題的深層分析，并在可能的情況下根據高考試題的命題特點和考點將例題、習題進行延伸、推廣和拓展，這些深入挖掘得出的結果將會幫助學生快速解決問題.當然這就需要教師把課本的典型例題、習題講透、適當加深，最終使學生在高考考場上左右逢源；

(3)需要注意的是，不是課本上的每一個例題、習題都需要去挖掘和深究的，結合高考的命題特點和走向以及在《課程標準》、《考試大綱》的指導下有目的的對教材進行“再開發(fā)”、“再利用”才是重點.學生聽到了老師“回歸教材”的建議，就想當然地覺得通讀一遍教材即可，這就大錯特錯了，只有帶著對高考試題的認識回歸課本、深究知識，才能真正抓住高考試題所考查問題的本質，在從容應對高考試題變化的同時提升對教材的理解.

4.對高考復習備考的建議

(1)教學中要認識到“回歸課本、回歸本質”的重要性，高考試題其實就是對課本知識的再重復和再升華，最后還是要回歸到知識的本質上來.所以復習時脫離教材，過分依賴教輔材料，不花時間和力氣去研究教材就會導致學生對課本中的概念、基本思想方法模糊不清，對解決問題的通性、通法不熟練，最終導致高考中的失利.

(2)用好高考試題，毋庸置疑，無論對于教學還是考試，高考試題具有較強的指導意義.高考試題源于教材、又回歸教材，同時遵循“立足基礎，考查能力”這一重要原則，其宗旨是：測試中學數學基礎知識、運算能力、空間想象能力以及分析運用知識解決實際問題的能力，不管高考命題如何改變，我們都能在每一份高考試題中找到大量的教材原題或由這些原題進行引申、變化而來的試題，甚至可以用挖掘而來的結論直接、快速地解決高考試題.因此，我們應當用好高考題，帶著它提出的問題回歸課本，挖掘課本例題、習題的潛在價值，重視通性通法的同時提升解題效率.