廣東 鄭燦基

1.試題

2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第19題試題如下：

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

本題立意新穎，內(nèi)涵豐富，考查了直線(xiàn)的方程、斜率、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、兩角相等的等價(jià)轉(zhuǎn)化處理，是一道綜合性較強(qiáng)的試題.試題分為兩問(wèn)，層次明顯，第一問(wèn)注重基礎(chǔ)，難度較??；第二問(wèn)有一定的難度，重點(diǎn)檢測(cè)學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力等，突出對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.以下著重討論第二問(wèn)的解法.

2.解法呈現(xiàn)

【思路1】證明兩直線(xiàn)的斜率之和為零.

證法1：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線(xiàn)，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

【思路2】利用對(duì)稱(chēng)性，證明三點(diǎn)共線(xiàn).

【思路3】到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上.

【思路4】利用角平分線(xiàn)定理和直線(xiàn)的參數(shù)方程

設(shè)A(1+t1cosα,t1sinα)，B(1+t2cosα,t2sinα),M(2,0)，

【思路5】利用相似三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【思路6】利用橢圓的第二定義和平面幾何知識(shí)解決

需要指出的是，思路1的兩種證法都是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，不同的是直線(xiàn)方程的假設(shè)形式.證法1是常規(guī)算法，即用點(diǎn)斜式法設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-1)，帶來(lái)的結(jié)果是在①中多處出現(xiàn)參數(shù)k和k2，運(yùn)算較為繁瑣，且不完備(不包含斜率不存在的情形).而證法2是把直線(xiàn)設(shè)為x=my+1，把x看作y的函數(shù)，求解過(guò)程較為簡(jiǎn)單，得到的②式中含m的頻數(shù)少，而且完備性好，包括了滿(mǎn)足所有條件的直線(xiàn)方程.同時(shí)，在接下來(lái)的運(yùn)算中較為簡(jiǎn)潔.因此，根據(jù)題設(shè)條件特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)方程是強(qiáng)化求簡(jiǎn)、降低計(jì)算的重要手段.一般而言，若直線(xiàn)過(guò)的點(diǎn)是(0,t),我們常把直線(xiàn)假設(shè)為y=kx+t(假設(shè)斜率存在)，而若直線(xiàn)過(guò)的點(diǎn)是(t,0),我們常假設(shè)直線(xiàn)的方程為x=my+t，這樣可以高效解題.

3.引申探究

3.1顯性結(jié)論

本題中第二問(wèn)實(shí)質(zhì)上揭示了橢圓的一個(gè)性質(zhì)：橢圓C的準(zhǔn)線(xiàn)與長(zhǎng)軸的交點(diǎn)M和過(guò)相應(yīng)的焦點(diǎn)F的弦的兩端點(diǎn)A,B連線(xiàn)所成角∠AMB被長(zhǎng)軸平分.在雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)中也有類(lèi)似的性質(zhì)：

①雙曲線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)M和過(guò)相應(yīng)的焦點(diǎn)F的弦的兩端點(diǎn)A,B連線(xiàn)所成角∠AMB被實(shí)軸平分.

②拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)M和過(guò)相應(yīng)的焦點(diǎn)F的弦的兩端點(diǎn)A,B連線(xiàn)所成角∠AMB被對(duì)稱(chēng)軸平分.

其證明仿照上面高考題的證法，過(guò)程略.以上結(jié)論可以統(tǒng)一為：

定理1：圓錐曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與長(zhǎng)軸(或?qū)嵼S、或?qū)ΨQ(chēng)軸)的交點(diǎn)M和相應(yīng)的焦點(diǎn)弦端點(diǎn)A,B連線(xiàn)所成的角∠AMB被長(zhǎng)軸(或?qū)嵼S、或?qū)ΨQ(chēng)軸)平分.

3.2隱性結(jié)論

上面結(jié)論中AB是圓錐曲線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦,M點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，如果AB是圓錐曲線(xiàn)中任意一條弦，點(diǎn)M是與對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線(xiàn)與該對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，那么圓錐曲線(xiàn)是否也有類(lèi)似的性質(zhì)呢？

利用《幾何畫(huà)板》實(shí)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：

③已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)和x軸上的兩點(diǎn)M,N(xN>0)，過(guò)點(diǎn)N引直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn)，則∠AMN=∠BMN?xM=-xN.

性質(zhì)②和③的證明類(lèi)似性質(zhì)①，故省略.

以上性質(zhì)可統(tǒng)一為：

3.3進(jìn)一步研究

以此類(lèi)推，不難得到如下結(jié)論：

過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)N(n,0)(n>0)作弦AB，點(diǎn)A(或點(diǎn)B)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(或B′)，則點(diǎn)A′,B,M(-n,0)(或A,B′,M(-n,0))三點(diǎn)共線(xiàn).

3.4條件與結(jié)論互換

4.結(jié)束語(yǔ)