陜西 李 歆

數(shù)學(xué)是一門思維性很強(qiáng)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視學(xué)生的思維形成和發(fā)展是教師教學(xué)的一項(xiàng)根本任務(wù)，但是在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，一些教師往往忽視了學(xué)生的思維活動(dòng).這種情況主要表現(xiàn)在對(duì)例題的處理上，教師的思維活動(dòng)常常占據(jù)主導(dǎo)地位，而學(xué)生的思維活動(dòng)只是被動(dòng)的理解和接受，表面上學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容是“懂”了，可是這里的“懂”是在教師的思維活動(dòng)下懂的，學(xué)生一旦離開(kāi)了教師的思維活動(dòng)，靠自己的思維活動(dòng)“會(huì)不會(huì)懂”呢？當(dāng)?shù)玫降幕卮鹗欠穸〞r(shí)，就出現(xiàn)了教學(xué)中經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象——“懂而不會(huì)”.這種現(xiàn)象對(duì)學(xué)生的危害是很大的，當(dāng)學(xué)生的腦海中形成了“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，而學(xué)生又糊里糊涂的不知道，那么就容易對(duì)學(xué)生的思維形成“定勢(shì)”，從而制約和影響著學(xué)生的思維發(fā)展.因此，教師在上每一節(jié)課前，必須做好精心地準(zhǔn)備，對(duì)課堂上要講什么，怎么講等問(wèn)題，要科學(xué)、合理地進(jìn)行設(shè)計(jì)，尤其在設(shè)計(jì)學(xué)生思維活動(dòng)時(shí)，要讓教師的教學(xué)思路與學(xué)生的學(xué)習(xí)思路進(jìn)行“無(wú)縫對(duì)接”，以便達(dá)到教師講的這種顯性的思維與學(xué)生想的這種隱性的思維同步合拍、和諧相融，這樣才能達(dá)到有效教學(xué)的目的.

一、問(wèn)題展示

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中經(jīng)常會(huì)碰到下面一個(gè)典型的數(shù)列問(wèn)題：

此題主要考查數(shù)列與通項(xiàng)公式的概念，以及由數(shù)列的遞推關(guān)系式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本方法.

二、教師的解法

由于例題給出的遞推關(guān)系式，超出了常見(jiàn)的幾種基本類型，不能用相應(yīng)的模式去套用，因此在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師在課堂上往往給出以下解法.

得lgan+1=lg3+2lgan,

令bn=lgan,則bn+1=lg3+2bn, ①

整理得bn+1+lg3=2(bn+lg3), ②

這說(shuō)明數(shù)列{bn+lg3}是首項(xiàng)為b1+lg3=lga1+lg3=2lg3,公比為2的等比數(shù)列,

所以bn+lg3=2lg3×2n-1, ③

整理得bn=lg32n-1, ④

從而an=32n-1.

通常情況下，教師講完這道題，便認(rèn)為學(xué)生懂了，會(huì)進(jìn)行下一道題.在此試問(wèn)，學(xué)生真的懂了嗎？

三、對(duì)幾個(gè)細(xì)節(jié)問(wèn)題的處理

細(xì)節(jié)是解決問(wèn)題的支撐點(diǎn)，決定著解題的成敗.解決一個(gè)問(wèn)題，在某種程度上不是看方法技巧有多么奇妙，而是看對(duì)解題細(xì)節(jié)的處理是否到位，細(xì)節(jié)處理好了，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也就逐漸培養(yǎng)起來(lái)，日積月累就形成能夠獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.對(duì)于上述的解法1，站在教師的角度看，條理清晰，邏輯嚴(yán)密，但是，站在學(xué)生的角度看，有三個(gè)關(guān)鍵細(xì)節(jié)需要教師在教學(xué)時(shí)處理到位，否則就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的形成或者思維障礙的形成.

1.取對(duì)數(shù)是怎么想到的？

2.①式轉(zhuǎn)化為②式的核心方法是什么？

3.③式整理為④式隱含了什么數(shù)學(xué)思想？

將③式整理為④式的過(guò)程，其實(shí)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，既要用到對(duì)數(shù)的有關(guān)公式,又涉及較多的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)算復(fù)雜且容易出錯(cuò)，因此，這一步整理對(duì)解法1能否順利得到最后的結(jié)果起著舉足輕重的作用，教學(xué)中如果對(duì)此輕描淡寫(xiě)地一晃而過(guò)，那么對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升將失去一次很好的歷練機(jī)會(huì)，同時(shí)也就失去了解法1的價(jià)值.所以，對(duì)③式的整理，應(yīng)該作為重頭戲，教師可啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生按照下面兩條途徑完成最后的解法：

一種是先移項(xiàng)，后整理.即先將③式左邊的lg3移到右邊，得bn=2×lg3×2n-1-lg3，再對(duì)右邊第一項(xiàng)整理得bn=lg3×2n-lg3，再對(duì)右邊整理得bn=lg3×(2n-1)=(2n-1)·lg3=lg32n-1，從而得an=32n-1.

另一種是先代入，后整理.即先將bn=lgan代入③式，得lgan+lg3=2lg3×2n-1，兩邊分別整理得lg3an=lg3×2n，右邊再整理得lg3an=lg32n，所以3an=32n，從而得an=32n-1.

以上兩條途徑雖然出發(fā)點(diǎn)不同，但是通過(guò)對(duì)③式的轉(zhuǎn)化，都要實(shí)現(xiàn)一步極其重要的化歸，就是將(2n-1)lg3化為lg32n-1和將lg3×2n化為lg32n，這里滲透了重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化與化歸,對(duì)此教師在教學(xué)中必須讓學(xué)生深刻地理解與領(lǐng)會(huì).

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)學(xué)課堂上，教師講解的例題是非常有限的，只有站在學(xué)生思考問(wèn)題的角度進(jìn)行解題教學(xué)，才能發(fā)現(xiàn)影響學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)，或者說(shuō)學(xué)生思維容易受阻的“傷痛點(diǎn)”，從而采取有效措施“對(duì)癥下藥”，這樣才能讓學(xué)生的思維得到提高，使有限的例題教學(xué)收到無(wú)限的解題效果.

四、回歸課本，探尋第二種解法

對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的教學(xué)，課本中一般都是采用列舉的方法，給出數(shù)列前面的幾項(xiàng)，通過(guò)觀察、歸納與猜想，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.如：已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)為1,5,11，19，…，則容易得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2+n-1.面對(duì)前面的問(wèn)題，能不能用課本中介紹的最初求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法呢？

【解法2】由已知得，

猜想:an=32n-1.

下面,用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.

(1)當(dāng)n=1時(shí),猜想顯然成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k∈N*),猜想成立,即有ak=32k-1,那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

綜合(1)(2)知,對(duì)一切n∈N*,猜想都成立.

【點(diǎn)評(píng)】前面的問(wèn)題，雖然沒(méi)有用列舉法給出數(shù)列前面的幾項(xiàng)，但是根據(jù)題目給出的首項(xiàng)和遞推關(guān)系式, 一般學(xué)生都會(huì)很輕松的寫(xiě)出前面的幾項(xiàng)，同時(shí)能順利地觀察到前幾項(xiàng)所展現(xiàn)的一個(gè)顯然規(guī)律，得到猜想并不難,并且用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想也十分簡(jiǎn)單,解法1之所以沒(méi)有這么做，通常是受思維定勢(shì)的影響，被遞推關(guān)系式蒙蔽了思維的關(guān)注點(diǎn).對(duì)比兩種不同的解法，解法2緊扣課本，知識(shí)容量小，思維方法單一，因此更加適合學(xué)生.

五、變式與推廣

變式是鞏固解題方法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，提高解題效果的有效途徑.對(duì)于前面的問(wèn)題，教學(xué)中可設(shè)計(jì)下面幾道變式訓(xùn)練題，讓學(xué)生用兩種方法求解并進(jìn)行比較，以便達(dá)到“做一題，學(xué)一法，會(huì)一類”的效果.

1.變式

【提示1】按照解法1，可得an=22n-1-1.

猜想:an=22n-1-1.證明略.

【提示1】按照解法1，可得an=32n-1-1×22n-1.

猜想:an=32n-1-1×22n-1.證明略.

【點(diǎn)評(píng)】以上四道變式題的設(shè)計(jì)，用解法1求解的方法基本上相同，但用解法2求解，因?yàn)榍皫醉?xiàng)的不同變化，所以歸納與猜想的結(jié)果也在變化中出現(xiàn)了難易程度，其中,前兩種變式題的歸納與猜想比較容易,但后兩種變式題的歸納與猜想不能急于求成,需要對(duì)前幾項(xiàng)的結(jié)果中指數(shù)中的加法擱置起來(lái),這樣才能便于從中彰顯規(guī)律性,為猜想的順利成功奠定基礎(chǔ).

2.推廣

將以上變式加以推廣,可得到下列一個(gè)命題.

【證明】(1)當(dāng)m=1時(shí),由遞推關(guān)系式an+1=qan可知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=p，公比為q的等比數(shù)列，所以an=pqn-1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.

(i)當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立；

綜合(i)(ii)可知，猜想對(duì)一切n∈N*時(shí)都成立.

綜合(1)(2)可知，(*)式成立.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)m=1時(shí)，也可以利用歸納與猜想法求解：由已知得a1=p，a2=qa1=q×p，a3=qa2=q2×p，a4=qa3=q3×p，……，猜想：an=qn-1×p=pqn-1，證明略.所以該命題所給出的數(shù)列可以看成是等比數(shù)列的一個(gè)拓展.

六、一點(diǎn)感想

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,數(shù)列中的一些概念、公式在形成與生成的過(guò)程中往往滲透了觀察、歸納、猜想、證明等基本的解題思想和方法,當(dāng)我們?cè)诮鉀Q由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),應(yīng)當(dāng)首先想到這種方法.筆者認(rèn)為,教師在給出前面的問(wèn)題后，應(yīng)該先從熟悉的課本中解決問(wèn)題的觀念入手，再順應(yīng)學(xué)生的常規(guī)思維讓解法2閃亮登場(chǎng),從而在較短的時(shí)間內(nèi)抓住學(xué)生良好的學(xué)習(xí)熱情,接著再給出四個(gè)變式，讓學(xué)生用解法2的方法做，這時(shí)學(xué)生將很快被調(diào)動(dòng)起來(lái),當(dāng)有些學(xué)生對(duì)變式3和變式4感到“歸納不出”“猜想很難”時(shí)，教師再介紹解法1，并讓學(xué)生對(duì)兩種不同方法進(jìn)行比較，這樣學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的潛能就會(huì)得到激活,由此解決這類數(shù)列問(wèn)題就變得得心應(yīng)手,相信這樣的課堂教學(xué)一定會(huì)圓滿而精彩.