安徽 王成功 陳 曦

圓錐曲線是高考的必考問題，尤其是雙曲線，在歷年高考中雙曲線及其性質(zhì)從未缺席過，在選擇題或填空題中必考一題，也時常以解答題的形式來考查.在考試大綱中的要求雖然是了解層次，但是在復(fù)習(xí)的時候，我們不可忽略其重要性.雙曲線問題通?？疾榈氖菍W(xué)生的分析問題和轉(zhuǎn)化問題能力以及計算能力，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).在考試中，經(jīng)常因為其計算難度大、條件錯綜復(fù)雜、轉(zhuǎn)化角度多樣，而讓考生猝不及防甚至束手無策.然而我們知道，在解題中，解無定法，解必有法，只要我們把雙曲線的基本性質(zhì)熟記于心，把握高考命題規(guī)律，把不同問題的共性找到，就可以明確解決這類問題的通性與通法.下面就讓我們通過對一組典型問題及其變式的一題多解研究，探尋解決雙曲線問題的通性與通法，給一線教師和高三學(xué)生明確復(fù)習(xí)目標(biāo)，使學(xué)生在高考中能夠輕松應(yīng)對雙曲線問題.

1.試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求雙曲線E的離心率；

(Ⅱ)如圖，O為坐標(biāo)原點，動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.

本題是一道典型的直線與雙曲線位置關(guān)系的問題.對學(xué)生的演算能力和邏輯推理能力要求都非常高，乍看上去，讓學(xué)生感到無從下手，計算量也讓人感覺非常害怕.其實解決本題可通過不同的角度來尋找解題突破口，不僅可以從知識上和能力上來提升學(xué)生解決問題和分析問題的能力，更是可以從解題方法和思想上給我們提供指導(dǎo)價值.

【方法分析】

(Ⅰ)我們要解決的是求雙曲線的離心率，其本質(zhì)是考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，通?？梢詮脑O(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程的角度來思考問題，由于本題給出了雙曲線的漸近線，因此，也可以從漸近線方程直接得到系數(shù)之間的比例關(guān)系.具體做法如下.

這是兩種常見的處理雙曲線漸近線方程和標(biāo)準(zhǔn)方程之間關(guān)系的途徑，在解決問題時可以根據(jù)自己的接受能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣選擇適合自己的一種方式來解題.

(Ⅱ)【思路分析1】這種是從特殊到一般的思維方式，在求關(guān)于定值、定直線、定點等問題時，我們可以先考慮特殊情況，找到答案，如果是選擇題和填空題，問題迎刃而解，如果是解答題，可以帶著結(jié)論再證明.

設(shè)直線l與x軸交于點C.

當(dāng)直線l⊥x軸時，由于直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a,|AB|=4a，

設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意得k>2或k<-2.

因為4-k2<0，所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).

又因為m2=4(k2-4)，所以Δ=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點.

【思路分析2】在解決直線與雙曲線位置關(guān)系問題時，如果直線斜率可能不存在，為了避免討論，可以把直線設(shè)成x=my+t形式，這樣方便處理，而且也給計算帶來很大的便捷.

設(shè)直線l的方程為x=my+t,記A(x1,y1),B(x2,y2).

設(shè)直線l與x軸交于點C，則C(t,0).

因為4m2-1<0，直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,當(dāng)且僅當(dāng)Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0時滿足.

即4m2a2+t2-a2=0，即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0.

即(1-4m2)(a2-4)=0，所以a2=4.

【思路分析3】從直線的斜率存在和不存在，對直線分兩種情況進行討論，計算量大一點，但是這種方式是學(xué)生們易于理解的通性與通法，同時展示這種解法的目的在于訓(xùn)練學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力.

【詳解】當(dāng)直線l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，

記A(x1,y1),B(x2,y2).依題意得k>2或k<-2.

因為4-k2<0,直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0時滿足.

即(k2-4)(a2-4)=0，所以a2=4.

當(dāng)l⊥x軸時，由△OAB的面積等于8可得l:x=2，

通過本例，我們還可以得到以下幾點啟示：

(1)通過本例我們知道，高考中雙曲線以及直線與雙曲線的位置關(guān)系問題的主要考查形式有：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸近線，過定點的直線與雙曲線的交點問題，直線與雙曲線的交點和原點、焦點或某定點圍成的三角形問題，直線的垂直、向量的數(shù)量積等有關(guān)問題.

(2)熟練掌握雙曲線中系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，對于直線與雙曲線的交點問題，往往是利用韋達定理，設(shè)而不求來解決.特別地，對于較簡單的問題，也可以直接求出交點來求解.

無獨有偶，這類問題不是偶然出現(xiàn)，解題方法也不是只能解決一個問題，而是可以解決與雙曲線有關(guān)的一類問題，解題思想可以拓展到解決整個圓錐曲線問題.

2.同類問題的不同呈現(xiàn)，解決問題的通性通法

對于雙曲線問題中，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系時，需要解決的問題可以是通過不同的設(shè)問來呈現(xiàn)的，這類問題需要通過分析題設(shè)和問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，把需要解決的問題轉(zhuǎn)化成聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，設(shè)而不求的方法來求距離、斜率、方程等問題.

(Ⅰ)求C的離心率；

(Ⅱ)設(shè)C的右頂點為A，右焦點為F，|DF|·|BF|=17，證明：過A，B，D三點的圓與x軸相切．

【精彩解答】

(Ⅰ)解法一：根據(jù)直線過(1,3)，求出直線方程，再把直線帶入雙曲線方程，利用韋達定理和中點坐標(biāo)公式即可求出系數(shù)a,b的關(guān)系式，進而求出離心率.

【詳解】由題設(shè)知，l的方程為y=x+2.把直線帶入雙曲線方程，

解法二：設(shè)出B，D兩點坐標(biāo)，利用點差法結(jié)合直線的斜率和中點坐標(biāo)，得出系數(shù)a,b的關(guān)系式，進而求出離心率.

【點評】點差法是處理直線與圓錐曲線相交弦的中點和相交弦的斜率問題的常用方法，直接設(shè)點代入方程再作差，可以整體考慮中點和斜率之間的關(guān)系，從而起到簡化運算過程的效果，這種方法可以解決一類特殊問題.

(Ⅱ)解法一：根據(jù)離心率設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達定理以及兩點間距離公式求出|BF|，|FD|，|BD|，再利用|BF|·|FD|=17，求出雙曲線方程，結(jié)合|MA|的長度即可證明結(jié)論.

【詳解】由(Ⅰ)可知，C的方程為：3x2-y2=3a2，如圖所示：

故不妨設(shè)x1≤-a，x2≥a，

=2x2-a，

|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a·(x1+x2)-a2=5a2+4a+8,

連接MA，則由A(1,0),M(1,3)知，MA⊥x軸，且|MA|=3，從而MA=MB=MD，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過A,B,D三點，且在點A處與x軸相切.所以經(jīng)過A,B,D三點的圓與x軸相切.

故不妨設(shè)x1≤-a，x2≥a，

|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8，

所以△ABD是直角三角形，那么經(jīng)過A,B,D三點的圓的圓心為BD中點M，

又xM=xA=1，所以可知該圓與x軸相切，切點為A.

【點評】第二問要解決的問題，第一眼看上去會讓我們感覺沒有任何方向，這時候我們要回到圓錐曲線問題考查的方向和目的上來，這樣就會把問題與距離或者是直線聯(lián)系起來，進而找到解決問題的突破口.

3.方法和思想的延續(xù)性

例題所呈現(xiàn)的分析問題和解決問題的思想方法不僅僅可以解決雙曲線問題，還是所有圓錐曲線問題的縮影，解決圓錐曲線的問題都可以從不同的角度來探尋解題突破口，從而讓我們的復(fù)習(xí)達到事半功倍的效果.

【變式2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：ax+by+c=0和點P1(x1,y1),P2(x2,y2)，記η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0，則稱點P1,P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點P1，P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線.

(Ⅰ)求證：點A(1,2)，B(-1,0)被直線x+y-1=0分隔；

(Ⅱ)若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)動點M到點Q(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點M的軌跡為曲線E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

【精彩解答】

(Ⅰ)解法一：把點A1,2，B-1,0帶入η=ax1+by1+cax2+by2+c，即可證明.

【詳解】把點A(1,2)，B(-1,0)帶入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，因為η=-4<0，所以點A,點B被直線x+y-1=0分隔.

【點評】本題涉及新定義問題，遇到這類題，先理解定義，只需要找到確保結(jié)論成立的條件即可，不必想著定義是否正確，定義是否符合邏輯.因為這類問題一般是高等數(shù)學(xué)的滲透，其正確性是毋庸置疑的，我們只需要考慮應(yīng)用我們所學(xué)的高中知識進行解題，并把結(jié)論進行適當(dāng)推廣即可.

解法二：由題意可知，兩點被直線分隔即兩點在直線的兩側(cè)，再帶入點直接驗證.

【點評】這是嚴格按新定義證明的一種方法，也是解決新定義問題的通法.

【點評】這種方法需要借助于數(shù)形結(jié)合思想，會更加直觀地得到結(jié)論.

解法二：根據(jù)分割線定義，只需要滿足兩個條件：一是直線和曲線沒有公共點，即對應(yīng)方程組無解，二是存在兩點在直線兩側(cè).

又曲線x2-4y2=1上顯然存在點(-1,0)和(1,0)滿足η=-k2<0.

(Ⅲ)解法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，分過原點的直線不是y軸和是y軸兩種情況來證明.

對任意的y0，(0,y0)不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒有公共點.又曲線E上的點(-1,2)和(1,2)對于y軸滿足η<0，即點(-1,2)和(1,2)被y軸分隔.

所以y軸為曲線E的分隔線.

若過原點的直線不是y軸，設(shè)其為y=kx.

得[x2+(kx-2)2]·x2-1=0，

令f(x)=[x2+(kx-2)2]·x2-1，

因為f(0)·f(2)=(-1)[16(k-1)2+15]<0，所以方程f(x)=0有實數(shù)解.

即直線y=kx與曲線E有公共點，故直線y=kx不是曲線E的分隔線.

綜上可得，通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

【點評】通過分析，直線只需要分過原點的直線不是y軸和是y軸兩種情況討論即可，這是在對題意深入分析后，我們可以走的一些計算上的捷徑.

解法二：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)M到點Q(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1求出軌跡方程，然后對過原點的直線分斜率存在和斜率不存在兩種情況進行分析證明.

下證：斜率存在時直線與曲線都有交點.

設(shè)直線方程為y=kx，

易得[x2+(kx-2)2]·x2-1=0，關(guān)于x的方程無論k為何值，必有解.

綜上可得，通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

【點評】通性通法，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，需要考慮直線的斜率存在和不存在時，分類討論解決，在解決定值問題或者需要證明一個一般性結(jié)論問題的時候，可以先考慮特殊情況，通過特殊情況，確定結(jié)論，進而再證明一般性結(jié)論.

通過以上這些典型問題的分析和解決，雖然提供給大家的是解決雙曲線問題和直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通性通法，但目的是可以把解題的思想方法用來解決所有圓錐曲線問題.圓錐曲線問題的考查角度全面，主要考查學(xué)生對定義的理解、對性質(zhì)的應(yīng)用、考查計算能力以及轉(zhuǎn)化問題的能力.對學(xué)生們而言，普遍認為圓錐曲線第一問都會做，從而忽略第一問的巧解，巧解一般都是借助于性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想或者是定義，減少計算量，在考試時候，能夠節(jié)約大量的時間，有的同學(xué)雖然能夠解決第一問，但是花費了大量的時間去解方程組，計算能力弱的同學(xué)往往直接導(dǎo)致錯誤，這些都是不可取的.所以第一問的解決，一般都提供一種基本方法和一種巧解方法.第二問的解決方法較為靈活，我們需要的是“見什么病抓什么藥”，從問題入手，結(jié)合一般解題思想，尋找解決問題的突破口，對于復(fù)雜的問題或者是問法不太常見的問題，需要通過對題設(shè)條件全面的分析，把問題轉(zhuǎn)化成常規(guī)的求距離、求斜率、求直線或者是求曲線方程等問題后再解決.