福建 陳榮桂

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在歷年的高考中占據(jù)了重要的位置.幾年來，無論是選擇題、填空題還是解答題的考查，都有一定的難度，綜合考查了學(xué)生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力等數(shù)學(xué)能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具有較好的區(qū)分度．

一、圓錐曲線定義的考查

( )

A.0個 B.1個

C.2個 D.4個

【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF|=4+5=9．

【例3】(2009·四川卷理·9)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1，拋物線y2=4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是

( )

A.2 B.3

【評注】在解析幾何問題中，利用定義解題可以簡化運(yùn)算，通過化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，簡單快速地解決問題.

二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)

( )

A.(0,2) B.(1,3]

C.[2,3) D.[3,+∞)

【解析】由定義知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|，

因?yàn)閨PF2|≥c-a，所以c-a≤2a，即c≤3a，e≤3．

又雙曲線的離心率e>1,所以e∈(1,3]，故選B．

( )

【評注】在解析幾何問題中，橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的合理運(yùn)用，可將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，?？芍苯永脦缀我饬x求解.

三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

【解析】(Ⅰ)由已知得F(1,0)，當(dāng)l與x軸垂直時l的方程為x=1.

(Ⅱ)當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

從而kMA+kMB=0，故直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

(Ⅰ)求雙曲線的離心率；

(Ⅱ)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段長為4，求雙曲線的方程．

【解析】(Ⅰ)設(shè)|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,

【評注】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考解析幾何考查的永恒的主題，學(xué)習(xí)中必須掌握位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題(如弦長、中點(diǎn)弦等)的常見題型的解法，切實(shí)提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性．

四、平面向量在圓錐曲線問題中的應(yīng)用

(Ⅰ)證明：線段AB的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

【評注】利用平面向量知識解決圓錐曲線問題，可以減少部分運(yùn)算量，使問題更容易解決．常見的題型有利用向量求角度問題、定比分點(diǎn)問題、證明垂直平行問題等．

五、圓錐曲線的最值(取值范圍)問題

(Ⅰ)求橢圓C1的方程；

(Ⅱ)求△EPM面積的最大值．

(Ⅱ)由題意得直線PE,ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，不妨設(shè)直線PE的斜率為k(k>0)，則直線PE的方程為y=kx-1，

【評注】求最值或求范圍問題，常見的解法有三種：

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；

(2)函數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．

(3)不等式法：若題目的條件有不等關(guān)系，可構(gòu)造不等式(組)求解．

六、圓錐曲線的定值問題

(Ⅰ)求曲線E的方程；

消元得(3+4k2)x2-4k(2k-3)x+(4k2-12k-3)=0，

【評注】求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

七、定點(diǎn)的探索問題

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn)．

【解析】(Ⅰ)根據(jù)橢圓對稱性知橢圓C必過P3，P4，又P4橫坐標(biāo)為1，橢圓C必不過P1，所以橢圓C過P2，P3，P4三點(diǎn)．

(Ⅱ)證明：①當(dāng)直線l斜率不存在時，設(shè)l:x=m，A(m，yA)，B(m，-yA)，

得m=2，此時l過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個交點(diǎn)，故不滿足．

②當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l∶y=kx+m(m≠1)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則m=-2k-1，此時Δ=-64k，存在k使得Δ>0成立．

所以直線l的方程為y=kx-2k-1，

當(dāng)x=2時，y=-1，所以l過定點(diǎn)(2，-1)．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

【解析】(Ⅰ)由題意知c=1.

當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

因?yàn)閤1=ty1+1，x2=ty2+1，

【評注】解決定點(diǎn)的探索與證明問題，一般有以下兩種方法：

(1)探索直線過定點(diǎn)時，可設(shè)出直線方程為y=kx+m，然后利用條件建立k,m的等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．