湖北 廖慶偉

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的組成部分，此部分知識是對前面函數(shù)知識的延伸，也是對三角形知識的拓展，屬于高考中的熱點(diǎn).因此在學(xué)習(xí)及備考中，要抓住三角函數(shù)的本質(zhì)，把握好三角恒等變換的方向，進(jìn)而提高三角函數(shù)復(fù)習(xí)的備考質(zhì)量.

近三年全國卷Ⅰ中三角函數(shù)及解三角形回顧：

從知識點(diǎn)上看：三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等)、三角函數(shù)的圖象變換、正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式均有考查.

從題型上看：文科一般考查三個小題，分值15分；理科一般考查一大一小，分值17分，題目形式靈活多樣.

從難度上看：三角函數(shù)與解三角形是高考考查的重點(diǎn)，高考題中逐漸拋棄了對復(fù)雜的三角恒變換和特殊技巧的考查，重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象變換等方面.重視對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，屬中等題或容易題.

【考點(diǎn)焦聚一】三角函數(shù)定義

知識點(diǎn)：直線的斜率、三角函數(shù)的概念與性質(zhì)、二倍角的余弦公式.

解題路徑：首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到a，b的關(guān)系式，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得a2，從而得到|a|，再結(jié)合a，b的關(guān)系，從而得到a-b的值，進(jìn)而確定選項.

易錯點(diǎn)：記錯二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的定義公式.

【考點(diǎn)焦聚二】三角函數(shù)的最值

例2.(2018·全國卷Ⅰ文·8)已知函數(shù)fx=2cos2x-sin2x+2，則( )

A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4

知識點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)

解題路徑：首先利用二倍角公式，對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.

易錯點(diǎn)：該題考查的是用二倍角的余弦公式化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.

【考點(diǎn)焦聚三】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A.11 B.9 C.7 D.5

知識點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn).

解題路徑：根據(jù)已知條件求ω的范圍，討論當(dāng)ω=11、ω=9時是否滿足條件，確定正確選項.

所以ω的最大值為9，故選B.

易錯點(diǎn)：判斷函數(shù)f(x)的周期出錯，注意fx=Asinωx+φA≠0,ω≠0的單調(diào)區(qū)間長度是半個周期；若fx=Asinωx+φA≠0,ω≠0的圖象關(guān)于直線x=x0對稱,則fx0=A或fx0=-A.

知識點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解題路徑：先判斷函數(shù)的奇偶性，再取x=π，x=1代入解析式驗證，從而確定正確的選項.

當(dāng)x=π時，y=0，故排除D；

故選C.

易錯點(diǎn)：看圖不仔細(xì)、不能靈活利用估算法求解數(shù)學(xué)問題.

【考點(diǎn)焦聚四】三角恒等變換

知識點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差的余弦公式.

解題路徑：由同角三角函數(shù)間的關(guān)系求出cosα，sinα，再根據(jù)兩角差的余弦公式及特殊角的三角函數(shù)值求結(jié)論.

解析：由tanα=2得sinα=2cosα，

易錯點(diǎn)：記錯兩角差的余弦公式和特殊角的三角函數(shù)值的符號.

【考點(diǎn)焦聚五】正弦定理

知識點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式、正弦定理.

解題路徑：由三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式求角A，再由正弦定理求sinC，根據(jù)三角形的性質(zhì)確定角C的大小.

解析：由題知sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0，

所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0，

因為c

易錯點(diǎn)：記錯三角函數(shù)公式、忽視三角形中大邊對大角.

【考點(diǎn)焦聚六】余弦定理

知識點(diǎn)：余弦定理.

解題路徑：由余弦定理求結(jié)論.

易錯點(diǎn)：根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運(yùn)算失誤是基礎(chǔ)題失分的主要原因.

【考點(diǎn)焦聚七】解三角形

例8.(2018年·全國卷Ⅰ文·16)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為________.

知識點(diǎn)：解三角形、三角形的面積.

解題路徑：首先利用正弦定理及題中的式子化簡求得sinA，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到A為銳角，從而求得cosA，進(jìn)一步求得bc，利用三角形面積公式求得結(jié)果.

解析：根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，因為sinB≠0，sinC≠0，

因為b2+c2-a2=8，所以2bccosA=8，

易錯點(diǎn)：忽視隱含條件判斷角A為銳角.

例9.(2018·全國卷Ⅰ理·17)在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

(Ⅰ)求cos∠ADB；

知識點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系.

解題路徑：(Ⅰ)根據(jù)正弦定理、題設(shè)條件，求得sin∠ADB，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得cos∠ADB；(Ⅱ)根據(jù)題設(shè)條件以及第一問的結(jié)論可以求得cos∠BDC，sin∠ADB，之后在△BCD中，用余弦定理得到BC所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

由題設(shè)知，∠ADB<90°，

所以BC=5.

易錯點(diǎn)：不能根據(jù)題目條件靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理，對角∠ADB的范圍判斷出錯.