廣東 于 濤

自提出核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵以來(lái)，高考評(píng)價(jià)體系就開(kāi)始經(jīng)歷從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變，解析幾何作為高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容也被賦予了新的含義.結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與2018年《考試說(shuō)明》來(lái)看，2018年全國(guó)卷對(duì)解析幾何的考查，注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與理解，主要考查直線與圓錐曲線的基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)，重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；注重學(xué)科思維的考查，如運(yùn)動(dòng)與變化的基本觀點(diǎn)和用代數(shù)研究幾何的基本方法等；強(qiáng)調(diào)思想方法的考查，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等思想方法；突出兩種能力的考查，即邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力；融入了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

下面，筆者將結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的命題導(dǎo)向?qū)?018年全國(guó)卷解析幾何的命題特點(diǎn)進(jìn)行分析.

1 解析幾何命題特點(diǎn)分析

縱觀2018年全國(guó)卷解析幾何的試題編排，試題數(shù)量穩(wěn)定，均為2-3道選填，1道解答，其中選填分布位置穩(wěn)定，1題屬于基礎(chǔ)題，1-2題屬于中高檔題，文理同題比例較往年有所提升.從考查曲線類型來(lái)看，4種曲線分布均勻，解答題集中在橢圓或拋物線.

1.1 注重學(xué)科基礎(chǔ)，凸顯直觀想象素養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)包括借助圖形感知認(rèn)識(shí)事物，分析理解問(wèn)題，通過(guò)建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索問(wèn)題的求解思路，也包括數(shù)學(xué)直覺(jué)思維，進(jìn)行“以圖代證”的“正確”猜想.解析幾何高考命題注重對(duì)基本概念和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的考查，如2018年Ⅰ卷文4，Ⅱ卷文6、理5都以基礎(chǔ)知識(shí)為考查核心.高考命題還強(qiáng)調(diào)對(duì)基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，如2018年Ⅰ卷文15，Ⅲ卷文10在注重“四基”的同時(shí)，凸顯了直觀想象素養(yǎng).

例1.(2018·全國(guó)卷Ⅰ文·15)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=________．

【點(diǎn)評(píng)】 試題精心設(shè)計(jì)了“特殊位置”的直線與圓，使得題目在解答過(guò)程中，既可以按照?qǐng)A錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題的基本方法求解，又可以結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解，還可以借助圖形“以圖代算”，直接求解，體現(xiàn)了“先畫(huà)圖，再分析、求解”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要性，有效地考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

1.2 注重學(xué)科思維，凸顯數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)包括對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象概括能力，也包括舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)屬性的思維能力等.解析幾何用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，“代數(shù)”是研究工具，“幾何”是研究對(duì)象，問(wèn)題的解決始于“幾何”，終于“幾何”.事實(shí)上，“幾何”也可以作為研究工具，全面地體現(xiàn)了解析幾何的學(xué)科思維.如2018年Ⅰ卷理11，Ⅱ卷文11、理12，Ⅲ卷理11都可以從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度進(jìn)行問(wèn)題的求解.幾何解法需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，將題目曲線的基本概念、幾何性質(zhì)等條件信息進(jìn)行圖形化翻譯后，抽象出題意蘊(yùn)含的幾何圖形，凸顯了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

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【點(diǎn)評(píng)】 試題把直角三角形與雙曲線的中心、漸近線有機(jī)整合，構(gòu)建了數(shù)形結(jié)合的環(huán)境，為不同能力的學(xué)生提供了方法選擇的空間，充分體現(xiàn)了解析幾何的學(xué)科思維：代數(shù)、幾何兩條路.試題解法的多樣性體現(xiàn)了思維的靈活性，代數(shù)解法思維量小，運(yùn)算量大，起點(diǎn)低，落點(diǎn)高；幾何解法思維量大，運(yùn)算量小，起點(diǎn)高，落點(diǎn)低.其中，幾何解法從大量信息中抽象出Rt△OMN,Rt△OMF,△OFN三個(gè)三角形，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算量.要在“繁雜”的情境中抽象出“簡(jiǎn)單”的數(shù)學(xué)對(duì)象，需要很好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.3 強(qiáng)調(diào)多想少算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)包括理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力，也包括掌握運(yùn)算法則，求得運(yùn)算結(jié)果等過(guò)程中遇到障礙調(diào)整運(yùn)算的能力，以及敢算的勇氣和能算的信心.解析幾何試題考查以含字母的式子的運(yùn)算為主，題目設(shè)置平穩(wěn)，容易上手，注重幾何問(wèn)題解析化，力求人人可算，卻不一定能算、巧算.解題時(shí)必須進(jìn)行認(rèn)真的辨別、探索和選擇，做到多想少算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【點(diǎn)評(píng)】 試題給定橢圓的方程，創(chuàng)設(shè)了橢圓動(dòng)弦AB的中點(diǎn)在橢圓半通徑(x軸上方)上運(yùn)動(dòng)的情境.題目第(Ⅰ)問(wèn)的兩個(gè)解題思路運(yùn)算量差別巨大，解答時(shí)需要弄清命題背景，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法.題目第(Ⅱ)問(wèn)增加了條件，信息較多，解題時(shí)可按照題目條件出現(xiàn)的順序進(jìn)行“直譯”，以此來(lái)理清運(yùn)算思路.三個(gè)環(huán)節(jié)的運(yùn)算對(duì)象，對(duì)運(yùn)算能力的要求逐步提高，每個(gè)環(huán)節(jié)的計(jì)算錯(cuò)誤，都會(huì)導(dǎo)致后續(xù)解答的錯(cuò)誤，強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算的準(zhǔn)確性.試題的兩問(wèn)從不同側(cè)面全面地考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1.4 注重合理轉(zhuǎn)化，凸顯邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理素養(yǎng)包括從一些事實(shí)和命題出發(fā)，推理論證其他命題的思維能力，也包括掌握推理的基本形式和規(guī)則，探索和表述論證過(guò)程，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題等.全國(guó)卷解析幾何試題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)明扼要，強(qiáng)調(diào)對(duì)幾何條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，解題時(shí)需根據(jù)具體情境廣泛地聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，探索最佳論證過(guò)程.如2018年Ⅰ卷文20、理19，Ⅲ卷文8、理6都需進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，凸顯了邏輯推理素養(yǎng).

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅱ)要證明∠OMA=∠OMB，需要將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的代數(shù)關(guān)系，設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB)，如圖，聯(lián)系不同的知識(shí)，有如下轉(zhuǎn)化方式.

方式1：由直線MA和直線MB關(guān)于x軸對(duì)稱，得kMA+kMB=0；

方式2：過(guò)O作直線MA,MB的垂線，垂足分別為D,E.由OM是∠AMB的角平分線，得dO-lMA=dO-lMB,即|OD|=|OE|；

方式3：記直線MA,MB與y軸的交點(diǎn)分別為G,H.優(yōu)化方式2，由△OMG≌△OMH，得|OG|=|OH|；

【點(diǎn)評(píng)】 試題以動(dòng)弦(焦點(diǎn)弦)和定點(diǎn)(點(diǎn)M)構(gòu)造出運(yùn)動(dòng)與變化的情景，以圖形變化中的幾何不變性為命題背景，突出考查了幾何問(wèn)題“解析化”的基本方法.設(shè)問(wèn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程體現(xiàn)了分析法的應(yīng)用，有效地考查了邏輯推理的基本形式，由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，8種轉(zhuǎn)化方式以方式1最佳，方式3，5次之，其余轉(zhuǎn)化方式或運(yùn)算量巨大，或思路狹窄，多種轉(zhuǎn)化方式的探索與選擇，凸顯了邏輯推理的思維能力，試題多角度、多層次地考查了邏輯推理素養(yǎng).

1.5 注重學(xué)科規(guī)律，凸顯探究創(chuàng)新素養(yǎng)

探究創(chuàng)新素養(yǎng)包括發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題的意識(shí)和眼光，綜合與靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法的能力，也包括能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題等.解析幾何有許多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，高考命題也常以某個(gè)性質(zhì)為背景，或直接應(yīng)用，或探究證明，注重學(xué)科規(guī)律，如下表.

2018年全國(guó)卷解析幾何試題的結(jié)論規(guī)律或題目背景

知識(shí)性結(jié)論的積累和應(yīng)用，有助于減少解題的運(yùn)算量.由探究性素材得到或體現(xiàn)的結(jié)論，要知其然，知其所以然.教學(xué)中可圍繞這些問(wèn)題展開(kāi)自主探究、合作研究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，提升學(xué)生猜想合理數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，發(fā)展學(xué)生的探究創(chuàng)新素養(yǎng).

例5.(2018·全國(guó)卷Ⅲ理·16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=________．

思路2如圖，若發(fā)現(xiàn)或知道DM∥x軸(D是AB的中點(diǎn))，則由yA+yB=2yD=2得到關(guān)于k的方程.

【點(diǎn)評(píng)】 試題以拋物線焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)為命題背景，思路1是常見(jiàn)的解析化思維，運(yùn)算量很大，間接的從代數(shù)角度證明了思路2，3中的結(jié)論；思路2，3體現(xiàn)了“幾何多一點(diǎn)，代數(shù)少一點(diǎn)”的學(xué)科思維，根據(jù)幾何猜想或證明相應(yīng)結(jié)論，凸顯了直觀想象素養(yǎng).試題可向教學(xué)延伸，進(jìn)行拋物線平面幾何性質(zhì)的探究，其性質(zhì)多達(dá)十余條(限于篇幅，不一一羅列)，凸顯了注重探究創(chuàng)新的命題導(dǎo)向.

2 解析幾何復(fù)習(xí)備考建議

2.1 牢固基礎(chǔ)知識(shí)

復(fù)習(xí)備考要用好《考試說(shuō)明》和教材.《考試說(shuō)明》能給復(fù)習(xí)備考以方向性的指導(dǎo)，例如《考試說(shuō)明》中與圓有關(guān)的要求，使用的都是“掌握”“能”這樣要求較高的行為動(dòng)詞，因此，要重視對(duì)圓的復(fù)習(xí)，也要重視與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題的復(fù)習(xí)，如2018年Ⅱ卷文20、理19就涉及對(duì)拋物線與圓的綜合考查.關(guān)于圓錐曲線的知識(shí)要求，則強(qiáng)調(diào)概念、性質(zhì)兩手抓，教學(xué)時(shí)可以幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，積累易錯(cuò)點(diǎn)，力求夯實(shí)基礎(chǔ)，突出重點(diǎn).教材是高考命題的素材源泉，復(fù)習(xí)時(shí)可以對(duì)教材中的經(jīng)典例題、習(xí)題進(jìn)行變式、拓展和深化，強(qiáng)化知識(shí)的同時(shí)，突出對(duì)基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的復(fù)習(xí)，扎實(shí)學(xué)科基礎(chǔ)，為素養(yǎng)的養(yǎng)成和發(fā)展做好條件準(zhǔn)備.

2.2 重視思想方法

數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)著數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，能幫助學(xué)生提升思維能力.《考試說(shuō)明》中與解析幾何有關(guān)的要求，明確提出：“理解數(shù)形結(jié)合的思想”，“數(shù)”與“形”是解析幾何的本質(zhì)體現(xiàn)，代數(shù)好想不好算，幾何好算不好想，幾何條件挖掘越充分，代數(shù)表征就越簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量就越小，文中例題均有所體現(xiàn).因此，數(shù)形結(jié)合不僅要以形助數(shù)，更要重視代數(shù)、幾何兩條路，培養(yǎng)學(xué)生先幾何后代數(shù)的思維習(xí)慣，力求每個(gè)題目都從代數(shù)、幾何兩種角度進(jìn)行解法研究.全國(guó)卷解析幾何試題涉及的“幾何”多與特殊三角形、相似三角形、解三角形等幾何知識(shí)有關(guān)，教學(xué)時(shí)可以注重經(jīng)驗(yàn)的積累.對(duì)于其它思想方法，要特別重視轉(zhuǎn)化與化歸的思想，教學(xué)中對(duì)每個(gè)幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化，都要讓學(xué)生聯(lián)系所學(xué)，盡量多的等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后再比較不同轉(zhuǎn)化方式的優(yōu)劣，如文中例4，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生形成思維中的慣性觀念，以及根據(jù)題目條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化的能力.除此以外，在有關(guān)定值、定點(diǎn)等存在性和探究性問(wèn)題時(shí)，要特別重視特殊與一般的思想，解題從特殊情形入手，先通過(guò)“特殊”找到可能存在的結(jié)果，再對(duì)結(jié)果進(jìn)行一般情形的驗(yàn)證，做到先特殊后一般，四兩撥千斤.其中，有關(guān)斜率存在與不存在的分類討論，也可歸入特殊與一般的教學(xué).應(yīng)用思想方法能力的提升，也標(biāo)志著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.3 強(qiáng)化兩種能力

邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力是解析幾何掙不脫躲不過(guò)的能力要求，兩種能力并不孤立，邏輯推理能力能幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)可行解題思路的預(yù)估，評(píng)價(jià)運(yùn)算量的大小，引導(dǎo)學(xué)生選擇運(yùn)算量較小的解題方式，因此，教學(xué)中要注重以邏輯推理助力運(yùn)算求解.反過(guò)來(lái)，過(guò)硬的運(yùn)算求解能力，能讓學(xué)生大膽設(shè)取字母，積極運(yùn)算，能促進(jìn)學(xué)生邏輯推理的暢順.二者相輔相成，缺一不可，促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的共同提升.

2.4 關(guān)注探究創(chuàng)新

素養(yǎng)導(dǎo)向的高考命題以新背景、新情境、新信息等方式，考查學(xué)生的科學(xué)探究能力和創(chuàng)新能力.教學(xué)中要將符合命題導(dǎo)向的高考試題向教學(xué)延伸，如文中的例4、例5，不論是對(duì)試題多種解法展開(kāi)探究，還是對(duì)試題高等幾何背景、拋物線平面幾何性質(zhì)的挖掘與學(xué)習(xí)，都是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)主觀能動(dòng)性，發(fā)展創(chuàng)新能力的過(guò)程.需要指出，對(duì)探究得到的結(jié)論或性質(zhì)，需要讓學(xué)生明確其證明方法，經(jīng)歷其推導(dǎo)過(guò)程，以此來(lái)促進(jìn)學(xué)生科學(xué)態(tài)度的形成，以及科學(xué)素養(yǎng)的提升.