湖北 陶德軍

一、問題背景

數(shù)學邏輯推理是國內(nèi)外數(shù)學教育界持久的研究熱點，中國已經(jīng)取得不少相關(guān)研究成果，但其內(nèi)涵的界定沒有得到統(tǒng)一.數(shù)學上的邏輯指的是思維的規(guī)律和規(guī)則，是對思維過程的抽象.邏輯推理屬于思維的基本形式之一，從一些事實和命題出發(fā)，對數(shù)學對象進行邏輯性思考，進而推出一個命題的思維過程.邏輯對象是表示數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學符號；數(shù)學推理的依據(jù)主要來自問題所在的數(shù)學系統(tǒng)；邏輯性思考方法有觀察、實驗、聯(lián)想、猜測、直觀、歸納、類比、推廣、限定、抽象、矯正、調(diào)控、演繹等科學發(fā)現(xiàn)、論證手段；數(shù)學邏輯推理是環(huán)環(huán)相扣，連貫進行的符合邏輯的過程.在教學中提升學生邏輯推理核心素養(yǎng)，尤其是以“數(shù)與代數(shù)”為抓手的相關(guān)文獻并不多.筆者以2018年12月宜昌市縣域示范高中聯(lián)合體“同課異構(gòu)”的優(yōu)質(zhì)競賽課一等獎 “任意角的三角函數(shù)”的教學設(shè)計為例，來談談邏輯推理核心素養(yǎng)視角下的概念教學.

二、教學設(shè)計

1.數(shù)學史(視頻)引入，再現(xiàn)數(shù)學邏輯推理在科學發(fā)現(xiàn)中的貢獻

情境1：三角學之父喜帕恰斯(古希臘天文學家)為定量解決天體位置引入球面三角，此時的正弦是圓弧所對弦的弦長，這時的三角主要是滿足天文學計算的需要.德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯1464年完成的《論各種三角形》，提出了求三角形邊長的代數(shù)解法，討論了球面三角的正余弦定理，是三角學從天文學中獨立出來的標志，這是幾何的三角.哥白尼學生雷蒂庫斯的《三角形準則》(1551年)首次給出了六種三角函數(shù)表，重新定義了三角函數(shù)，即為三角形的邊與邊的比，并指出此比與角度有關(guān)，不過僅限于銳角三角函數(shù)，目的在于解三角形和三角計算，這是代數(shù)的三角.18世紀，歐拉建立了三角函數(shù)的嚴格解析理論，正弦不再是線段，而是數(shù)值，三角函數(shù)不再單純解決三角形邊角關(guān)系，而是研究周期變化最有表現(xiàn)力的函數(shù)，這是解析的三角.

【設(shè)計意圖】讓學生了解三角函數(shù)發(fā)展史，感受概念形成的曲折經(jīng)歷、感知需要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，滲透數(shù)學文化.

2.復習舊知，構(gòu)建邏輯思維起點

情境2：初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？

【設(shè)計意圖】任意角三角函數(shù)定義的生成以初中銳角三角函數(shù)的定義為探究起點.

3.由形到數(shù)，類比推理，演繹論證，實現(xiàn)三角函數(shù)定義解析化

情境3：為了討論問題方便，怎樣將Rt△OMP中∠POM放入直角坐標系？如何表示銳角α終邊上點P的坐標？

頂點O與原點重合，角的始邊OM與x軸的非負半軸重合，PM⊥x軸于點M，點P坐標為(a,b).

情境4：你能用直角坐標系中角α終邊上點P的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

情境5：改變角α終邊上點P位置，銳角α的三角函數(shù)改變嗎？能說明理由嗎？

教師讓學生想象思考，作出主觀判斷，教師再用幾何畫板演示，當點P改變位置時，討論點P坐標的變化及對應三角函數(shù)值.結(jié)論：當角α確定時，α的三角函數(shù)不隨點P位置改變而變化.

教師引導學生看圖，點P改變時，得到的兩個三角形相似，比值不變.

情境6：銳角α變化時，比值改變嗎？比值是角的函數(shù)嗎？

教師讓學生想象思考，作出判斷，教師再用幾何畫板演示，同時作出解釋.

結(jié)論：當α為銳角時，三個比值會隨著α的變化而變化；當α確定時，三個比值是確定的.因此三個比值是以α為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).

【設(shè)計意圖】角是幾何圖形，將角放入坐標系，通過終邊上點的坐標，搭建由形到數(shù)的橋梁.PM⊥x軸于點M，構(gòu)造情境2中的Rt△OMP，將坐標系中銳角三角函數(shù)的表示化為初中直角三角形中銳角三角函數(shù)的表示，類比實現(xiàn)了定義解析化.通過情境5與6，比值隨角的改變而改變，角定則比值唯一，解釋了銳角三角函數(shù)表示的合理性.

4.類比、歸納，實現(xiàn)三角函數(shù)定義任意化

情境7：能將銳角三角函數(shù)的比值情形推廣到任意角α嗎？

追問：當α變化時，正弦、余弦、正切對應比值變化嗎？

讓學生思考，作出判斷，再用幾何畫板演示.結(jié)論是各比值隨α變化而變化.

再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于α的每一個確定值，比值不變.再用幾何畫板演示.

【設(shè)計意圖】從銳角三角函數(shù)類比到任意角的兩類8種情況，再歸納共性，得到任意角三角函數(shù)定義.

5.通過限定r得第二定義

情境8：以原點為圓心，單位長度為半徑的圓叫單位圓.當點P為單位圓與終邊交點時，上面定義對應結(jié)果是什么？

【設(shè)計意圖】限定r引入第二定義，是為了后續(xù)三角函數(shù)定義幾何化，引入三角函數(shù)線，為畫三角函數(shù)圖象作準備.

6.觀察定義的符號表達式，探究概念的外延

情境9：請同學完成下表.

函數(shù)sinαcosαtanα定義域

【設(shè)計意圖】讓學生探究三角函數(shù)定義的適用范圍.

7.調(diào)控思路、矯正方向，應用概念解決實際問題

在解題過程中學生只知道畫出角的終邊，在終邊上取點P，但不知道所取點P的坐標怎么求，此時教師要引導學生，在坐標系中常見輔助線是過點P向x軸作垂線，垂足設(shè)為M，得Rt△OMP.

追問：在Rt△OMP中已知什么？取|OP|=2，則兩條直角邊邊長是多少？點P的坐標是多少？

【設(shè)計意圖】取點→作垂線→構(gòu)造直角三角形→解直角三角形→表示點的坐標→求三種三角函數(shù)值，這是用定義法求三角函數(shù)的基本程序.

8.反思小結(jié)，提升邏輯推理核心素養(yǎng)

情境11：請同學們對本節(jié)課內(nèi)容進行小結(jié).

【設(shè)計意圖】數(shù)學史引入(感受邏輯推理在科學探究中的作用)→復習三角形中三角函數(shù)定義(從形出發(fā))→坐標系中銳角三角函數(shù)定義(類比實現(xiàn)代數(shù)化、解析化、符號化)→任意角三角函數(shù)定義(類比、歸納推廣實現(xiàn)一般化、探究內(nèi)涵)→定義域(觀察探究應用范圍、外延)→特殊角三角函數(shù)值求解(矯正、調(diào)控思路實現(xiàn)應用程序化)，讓學生重溫概念的生成、應用，提升核心素養(yǎng).

三、賽后議課

1.通過數(shù)學史引入概念，再現(xiàn)概念生成的軌跡.概念內(nèi)涵的界定得到統(tǒng)一，要經(jīng)過很長時間，甚至幾個世紀，通過數(shù)學史引入概念培養(yǎng)學生邏輯推理核心素養(yǎng)不僅可行，而且是一個重要的抓手.本案例用視頻介紹了三角函數(shù)定義形成的悠久歷史，從天文學中的球面三角→幾何的三角(從天文學獨立出來)→代數(shù)的三角→解析的三角，即從實際問題抽象出數(shù)學問題→直角三角形中直觀的邊長比(形)→給出三角函數(shù)表(由形到數(shù))→嚴格的解析理論建立(符號化),發(fā)展過程中用到抽象、觀察、類比、歸納等邏輯性思考方法.概念教學是對歷史的重演，沿著前人足跡，學生經(jīng)歷概念的自然生成過程.