福建 黃清波

橢圓或雙曲線的離心率問(wèn)題一直都是高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，其題型綜合性較強(qiáng)，靈活多變，難度大.主要考查考生對(duì)知識(shí)的熟練掌握和靈活運(yùn)用的能力，及對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.解決這類問(wèn)題的基本方法：利用離心率定義求離心率；借助圓錐曲線定義求離心率；結(jié)合試題的幾何特征,數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于a,c的齊次方程求離心率.本文以2018年福建省高三畢業(yè)班理科質(zhì)檢第15題為例展開探究，側(cè)重分析如何借助圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合(代點(diǎn)法)求離心率，希望對(duì)師生今后學(xué)習(xí)有一定啟發(fā).

一、試題再現(xiàn)

【命題分析】本題以圓、雙曲線為載體，考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，難度較大.考生由于不會(huì)利用雙曲線的定義并結(jié)合圖形特點(diǎn)得到離心率滿足的方程，或找不到點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線方程得到離心率滿足的方程，或計(jì)算煩瑣等，導(dǎo)致得分率極低.

二、解法探究

1.定義法

【第一定義法】雙曲線的第一定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.如圖，本題由雙曲線與圓均關(guān)于x軸對(duì)稱，得到△APQ為正三角形，由此求出|PF|，再設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F0，利用雙曲線的定義求出|PF0|，然后在△PFF0中利用余弦定理解決問(wèn)題.

【點(diǎn)評(píng)】利用圓錐曲線定義求離心率需要我們對(duì)定義背景、本質(zhì)內(nèi)容深刻理解，并結(jié)合圖象特征巧妙利用已知的等量關(guān)系建立齊次方程求解.同時(shí)也告訴我們，在高三的復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)有意識(shí)地回歸教材，注意挖掘教材中典型例題、課后習(xí)題中所蘊(yùn)涵的重要結(jié)論或數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)揮教材價(jià)值，才能有效對(duì)接高考.

2.代點(diǎn)法

由圖形的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，并代入雙曲線的方程便可解決問(wèn)題.

【解法5】設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)B，由圖形的幾何特征，易得∠PAF=30°，∠PFB=60°，

【點(diǎn)評(píng)】利用代點(diǎn)法解答過(guò)程同樣簡(jiǎn)練，體現(xiàn)數(shù)形完美結(jié)合，利用等量關(guān)系出奇制勝解決問(wèn)題.所以我們?cè)诮忸}教學(xué)中，提倡一題多解的同時(shí)，還要尋求解題方法的最優(yōu)化，提出解決問(wèn)題的通性通法，才能擺脫題海，事半功倍.

三、試題鏈接

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【解法1】(定義法)如圖所示，可設(shè)∠PF1F2=θ,則由PF1=2ccosθ，PF2=2csinθ，

由雙曲線定義PF1=PF2+2a可得2ccosθ=2csinθ+2a，

即ccosθ-csinθ=a①，

( )

四、試題啟示

橢圓或雙曲線的離心率相關(guān)題型的命題思路：橢圓或雙曲線的定義與平面幾何的性質(zhì)相結(jié)合，或者把圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與參量a,b,c分離出來(lái)，然后根據(jù)其坐標(biāo)的范圍得到離心率的值或取值范圍.

橢圓或雙曲線的離心率相關(guān)題型的解題思路：解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，充分利用橢圓或雙曲線的定義、幾何性質(zhì)和圖形特征，借助a,b,c之間的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次等式或不等式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式得出離心率e的值或取值范圍.