張守建

摘 要 GPS單點定位是各種GPS精密定位的基礎(chǔ)，目前課堂教學(xué)中僅講授GPS單點定位的幾何原理，很少提及其詳細(xì)的數(shù)值求解過程。本論文給出了GPS單點定位中的兩個關(guān)鍵步驟的算法：1）GPS衛(wèi)星信號發(fā)射時刻和衛(wèi)星位置的計算方法；2）GPS單點定位的計算方法，這兩個部分結(jié)合形成了GPS單點定位的迭代計算方法，為學(xué)生掌握單點定位的原理和算法打下基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 GPS 單點定位 最小二乘

全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System，簡稱GPS）可為車輛、船只、飛機等各種移動用戶提供全天候高精度導(dǎo)航、定位與授時，極大地促進(jìn)了社會信息化水平。GPS單點定位技術(shù)是指采用單臺接收機的偽距觀測值求解接收機位置和接收機鐘差的方法，是導(dǎo)航、定位與授時等功能中的核心算法。

在高精度定位領(lǐng)域，大地測量學(xué)者發(fā)展出了更高定位精度的差分定位技術(shù)、RTK定位技術(shù)和精密單點定位技術(shù)等多種高精度定位方法，在這些定位技術(shù)中，其核心也是依托于單點定位技術(shù)，不同之處在于如何更加精細(xì)地處理各種系統(tǒng)誤差。

因此，在“GPS原理與方法”這門課程中，把單點定位技術(shù)講清楚是后續(xù)學(xué)習(xí)各種精密定位方法的關(guān)鍵所在，目前我們在講授單點定位內(nèi)容時，一般只講授幾何定位原理，其求解的具體過程涉及很少。為了更好地讓學(xué)生掌握這部分內(nèi)容，本論文闡述了GPS單點定位中幾個關(guān)鍵步驟，并給出了詳細(xì)分析過程，以期達(dá)到讓學(xué)生掌握這一核心算法的目的。

1 偽距觀測方程

接收機以確定的時間間隔（通常情況下為30s）來讀取并記錄數(shù)據(jù)，假設(shè)接收機的讀取時間為，那么接收機對衛(wèi)星的觀測方程可以寫為：

（1）

其中為信號接收時刻，為GPS衛(wèi)星信號發(fā)射時刻，為真空中光的傳播速度，需要注意的是，由于接收機和衛(wèi)星上自帶的時鐘系統(tǒng)均包含有各自的系統(tǒng)誤差，與標(biāo)準(zhǔn)的GPS時間系統(tǒng)并不能保持一致，上述接收時刻和發(fā)射時刻分別可以表示為：

（2）

（3）

為了表述清晰起見，這里將時刻定義為鐘面時刻，將t定義為真實時刻，將公式（2）和（3）代入到公式（1），偽距觀測方程可以整理為：

為了更清楚地闡明單點定位求解過程，上述偽距觀測方程中沒有考慮相對論效應(yīng)，電離層延遲，對流層延遲等系統(tǒng)誤差，但在實際定位中需加以考慮。

假設(shè)已知信號發(fā)射真實時刻ts，根據(jù)GPS導(dǎo)航電文中給出的衛(wèi)星軌道根數(shù)和衛(wèi)星鐘差等參數(shù)，即可計算出對應(yīng)時刻的衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差s，將衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差代入到觀測方程（4）后，剩下4未知參數(shù)，分別為接收機位置和接收機鐘差，然后采用第3節(jié)的最小二乘方法可得到這些未知參數(shù)的解。

在計算衛(wèi)星軌道和衛(wèi)星鐘差時，需要已知信號發(fā)射的真實時刻，而在接收機觀測值文件中（比如RINEX文件中），我們僅知道信號接收鐘面時刻和對應(yīng)時刻的偽距觀測值，是否可以利用信號接收鐘面時刻代替發(fā)射真實時刻來計算衛(wèi)星軌道和鐘差呢？答案是否定的。因為GPS衛(wèi)星軌道高度在20000公里左右，信號從衛(wèi)星到地面接收機大概需要0.075s，GPS衛(wèi)星運動速度約為3.9km/s，因此其誤差可達(dá)為290m左右，這會嚴(yán)重降低單點定位精度，因此GPS衛(wèi)星信號發(fā)射真實時刻的計算是求解單點定位的關(guān)鍵所在。

2衛(wèi)生信號發(fā)射真實時刻計算方法

為了計算信號發(fā)射真實時刻，把觀測方程（1）進(jìn)行整理：

（7）

將方程（3）代入上式，可得信號發(fā)射真實時刻為：

（8）

從公式（8）可以看出，根據(jù)信號接收鐘面時刻和偽距觀測值，并根據(jù)導(dǎo)航電文，就可以計算出衛(wèi)星信號發(fā)射的真實時刻，然而衛(wèi)星鐘差的計算也需要信號發(fā)射真實時刻，因此需要對公式（8）進(jìn)行迭代計算，過程如下：

需要注意的是，衛(wèi)星鐘差數(shù)值一般10-4s到10-5s之間，其精度一般跟GPS衛(wèi)星搭載的原子鐘的精度相關(guān)，目前搭載的GPS衛(wèi)星有三類原子鐘，包括銣原子鐘，銫原子鐘和氫原子鐘，其中銣原子鐘相對穩(wěn)定度在10-12s/s，銫原子鐘為10-13s/s，氫原子鐘為10-14s/s?？紤]到上述衛(wèi)星鐘差的數(shù)量及精度，上述迭代公式一般需要計算2次就可以滿足單點定位精度求。此外，上述求解過程中，偽距的觀測誤差也是可以忽略的，因為其距離誤差約為10m，對應(yīng)時間誤差為10-8s，衛(wèi)星運動距離小于1mm。

上述迭代計算過程是基于偽距觀測方程的，事實上衛(wèi)星信號發(fā)射真實時刻還可以從真實幾何距離方程得到，我們知道幾何距離方程為：

（9）

變換上述方程可得：

（10）

可見上述方程也需要進(jìn)行迭代計算，具體過程為：

上述迭代過程，接收機真實時刻t的計算需要知道接收機鐘差，而接收機鐘差是未知的，因此只能利用接收機鐘面時刻T代替，其最大誤差為1ms，對應(yīng)的衛(wèi)星運動距離為3.9m左右，與偽距觀測值精度相當(dāng)，可以忽略。幾何距離的計算需要知道接收機位置和衛(wèi)星位置，接收機位置可以先假設(shè)一個合理的大概位置，一般可設(shè)置為（0，0，0），衛(wèi)星位置可以根據(jù)衛(wèi)星發(fā)射時刻利用導(dǎo)航電文計算得到，具體請參考（李征航，黃勁松，2005）。需要注意的是，導(dǎo)航電文中GPS衛(wèi)星位置是地心地固坐標(biāo)系，不同時刻衛(wèi)星位置所屬的參考框架是不同的，由于信號發(fā)射時刻和信號接收時刻參考框架是不同的，因此需要對由于地球自轉(zhuǎn)引起的參考框架旋轉(zhuǎn)進(jìn)行改正。

上述兩種迭代算法在單點定位中都常用到，第一種迭代算法速度更快，也更容易理解；第二種迭代算法需要根據(jù)接收機位置計算幾何距離，所以需要和單點定位整體迭代過程結(jié)合在一起，也更加復(fù)雜。此外，實際計算時，上述算法均需考慮相對論效應(yīng)，否則定位精度會受到影響。

3 GPS單點定位參數(shù)估計方法

從GPS偽距觀測方程（6）可以看出，單點定位觀測方程是一個非線性觀測方程，為了數(shù)值求解這個方程，首先應(yīng)該將其線性化，然后采用最小二乘法來估計未知參數(shù)。

首先，將觀測值表達(dá)為一個模型值和誤差項：

（11）

根據(jù)泰勒級數(shù)展開法則（Taylor's theorem），將模型在初始值（也稱為先驗值）附近展開，并舍棄掉二階及高階小項，可得：

（12）

注意上述偏導(dǎo)數(shù)也需要使用先驗值進(jìn)行計算，于是殘差觀測值也就是實際觀測值與模型計算值之差，此時線性化觀測方程可寫為：

（13）

寫成矩陣形式：

（14）

假設(shè)在當(dāng)前歷元觀測了m顆衛(wèi)星，那么觀測方程可以寫為：

（15）

將其寫成矩陣形式： （16）

上述觀測方程描述了殘差觀測向量b與未知參數(shù)向量x之間的線性函數(shù)，因此被稱為線性化觀測方程，觀測方程中殘差向量v是未知的，需要在參數(shù)估計后確定。假設(shè)未知參數(shù)向量x的估值為，根據(jù)最小二乘原理，其解為：

=（ATA）-1ATb （17）

需要注意的是，由于觀測方程是非線性的，上述計算過程需要進(jìn)行多次迭代，直到待估參數(shù)的解收斂為止。（下轉(zhuǎn)第131頁）（上接第108頁）

根據(jù)上述衛(wèi)星發(fā)射時刻計算時間和參數(shù)估計方法，GPS單點定位的流程圖如圖1所示。

4 結(jié)語

GPS單點定位技術(shù)是導(dǎo)航、定位和授時的基礎(chǔ)，也是差分GPS和RTK技術(shù)等精密定位技術(shù)的基礎(chǔ)，本論文從GPS單點定位實現(xiàn)的流程著手，給出了兩種不同的衛(wèi)星發(fā)射時刻和衛(wèi)星軌道計算方法，然后介紹了單點定位估計方法和注意事項，最后給出了GPS單點定位的整個數(shù)值計算流程圖，為學(xué)生掌握單點定位技術(shù)的核心流程和關(guān)鍵點提供指導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 李征航，黃勁松.GPS測量原理與數(shù)據(jù)處理.武漢大學(xué)出版社，2005： 152-278.

[2] 周中謨，周琪.GSP衛(wèi)星測量原理與應(yīng)用[M].北京測繪出版社，1997.

[3] Blewitt， G. （1997）. Basics of the GPS Technique： Observation Equations. In Geodetic Applications of GPS， p. 10-54， ed. B. Johnson， Nordic Geodetic Commission， Sweden， ISSN 0280-5731.

[4] GNSS - Global Navigation Satellite Systems： GPS， GLONASS， Galileo （2008）. More Hofmann-Wellenhof， Lichtenegger， Wasle， Springer/Wien New York.