韓博，許允斗,2，姚建濤,2，鄭東，張碩，趙永生,2,*

1. 燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004 2. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島 066004

空間可展開機(jī)構(gòu)可以在儲(chǔ)存和運(yùn)輸時(shí)處于收攏狀態(tài)，占據(jù)運(yùn)載裝置較小的空間，當(dāng)需要工作時(shí)可完全展開，這種特點(diǎn)使得其在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如俄羅斯“聯(lián)盟號(hào)”飛船上的可展開天線[1]、日本ETS-Ⅷ衛(wèi)星天線[2]、美國(guó)AstroMesh可展開天線[3]以及中國(guó)的HJ-1-C衛(wèi)星SAR天線[4]等，已逐漸成為航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

目前，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者已針對(duì)空間可展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一系列的研究，取得了較多研究成果。Lu等[5]采用Hoekens直線單元機(jī)構(gòu)組成了一種平面可展天線結(jié)構(gòu)，楊毅和張武翔[6]通過組合空間對(duì)稱型6R(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副)機(jī)構(gòu)得到了一類平板式可展開天線機(jī)構(gòu)， Vu等[7]基于金字塔式可展開單元組合得到了多種平面可展開天線機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)[8-9]研究了Bricard和Bennett連桿機(jī)構(gòu)在空間可展開機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]分別基于剪叉機(jī)構(gòu)和Myard機(jī)構(gòu)構(gòu)造了大型可展開天線機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)[12-15]也分別研究構(gòu)造了多種類型的空間可展開機(jī)構(gòu)。

隨著空間可展開機(jī)構(gòu)的應(yīng)用越來(lái)越多，一些學(xué)者針對(duì)此類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性也進(jìn)行了相關(guān)研究，文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]分別研究了一類空間多面體向心機(jī)構(gòu)和四棱錐平板單元的運(yùn)動(dòng)特性，并基于此構(gòu)造了一種空間伸展臂以及平板式空間可展開天線機(jī)構(gòu)，許允斗等[18]針對(duì)大型構(gòu)架式空間可展開天線提出了一種拆桿等效的自由度分析方法，該方法針對(duì)空間多環(huán)耦合機(jī)構(gòu)具有較高的通用性，Zhao[19]和李端玲[20]等利用螺旋理論，分別分析了平面型和球面型剪叉機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性問題，Wei等[21]基于螺旋理論和圖論分析了魔術(shù)花球機(jī)構(gòu)的自由度問題，文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[23]基于螺旋理論分別分析了剪叉機(jī)構(gòu)組合單元的自由度、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及動(dòng)力學(xué)等問題，史創(chuàng)等[24]針對(duì)一種雙層環(huán)形桁架式可展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與力學(xué)分析。

空間可展開機(jī)構(gòu)多由空間連桿機(jī)構(gòu)組合而成，7R機(jī)構(gòu)是空間連桿機(jī)構(gòu)中重要的一類，可作為串聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于機(jī)械臂上，也可經(jīng)首尾相連后組成閉環(huán)機(jī)構(gòu)進(jìn)而組合成為空間可展開機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)[25-27]研究了7R機(jī)構(gòu)在機(jī)械臂中的運(yùn)動(dòng)控制與軌跡規(guī)劃問題，霍希建等[28]研究了7R機(jī)構(gòu)在仿人機(jī)械臂中的應(yīng)用；在閉環(huán)機(jī)構(gòu)方面，郭盛等[29]研究了包含7R機(jī)構(gòu)在內(nèi)的單閉環(huán)過約束機(jī)構(gòu)的構(gòu)型綜合問題，Deng等[30]系統(tǒng)地研究了5R～8R 單閉環(huán)可展開機(jī)構(gòu)的綜合與幾何設(shè)計(jì)方法，并給出了包含7R機(jī)構(gòu)在內(nèi)的多種單閉環(huán)可展機(jī)構(gòu)的幾何形貌。通過以上文獻(xiàn)的研究可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有研究對(duì)串聯(lián)式7R機(jī)構(gòu)的研究較為深入透徹，但是對(duì)閉環(huán)7R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性的研究較少，關(guān)于閉環(huán)7R機(jī)構(gòu)的組合應(yīng)用的相關(guān)研究鮮有報(bào)道。

本文提出了一種空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)，可用來(lái)構(gòu)造空間可展開機(jī)構(gòu)，結(jié)合圖論與螺旋理論[31]分析了機(jī)構(gòu)的整體自由度、運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件自由度、奇異性等運(yùn)動(dòng)特性，獲得了運(yùn)動(dòng)副軸線不同方位情況下運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的機(jī)構(gòu)自由度性質(zhì)，并對(duì)其瞬時(shí)性做了判別，同時(shí)分析了機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)情況下的奇異特性，得到了機(jī)構(gòu)在不同的驅(qū)動(dòng)下處于奇異位形時(shí)的幾何條件，最后基于此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)，組合得到了一類在完全展開時(shí)具有較好的力學(xué)性能的空間多棱錐可展開機(jī)構(gòu)，可較好地應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。

1 空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)構(gòu)型描述

空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)圖及其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，其包括E、A、B、C1、C2、D1、D27根連桿，7根連桿通過S1～S77個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副鉸鏈連接，其中轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S1和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S2、S7均平行，轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S3和軸線S4平行，轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S5和軸線S6平行，且轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S4和S5共面，整個(gè)7R機(jī)構(gòu)關(guān)于過轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線S1且垂直于連桿E的平面對(duì)稱。

圖1 空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)Fig.1 Spatial symmetric 7R mechanism

空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)位置坐標(biāo)系如圖2所示，坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于連桿E豎直方向的中垂線和鉸鏈S2S7中心點(diǎn)連線水平方向的中垂線的交點(diǎn)上，X軸平行于鉸鏈S2S7中心點(diǎn)連線，方向由鉸鏈S2的中心點(diǎn)指向S7的中心點(diǎn)，Z軸垂直向上，Y軸指向由右手定則確定，整個(gè)機(jī)構(gòu)關(guān)于YOZ平面對(duì)稱。

圖2 位置坐標(biāo)系Fig.2 Position coordinate system

文獻(xiàn)[30]的圖6中曾給出了幾種7R機(jī)構(gòu)的幾何形貌，但與此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)形貌不同，其運(yùn)動(dòng)副軸線方位及機(jī)構(gòu)對(duì)稱性與此機(jī)構(gòu)亦不相同。由圖1可以看到，此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)含有C1、C2和D1、D2等4根兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副均平行的連桿，以及A、B、E等3根兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副不平行的連桿，其中A與B兩個(gè)構(gòu)件兩端的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線異面布置，這是此機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，可以利用此特點(diǎn)，以A、B和E這3個(gè)構(gòu)件作為復(fù)雜形體的節(jié)點(diǎn)連接件，利用C1、C2和D1、D2連桿作為展開收攏運(yùn)動(dòng)連桿，組合不同類型的空間可展開機(jī)構(gòu)單元。

2 自由度分析

機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)為確定機(jī)構(gòu)或運(yùn)動(dòng)鏈位形的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目，亦即確定機(jī)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)所需的輸入的個(gè)數(shù)。對(duì)于空間環(huán)路機(jī)構(gòu)而言，除需要計(jì)算整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目之外，還應(yīng)關(guān)注機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度性質(zhì)，才能更好地應(yīng)用此機(jī)構(gòu)。由于空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)關(guān)于YOZ平面對(duì)稱，當(dāng)采用此機(jī)構(gòu)組合空間可展開機(jī)構(gòu)時(shí)，可利用其空間面對(duì)稱性，將構(gòu)件E作為運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)構(gòu)件(即機(jī)架)，選擇對(duì)稱的構(gòu)件A和構(gòu)件C作為運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件，因此下面將分析整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)以及運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度，這樣可以更清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)的自由度特性。

2.1 整體機(jī)構(gòu)自由度分析

空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)的旋量約束拓?fù)鋱D如圖3所示，在拓?fù)鋱D中，節(jié)點(diǎn)表示機(jī)構(gòu)中對(duì)應(yīng)的構(gòu)件，連線表示對(duì)應(yīng)的鉸鏈。

圖3 旋量約束拓?fù)鋱DFig.3 Schematic diagram of screw constraint topology

根據(jù)前面得到的各個(gè)鉸鏈中心點(diǎn)的位置坐標(biāo)以及軸線方向矢量，可以得到各個(gè)鉸鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋表達(dá)式為

(1)

用ω表示轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度大小，$表示相應(yīng)的單位運(yùn)動(dòng)旋量，下標(biāo)表示相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)副，則在此機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的旋量拓?fù)鋱D所示的環(huán)路中，閉環(huán)旋量方程可以表示為

ω4$4+ω3$3+ω2$2+ω1$1-

ω5$5-ω6$6-ω7$7=0

(2)

式中：0為6維列向量。

將上述約束旋量方程組寫成矩陣的形式：

Mω=0

(3)

旋量約束矩陣M是一個(gè)6×7維矩陣，機(jī)構(gòu)自由度數(shù)對(duì)應(yīng)于約束矩陣的零空間的維數(shù)，通過分析其旋量約束矩陣的秩rank(M)可以計(jì)算得到其對(duì)應(yīng)的零空間的維數(shù)。由于此機(jī)構(gòu)中α與β數(shù)值未知，都可以在0°～180°之間變化，亦即此機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置可以變化，因此可以將α與β視為兩個(gè)變量，將式(1)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)螺旋代入式(3)中的旋量約束矩陣M中，通過MATLAB軟件編程計(jì)算，得出當(dāng)α與β分別在0°～180°之間變化時(shí)，旋量約束矩陣M的秩的變化情況，從而分析運(yùn)動(dòng)副鉸鏈軸線方位布置對(duì)整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目變化的影響。

當(dāng)α與β分別在0°～180°之間變化時(shí)，旋量約束矩陣M的秩的變化情況如圖4所示。

圖4 旋量約束矩陣的秩Fig.4 Rank of screw constraint matrix

由于旋量約束矩陣M是一個(gè)6×7維矩陣，零空間的維數(shù)為其列數(shù)減去秩，即7-rank(M)，因此根據(jù)圖4可得：

1) 當(dāng)角度α與β均為0°或者180°時(shí)，此時(shí)鉸鏈軸線S1～S7均平行于Y軸，旋量約束矩陣M的秩為3，所以其自由度數(shù)為4，需要4個(gè)輸入才能完全確定整體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。

2) 當(dāng)α與β中有一個(gè)為0°或180°，另一個(gè)為0°～180°之間的值時(shí)，約束旋量矩陣M的秩為5，此時(shí)其自由度數(shù)為2，需要兩個(gè)輸入才能完全確定整體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。

3) 當(dāng)α與β均為0°～180°之間的值時(shí)，約束旋量矩陣M的秩為6，此時(shí)其自由度數(shù)為1，只需要一個(gè)輸入就能完全確定整體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。

分析以上結(jié)果可以看出對(duì)于空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置不同，會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度發(fā)生變化，且主要在角度α與β取0°或180°時(shí)自由度數(shù)目發(fā)生突變。

2.2 運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件自由度分析

將構(gòu)件E作為機(jī)架，選擇對(duì)稱的構(gòu)件A和構(gòu)件C作為運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件，二者的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)也關(guān)于YOZ平面對(duì)稱。下面將采用反螺旋理論分析運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件A在不同運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置情況下的自由度數(shù)目和性質(zhì)，并判斷其瞬時(shí)性。

2.2.1α=β=0°,180°

此時(shí)鉸鏈軸線S1～S7均平行，且平行于Y軸，此機(jī)構(gòu)變?yōu)槠矫?R機(jī)構(gòu)，如圖5所示。

圖5 平面7R機(jī)構(gòu)Fig.5 Planar 7R mechanism

此時(shí)各個(gè)運(yùn)動(dòng)旋量的表達(dá)式為

(4)

此機(jī)構(gòu)可等效為一個(gè)兩分支并聯(lián)機(jī)構(gòu)，兩個(gè)分支分別為5R分支和2R分支，5R分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(5)

2R分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(6)

分別求取兩個(gè)分支的約束螺旋系并組合得到運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的整體約束螺旋系為

(7)

對(duì)整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(8)

根據(jù)2.1節(jié)中的計(jì)算結(jié)果，此時(shí)整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)為4，通過式(8)分析可知此時(shí)運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度數(shù)為2。通過分析式(5)中運(yùn)動(dòng)螺旋系可知，運(yùn)動(dòng)螺旋的數(shù)量為5，但是其最大線性無(wú)關(guān)組為3，因此具有兩個(gè)局部自由度，所以雖然運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件只具有兩個(gè)自由度，但是確定整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仍需要4個(gè)輸入，整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目為4，其中兩個(gè)自由度為不影響機(jī)構(gòu)輸出件運(yùn)動(dòng)的自由度，即局部自由度。

由于此時(shí)機(jī)構(gòu)為全R副平面機(jī)構(gòu)，在機(jī)構(gòu)任何可能的運(yùn)動(dòng)過程中，各個(gè)分支的運(yùn)動(dòng)副因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的限制總保持原有的幾何關(guān)系，應(yīng)用反螺旋理論分析得到的分支約束力螺旋系不變，所以運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度不會(huì)發(fā)生改變，因此，此時(shí)計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度是全周性的。

2.2.2α=0°,180°，β=0°～180°

此時(shí)鉸鏈軸線S1∥S2∥S7，且平行于Y軸，仍然將此機(jī)構(gòu)等效為含兩個(gè)分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，兩個(gè)分支分別為5R分支和2R分支，5R分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(9)

2R分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(10)

分別求取兩個(gè)分支的約束螺旋系并組合得到運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的整體約束螺旋系為

(11)

對(duì)整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(12)

(13)

2R分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(14)

分別求取兩個(gè)分支的約束螺旋系并組合得到運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的整體約束螺旋系為

(15)

對(duì)整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(16)

2.2.3β=0°，180°，α=0°～180°

此時(shí)鉸鏈軸線S3∥S4∥S5∥S6，且平行于Y軸，5R分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系變?yōu)?/p>

(17)

2R分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(18)

分別求取兩個(gè)分支的約束螺旋系并組合得到運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的整體約束螺旋系為

(19)

對(duì)整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(20)

分析式(20)中的運(yùn)動(dòng)螺旋可知，運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件具有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，分別為繞YOZ平面內(nèi)過點(diǎn)(0,x3z4/(x3-x4))且平行于Y軸直線的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿與連桿D2垂直方向的移動(dòng)。

由于機(jī)構(gòu)在上述的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程中，各個(gè)分支的運(yùn)動(dòng)副因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的限制總保持原有的幾何關(guān)系，應(yīng)用反螺旋理論分析得到的分支約束力螺旋系不變，所以運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度不會(huì)發(fā)生改變，因此，此時(shí)計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度是全周性的。

2.2.4α,β=0°～180°

此時(shí)為最一般的情況，機(jī)構(gòu)5R分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系變?yōu)?/p>

(21)

2R分支運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(22)

分別求取兩個(gè)分支的約束螺旋系并組合得到運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的整體約束螺旋系為

(23)

對(duì)整體約束螺旋系再次求反螺旋可得輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(24)

由以上分析可得，對(duì)于此對(duì)稱型空間7R機(jī)構(gòu)而言，其運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置的不同會(huì)影響機(jī)構(gòu)整體機(jī)構(gòu)自由度，同時(shí)也會(huì)令運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件產(chǎn)生瞬時(shí)自由度，綜合以上4種情況可知，當(dāng)此機(jī)構(gòu)中夾角β不為0°或180°時(shí)，無(wú)論夾角α值為多少，運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件均只有一個(gè)移動(dòng)自由度，此時(shí)整體機(jī)構(gòu)亦只需一個(gè)輸入便可確定整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位形，這為后續(xù)由此機(jī)構(gòu)組合構(gòu)造空間可展開機(jī)構(gòu)單元奠定了基礎(chǔ)。

3 奇異特性分析

由于此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)關(guān)于YOZ平面對(duì)稱，其各個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)軌跡也關(guān)于YOZ平面對(duì)稱，如圖6所示，構(gòu)件E和鉸鏈S3以及鉸鏈S1分別沿軸線M1O、M2O、M3O1作平移運(yùn)動(dòng)，因此可以將此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)4R3P(P表示移動(dòng)副)機(jī)構(gòu)。

由于此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)可以等效簡(jiǎn)化為一個(gè)4R3P機(jī)構(gòu)，等效后其各個(gè)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)并無(wú)變化，因此可以通過分析此4R3P機(jī)構(gòu)的奇異特性來(lái)得到空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)的奇異特性。不失一般性，可以通過分析不同驅(qū)動(dòng)輸入條件下4R3P機(jī)構(gòu)的奇異位形來(lái)得到空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中的所有奇異位形。機(jī)構(gòu)在正常位形下時(shí)，雅克比矩陣滿秩，行列式值不為零，當(dāng)處于奇異位形時(shí)，雅克比矩陣欠秩，行列式為零，因此可以通過圖6中的封閉環(huán)路，列寫此機(jī)構(gòu)滿足的環(huán)路約束方程組，進(jìn)而得到機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)下的雅克比矩陣或其逆矩陣，通過其行列式為零值的條件計(jì)算得到機(jī)構(gòu)在不同輸入下奇異位形所出現(xiàn)的幾何條件，分析其奇異特性。

在圖6中，θ1為平移軸線M1O和連桿D1軸線之間的夾角，θ2為平移軸線M3O1和連桿C2軸線之間的夾角，桿件E的桿長(zhǎng)為l1，桿件D1、B和C2的桿長(zhǎng)分別為l2、l3和l4，圖中各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)分別用H1～H4表示，E桿中心點(diǎn)用H5表示；移動(dòng)副O(jiān)H5、OH2和O1H4的長(zhǎng)度分別為n1、n2和n3。

圖6 4R3P機(jī)構(gòu)及其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.6 4R3P mechanism and its schematic diagram

在四邊形OH5H1H2中，可得

(25)

即

(26)

對(duì)式(26)求導(dǎo)可得

(27)

在三角形OO1H2和三角形O1H3H4中，可以得到

(28)

即

(29)

對(duì)式(29)求導(dǎo)可得

(30)

因此可以得到θ1和θ2之間的關(guān)系：

(31)

將式(27)和式(30)整理可得

(32)

將式(32)寫成矩陣的形式，可以得到

(33)

式中：0為五維列向量。

下面討論此機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)條件下的奇異性問題。

(34)

方程左側(cè)系數(shù)矩陣的逆矩陣為此4R3P機(jī)構(gòu)在軸線M1O上添加驅(qū)動(dòng)時(shí)的速度雅克比矩陣，當(dāng)速度雅克比矩陣欠秩導(dǎo)致行列式的值為0時(shí)，此矩陣的行列式也必為0，因此可以通過分析此矩陣的行列式的值為0時(shí)的幾何條件來(lái)得到此機(jī)構(gòu)的奇異位形點(diǎn)。

(35)

式中：J為雅克比矩陣的逆矩陣。

式(35)矩陣行列式值為|J|=-l2l4cosθ2sinθ1，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，|J|=0，代入前述關(guān)系式整理得

|J|=-l2l4cosθ2sinθ1=

-l4cosθ2[(l3+l4sinθ2)/cosβ-l1/2]=0

(36)

綜合分析以上5種情況可知，在不同的驅(qū)動(dòng)情況下，此機(jī)構(gòu)的奇異位形點(diǎn)均發(fā)生在夾角θ1和θ2取0°或者90°時(shí)，這是此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，在用其組合構(gòu)造空間可展開機(jī)構(gòu)時(shí)，可充分利用此機(jī)構(gòu)的奇異點(diǎn)特性并在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中間避開其奇異位形點(diǎn)。

4 組合應(yīng)用

應(yīng)用此7R機(jī)構(gòu)組合空間可展開機(jī)構(gòu)時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置會(huì)影響機(jī)構(gòu)自由度，考慮到航天應(yīng)用對(duì)大型空間可展開機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單可靠的要求，選用自由度少且無(wú)局部自由度的運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置。根據(jù)本文第2部分的分析，當(dāng)此機(jī)構(gòu)中夾角β不為0°或180°時(shí)，運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件均只有一個(gè)自由度，且此時(shí)整體機(jī)構(gòu)只需一個(gè)輸入便可確定整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位形，因此選定此種情況時(shí)的7R機(jī)構(gòu)來(lái)組合構(gòu)造空間可展開機(jī)構(gòu)。

針對(duì)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件A與B而言，二者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿位于XOY平面上與Y軸平行的直線的相互靠近或遠(yuǎn)離，而這正是空間可展開機(jī)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)花盤構(gòu)件間的相互運(yùn)動(dòng)，同時(shí)針對(duì)整體機(jī)構(gòu)而言，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件在XOY平面上向坐標(biāo)原點(diǎn)O靠攏或遠(yuǎn)離的同步運(yùn)動(dòng)，這與空間可展開機(jī)構(gòu)中可展單元平面向心收攏的運(yùn)動(dòng)相同，考慮到夾角α與β角度數(shù)值可變，以及機(jī)構(gòu)含有的連桿D1和D2，因此可以通過組合多個(gè)此7R機(jī)構(gòu)來(lái)組合構(gòu)造空間多棱錐可展開機(jī)構(gòu)。

由于夾角α的大小并不影響機(jī)構(gòu)自由度，因此可以隨意設(shè)置，當(dāng)組合多棱錐可展開機(jī)構(gòu)時(shí)，通過β角取不同的值，可以通過7R機(jī)構(gòu)組合構(gòu)造不同的空間多棱錐可展開機(jī)構(gòu)，當(dāng)α角取0°，β角分別取30°、45°以及60°時(shí)，通過此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)組合得到的空間三棱錐、四棱錐以及六棱錐機(jī)構(gòu)如圖8所示。

由圖8可以看到，每個(gè)7R機(jī)構(gòu)位于棱錐機(jī)構(gòu)的一個(gè)側(cè)面，由于運(yùn)動(dòng)副的約束關(guān)系，每個(gè)7R機(jī)構(gòu)的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)是同時(shí)的，由于兩個(gè)側(cè)面的7R機(jī)構(gòu)共用一個(gè)運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件，因此整個(gè)空間多棱錐機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)均為同時(shí)的，所以空間多棱錐機(jī)構(gòu)的整體自由度與單個(gè)7R機(jī)構(gòu)相同，空間多棱錐機(jī)構(gòu)整體亦為單自由度機(jī)構(gòu)。

圖7 構(gòu)件A和B的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖Fig.7 Schematic diagram of motion trajectories of components A and B

圖8 由7R機(jī)構(gòu)單元構(gòu)造的多棱錐機(jī)構(gòu)Fig.8 Polygonal pyramid mechanisms constructed by 7R mechanism unit

以空間六棱錐機(jī)構(gòu)為例，分析角度α的取值對(duì)空間多棱錐機(jī)構(gòu)收攏率的影響。設(shè)定空間六棱錐機(jī)構(gòu)棱邊桿件長(zhǎng)度為h，收攏后底面棱邊桿長(zhǎng)度為m，當(dāng)角度α取0°～90°之間任意角度時(shí)，六棱錐機(jī)構(gòu)的完全收攏狀態(tài)如圖9所示，W表示視圖方向，r表示空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏后節(jié)點(diǎn)花盤的包絡(luò)圓半徑，R表示空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏后的整體外端包絡(luò)圓半徑。

從圖9中可以看出，空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏后包絡(luò)體積為

V=h×πR2=

h×π(r+msinα)2

(37)

式中：V表示包絡(luò)體積。

圖9 空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏后包絡(luò)體積Fig.9 Envelope volume of the fully folded space hexagonal pyramid mechanism

由式(37)可以看出，當(dāng)機(jī)構(gòu)桿件長(zhǎng)度及節(jié)點(diǎn)花盤大小都已確定時(shí)，在0°～90°范圍內(nèi)，空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏后的包絡(luò)體積隨著角度α的增大而增大。

當(dāng)角度α取0°、90°以及其他任意角度時(shí)，六棱錐機(jī)構(gòu)的完全收攏狀態(tài)如圖10所示，由圖中可以看出，在節(jié)點(diǎn)花盤及構(gòu)件長(zhǎng)度都相同的情況下，角度α為0°時(shí)整體機(jī)構(gòu)收縮后包絡(luò)空間最小，收攏率最高，角度α為90°時(shí)整體機(jī)構(gòu)收攏后包絡(luò)空間最大，收攏率最低。

空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)如圖11所示，圖中紅色箭頭線為節(jié)點(diǎn)構(gòu)件A和B的向心運(yùn)動(dòng)軌跡以及相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)從圖中可以看出此機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)時(shí)即為機(jī)構(gòu)處于邊界奇異位形的一個(gè)狀態(tài)(即θ2=π/2)，如果此時(shí)沿豎直方向給機(jī)構(gòu)施加一個(gè)作用力，機(jī)構(gòu)在這一位置的傳動(dòng)角為0°，壓力角為90°，機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)不能運(yùn)動(dòng)，六棱錐單元機(jī)構(gòu)退化為自由度為0的結(jié)構(gòu)，可依靠結(jié)構(gòu)中的桿件自身抵消外力的作用，而在關(guān)節(jié)處不需要提供額外的驅(qū)動(dòng)力矩，此時(shí)機(jī)構(gòu)具有較好的結(jié)構(gòu)剛度和力學(xué)性能。

圖10 空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全收攏狀態(tài)Fig.10 Fully folded states of space hexagonal pyramid mechanism

圖11 空間六棱錐機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)Fig.11 Fully deployed states of space hexagonal pyramid mechanism

綜合以上分析，由不同數(shù)量的此空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)組合可以得到任意棱數(shù)的空間多棱錐機(jī)構(gòu)，通過合理布置機(jī)構(gòu)中運(yùn)動(dòng)副軸線方位可以使得多棱錐機(jī)構(gòu)獲得較大的收攏率，當(dāng)機(jī)構(gòu)完全展開時(shí)，由于其奇異特性，可以使之具有較好的力學(xué)性能，多個(gè)此類空間多棱錐機(jī)構(gòu)可以擴(kuò)展組合構(gòu)造成為多種新型大尺度空間可展開機(jī)構(gòu)，在航空航天領(lǐng)域具有較好的應(yīng)用前景。

5 結(jié) 論

1) 針對(duì)一種空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析，通過旋量拓?fù)鋱D分析了其整體自由度，得到了其運(yùn)動(dòng)副軸線方位變化時(shí)整體機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目的變化圖；基于反螺旋理論分析了運(yùn)動(dòng)副軸線方位不同的情況下運(yùn)動(dòng)輸出構(gòu)件的自由度數(shù)目和性質(zhì)，并針對(duì)其瞬時(shí)性做了判別，發(fā)現(xiàn)其在不同運(yùn)動(dòng)副軸線方位布置情況下會(huì)出現(xiàn)局部自由度與瞬時(shí)自由度。

2) 將空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)等效為4R3P機(jī)構(gòu)，根據(jù)其幾何約束條件建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程組，分析了機(jī)構(gòu)在不同驅(qū)動(dòng)情況下的奇異特性，得到了機(jī)構(gòu)在不同的驅(qū)動(dòng)下處于奇異位形時(shí)的幾何條件。

3) 通過合理布置運(yùn)動(dòng)副軸線方位，選定自由度為1且具有較大收攏率時(shí)的空間對(duì)稱型7R機(jī)構(gòu)單元組合構(gòu)造了一類單自由度多棱錐型空間可展開機(jī)構(gòu)，此類可展開機(jī)構(gòu)處于完全展開狀態(tài)時(shí)處于機(jī)構(gòu)的一個(gè)奇異位形，可有效提高可展機(jī)構(gòu)在工作狀態(tài)時(shí)的靜剛度和力學(xué)性能，同時(shí)通過多個(gè)棱錐型空間可展開機(jī)構(gòu)的組合，可以構(gòu)造出新型大尺度空間可展開機(jī)構(gòu)，在航空航天領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。