張秀云，宗群，竇立謙,*，劉文靜

1. 天津大學(xué) 電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，天津 300072 2. 北京控制工程研究所 空間智能控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

航天器是指按照天體運(yùn)行規(guī)律在大氣層外運(yùn)行的空間飛行器，在天氣預(yù)測(cè)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、環(huán)境監(jiān)測(cè)、國(guó)家安全等方面發(fā)揮著日益重要的作用。為滿足日益增加的航天需求，航天器需攜帶柔性太陽(yáng)帆板，而在航天器完成機(jī)動(dòng)、轉(zhuǎn)向及空中對(duì)接等動(dòng)作時(shí)，很容易激起柔性帆板的振動(dòng)，從而嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，航天器在運(yùn)行過(guò)程中受到太陽(yáng)光壓力矩、重力梯度力矩、地球非球形攝動(dòng)等外部干擾，這也為控制器設(shè)計(jì)帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)。因此，干擾影響下柔性航天器的高精度快速姿態(tài)控制是目前研究的熱點(diǎn)及難點(diǎn)問題。

近年來(lái)，針對(duì)干擾影響下的航天器姿態(tài)控制問題，國(guó)內(nèi)外研究者們提出了各類控制方法：H∞控制[1]、輸出反饋控制[2]、滑?？刂芠3-4]等，其中，滑?？刂品椒ǖ靡嬗谄鋵?duì)干擾的強(qiáng)魯棒特性，得到了廣泛的應(yīng)用[5-7]。文獻(xiàn)[8]針對(duì)干擾影響下的剛體航天器姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)終端滑?？刂破?，實(shí)現(xiàn)了航天器精確姿態(tài)跟蹤，但其控制器存在奇異性。針對(duì)該問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)改進(jìn)[9-10]，提出非奇異終端滑模。北京理工大學(xué)夏元清等[11]進(jìn)一步提出自適應(yīng)非奇異終端滑模，實(shí)現(xiàn)剛體航天器姿態(tài)的有限時(shí)間穩(wěn)定，但其僅能收斂到原點(diǎn)附近小鄰域內(nèi)。天津大學(xué)宗群等[12-14]則針對(duì)剛體航天器姿態(tài)控制問題，利用自適應(yīng)干擾觀測(cè)器-終端滑模控制器綜合設(shè)計(jì)方法，保證姿態(tài)的有限時(shí)間穩(wěn)定。以上文獻(xiàn)大多針對(duì)剛體航天器姿態(tài)控制問題，未考慮柔性附件振動(dòng)影響，且大多僅能保證剛體姿態(tài)有限時(shí)間收斂到小鄰域，并不能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的精確收斂。

針對(duì)航天器柔性附件振動(dòng)抑制問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要分為2種解決思路：被動(dòng)抑制及主動(dòng)抑制。被動(dòng)抑制即將柔性振動(dòng)視為系統(tǒng)不確定影響，利用控制器的魯棒性進(jìn)行處理[15]，但其振動(dòng)仍舊存在。而柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制則通過(guò)外加指令，直接對(duì)振動(dòng)進(jìn)行抑制，如輸入成形器(Input Shaper，IS)等。作為一種有效抑制柔性振動(dòng)的前饋控制方法，輸入成形器得到了廣泛的研究。其作用原理為：通過(guò)利用振動(dòng)頻率及阻尼信息，設(shè)計(jì)其作用脈沖及幅值，保證加入系統(tǒng)后產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)能夠相互抵消[16-18]。輸入成形器技術(shù)可用于解決柔性航天器的振動(dòng)抑制問題。哈爾濱工業(yè)大學(xué)胡慶雷團(tuán)隊(duì)[19]通過(guò)結(jié)合輸入成形器及滑模控制方法，解決了干擾影響下的柔性航天器控制，但其需要干擾上界已知。文獻(xiàn)[20]則提出一種輸入成形器與自適應(yīng)滑模結(jié)合的方法，無(wú)需干擾上界已知，且保證柔性航天器姿態(tài)控制，但其僅能保證姿態(tài)的漸近收斂，難以滿足航天器姿態(tài)控制的快速性要求。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文針對(duì)干擾及不確定影響下的柔性航天器姿態(tài)控制問題，提出了輸入成形器-自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器-有限時(shí)間積分滑模控制器綜合的設(shè)計(jì)方法，避免了干擾上界必須已知的限制，保證了干擾估計(jì)誤差有限時(shí)間收斂至零，實(shí)現(xiàn)了柔性航天器姿態(tài)的有限時(shí)間精確控制及有效的柔性附件振動(dòng)抑制。

1 柔性航天器數(shù)學(xué)模型

采用單位四元數(shù)描述航天器姿態(tài)，則航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述為[14]

(1)

考慮航天器柔性附件發(fā)生變形振動(dòng)，系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程及柔性振動(dòng)方程可描述為[21]

(2)

(3)

(4)

基于式(1)～式(3)，得到姿態(tài)跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)為[14]

(5)

(6)

(7)

式中：Y=T-1。

基于動(dòng)力學(xué)模型式(5)及式(6)，對(duì)式(7)求導(dǎo)可得

(8)

式中：J*=YTJY∈R3×3；綜合干擾D∈R3包含系統(tǒng)外部干擾(如重力梯度、太陽(yáng)光壓等干擾力矩)及柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制后的殘余振動(dòng)帶來(lái)的內(nèi)部干擾，記殘余振動(dòng)模態(tài)為χc。

(9)

性質(zhì)2[22-23]慣性矩陣J*滿足：

(10)

式中：λmax、λmin為正常數(shù)。

本文的控制目標(biāo)表述為：針對(duì)柔性航天器姿態(tài)系統(tǒng)式(1)及式(2)，研究柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制方法，設(shè)計(jì)控制器u(t)，實(shí)現(xiàn)對(duì)期望姿態(tài)的有限時(shí)間精確控制，即

(11)

式中：T為收斂時(shí)間。

2 航天器有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)將針對(duì)航天器模型式(8)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，所采用的控制策略如圖1所示，主要包括輸入成形器、自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器及有限時(shí)間積分滑?？刂破?部分。首先，基于振動(dòng)模態(tài)的自然頻率及阻尼信息設(shè)計(jì)輸入成形器，并與姿態(tài)參考輸入進(jìn)行卷積，獲得期望參考輸入；其次，基于系統(tǒng)姿態(tài)及控制輸入信息，設(shè)計(jì)自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾及殘余柔性振動(dòng)影響的精確估計(jì)；最后，基于觀測(cè)器估計(jì)值，設(shè)計(jì)有限時(shí)間積分滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)對(duì)期望參考輸入的高精度快速跟蹤。

圖1 綜合控制策略設(shè)計(jì)框圖Fig.1 Block of integrated control strategy

2.1 自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

基于航天器系統(tǒng)式(8)，設(shè)計(jì)如下干擾觀測(cè)器：

(12)

式中：

(13)

(14)

其中：ρ=κL2+η，κ為待設(shè)計(jì)正常數(shù)，η為任意小的正常數(shù)；δ(t)的表達(dá)式為

(15)

式中：veq為等價(jià)輸出注入項(xiàng)[24-25]；0<α<1；ε為任意小的正常數(shù)。

基于式(8)及式(12)，對(duì)狀態(tài)估計(jì)誤差e求導(dǎo)可得

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：V(x0)為V(x)的初值，x0為初始狀態(tài)。

注2有限時(shí)間收斂是指系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)并一直保持在該平衡點(diǎn)上。該概念廣泛應(yīng)用于航空航天控制系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)、電機(jī)控制系統(tǒng)等諸多實(shí)際領(lǐng)域，具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義[26-27]。此外，由引理1及引理2有限時(shí)間Tr的表達(dá)式可以看出，只要已知系統(tǒng)初始狀態(tài)x0，則有限收斂時(shí)間Tr的值就可以事先確定。

定理1針對(duì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式(8)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器式(12)、式(13)，參數(shù)自適應(yīng)律如式(14)所示，則觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)誤差e及干擾估計(jì)誤差會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

-η|δ(t)|

(21)

根據(jù)式(21)及引理1可知，δ(t)會(huì)在有限時(shí)間T1內(nèi)收斂到0。

當(dāng)δ(t)=0后，由于0<α<1，ε>0，并基于式(17)，可以得到

(22)

第2步定義Lyapunov函數(shù)為

(23)

基于性質(zhì)1，對(duì)V2求導(dǎo)可得

(24)

(25)

(26)

注3根據(jù)觀測(cè)器式(12)～式(14)，可以看出無(wú)需綜合干擾上界信息已知，消除了上界約束；另外，通過(guò)對(duì)定理1的證明可知，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器可以保證干擾估計(jì)誤差有限時(shí)間收斂到0。

2.2 有限時(shí)間積分滑模控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)航天器姿態(tài)系統(tǒng)式(8)，設(shè)計(jì)如下積分滑模面：

(27)

(28)

由積分滑模面式(27)可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，s=0，即系統(tǒng)狀態(tài)在初始時(shí)刻時(shí)就在滑模面上，消除了滑模面的到達(dá)過(guò)程，保證了全局的魯棒性。

基于積分滑模面式(27)，可得滑模動(dòng)態(tài)為

(29)

控制器設(shè)計(jì)為

(30)

引理3[28]考慮如下積分鏈系統(tǒng)：

(31)

式中：xi(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)狀態(tài)變量；τ為系統(tǒng)控制輸入。

若控制器設(shè)計(jì)為

(32)

定理2針對(duì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)式(8)，基于積分滑模面式(27)及自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器式(12)～式(14)，設(shè)計(jì)如式(30)所示的有限時(shí)間積分滑模控制器形式，則航天器姿態(tài)跟蹤誤差qev及角速度跟蹤誤差ωev會(huì)在有限時(shí)間收斂到0。

證明首先證明在自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器誤差收斂到0之前，系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)散；其次證明干擾觀測(cè)器觀測(cè)誤差收斂到0之后，系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數(shù)為

(33)

對(duì)V3進(jìn)行求導(dǎo)，并代入式(29)、式(30)可得

(34)

第2步當(dāng)干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差收斂到0之后，系統(tǒng)滑模動(dòng)態(tài)變?yōu)?/p>

(35)

此時(shí)，可以得到

(36)

(37)

3 輸入成形器

輸入成形器是指具有一定作用幅值及作用時(shí)間的脈沖序列，利用合適的輸入成形器與系統(tǒng)參考指令相卷積，改變系統(tǒng)輸入的形狀和作用位置點(diǎn)，達(dá)到抑制柔性振動(dòng)的目的。

最基本的輸入成形器為2個(gè)作用脈沖，為獲得輸入成形器形式，基于系統(tǒng)振動(dòng)的頻率及阻尼信息，建立振動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式，并考慮以下約束條件：加入脈沖后的振動(dòng)響應(yīng)為0，且盡量減小成形器的作用時(shí)間，并保證不影響系統(tǒng)姿態(tài)的最終期望值等。建立如下約束方程組[16]：

(38)

式中：Aj為第j個(gè)脈沖的振動(dòng)幅值，此時(shí)考慮的為2個(gè)脈沖；tj為第j個(gè)脈沖的作用時(shí)間；Ω0為振動(dòng)頻率；ξ為阻尼。

通過(guò)求解方程式(38)，得到兩脈沖零振動(dòng)輸入成形器(Zero-Vibration，ZV)形式為

(39)

輸入成形器具有多種形式[16]：ZV、ZVD (Zero Vibration and Derivative)、EI (Extra-Insensitive)等，其各具特點(diǎn)。其中ZV作用時(shí)間最短，但由于干擾等影響導(dǎo)致系統(tǒng)實(shí)際振動(dòng)頻率不等于固有頻率時(shí)，其抑制效果不理想，即不具有魯棒性；ZVD作用時(shí)間與EI作用時(shí)間相同，且EI的魯棒性相對(duì)較強(qiáng)，但當(dāng)航天器的真實(shí)頻率等于固有頻率時(shí)，EI仍存在殘余振動(dòng)。因此，綜合考慮各類輸入成形器的優(yōu)缺點(diǎn)，選擇ZVD對(duì)航天器柔性振動(dòng)進(jìn)行抑制，通過(guò)在方程式(38) 中增加對(duì)振動(dòng)響應(yīng)導(dǎo)數(shù)的約束，可得ZVD表達(dá)形式如下：

(40)

(41)

式中：“*”為卷積作用。

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提輸入成形器-自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器-有限時(shí)間積分滑?？刂破骶C合方法的有效性，進(jìn)行仿真驗(yàn)證與分析。仿真中，各參數(shù)選取如下：

考慮前三階柔性振動(dòng)模態(tài)，則衛(wèi)星主體與柔性附件的耦合矩陣δ為

δ=

柔性模態(tài)自然頻率參數(shù)為：Λ1=0.768 1 rad/s,Λ2=1.103 8 rad/s,Λ3=1.873 3 rad/s。

柔性模態(tài)阻尼比為：ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013。

所受到的干擾設(shè)置為

d=

[0.1sin(2t) 0.05cost+0.2sint0.08cos(3t)]T

航天器姿態(tài)及角速度初值為

期望姿態(tài)與角速度為

輸入成形器設(shè)計(jì)為

干擾觀測(cè)器及控制器參數(shù)選取如表1所示。

仿真結(jié)果如圖2～圖6所示。圖2為航天器姿態(tài)及姿態(tài)角速度跟蹤曲線。可以看出，姿態(tài)及姿態(tài)角速度均能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，收斂時(shí)間約為20 s，精度數(shù)量級(jí)達(dá)到10-4，因此，加入輸入成形器未影響系統(tǒng)的跟蹤精度及收斂時(shí)間。圖3為系統(tǒng)綜合干擾的估計(jì)及估計(jì)誤差曲線?？梢钥闯?，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器可以保證對(duì)綜合干擾的精確估計(jì)。圖4為系統(tǒng)控制輸入曲線?？梢钥闯?，控制輸入范圍合理。圖5為滑模面變化曲線。系統(tǒng)狀態(tài)在15 s左右重回滑模面，即滑模面在有限時(shí)間收斂到0，驗(yàn)證了控制算法的有效性。由于對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生主要作用的即為一階振動(dòng)模態(tài)，其他模態(tài)影響較小，因此，通過(guò)針對(duì)一階振動(dòng)模態(tài)加入輸入成形器，得到如圖6所示的一階柔性振動(dòng)模態(tài)變化。可以看出，與未加輸入成形器時(shí)相比，加入后可有效抑制75%的柔性附件振動(dòng)，具有良好的柔性振動(dòng)抑制效果。

表1 觀測(cè)器及控制器參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter settings of observer and controller

圖2 姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差Fig.2 Attitude angular and velocity tracking errors

圖3 綜合干擾估計(jì)和估計(jì)誤差Fig.3 Estimation and estimation error of lumped uncertainty

圖4 控制輸入Fig.4 Control inputs

圖5 滑模面變化曲線Fig.5 Sliding mode surface

圖6 柔性振動(dòng)模態(tài)Fig.6 Flexible vibration mode

因此，通過(guò)仿真可以驗(yàn)證，本文所設(shè)計(jì)的輸入成形器-自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器-有限時(shí)間積分滑?？刂破骶C合方法能夠有效抑制柔性附件振動(dòng)，且能保證系統(tǒng)姿態(tài)的高精度快速收斂。

5 結(jié) 論

1) 本文提出了一種新型自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法，無(wú)需綜合干擾上界信息，且能夠保證干擾估計(jì)誤差有限時(shí)間收斂至零。

2) 基于干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)綜合干擾的估計(jì)值，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間積分滑模控制器，保證系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤誤差及角速度跟蹤誤差有限時(shí)間收斂到零。

3) 利用輸入成形器對(duì)系統(tǒng)參考指令進(jìn)行變形，獲得期望參考輸入，解決航天器柔性振動(dòng)主動(dòng)抑制問題，并將抑制后的殘余振動(dòng)利用觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)并在控制器設(shè)計(jì)中進(jìn)行補(bǔ)償，保證姿態(tài)控制的高精度，實(shí)現(xiàn)輸入成形器-自適應(yīng)有限時(shí)間干擾觀測(cè)器-有限時(shí)間積分滑?？刂破骶C合的有限時(shí)間快速精確控制。